Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Проекции Н на оси координат У„, Рю )', представляются выражениями нида (1.3.23), т. е. )т„(г, 1) = п, (г) соз [ю1 — йт (г)], Ъ' (г, 1) =-а,(г) соз [ю1 — дт(г)], (47) ('. (г, 1) =аз(г) соз [те1 — дт (г)], где а, и и, (з = 1, 2, 3) — вещественные функции координат. Для плоской гармонической волны, рассмотренной в предыдущем разделе, величины п постоянны и д,(г) = (т г — б,. Удобно записать (47) и виде Н (г, 1) = 1т„(г) сон му+4„(г) э1п юг и т.
д., (48) где Р„(г) =-=п,(г) созд, (г), йв(г)-=п, (г) зюга, (г). (йй) Если выбрать другое положение осей, то каждая компонента Н в ионой системе вновь првмет форму (4?), так как каждая новая компонента будет лиг~ейной коыбинацией старых и может поэтому равняться лишь сумме членов с соз м1 и з1п ю1. Мы можем РассматРивать (Рю Рю Рт) и (д„, йю т)т) как компоненты двУх ве. щественных векторов р и Ф Тогда Н (г, 1) ==.р(г) сов ю1 р ц(г) з!п юг. (50) С помощью разложения Фурье можно выразить произвольную векторную волну а виде суперпозиции волн такого типа.
Как и в случае скалярных волн, часто удобно пользоваться комплексным представлением. Запишем (50) в форме Н(г, 1)=не[()(г)е тты), (51) где () — комплексный вектор вида 13 (г) = р (г) + 14 (г), (52) а символ Йе означает, что берется вещественная часть. Мы мажем, как н в соответствующем случае скалярных воли„оперировать прямо с комплексной величиной, ацусиая символ Ке, если операции над Н линейны. Вещественная Ы 11рвыеры, вллюсгрвртющве этот метод, и ссылнв нв соответствуюыую лвтературу даны в рвсоте (191 (сн, также (19, 201). 5 1.4) взктогчые- золян и = — — 1 4 (Е) ехр ( — 2йз!)+2Е„.Е:+Е ехР(21м())Ю.
э!!'1 -т Ио г. Г ! н ! Т вЂ” ехр ( — 2нвг)Ж = — — „, [ехр( — 21м!)]-г =-- — „, з!п2мТ'. -г. Так нак, по предположению, интервал Т' велик по сравнени1о с Т, величина Т!Т' мала по сравнению с сдинипей, и поэтому можно пренебречь интегралом, содержащим ехр ( — 21 юг) . Подобны а я<с образом можно пренебречь интегралом, содержащим ехр (2(мг), и окончательно мы получим (54) Аналогично средняя по времени плотность магнитной энергии запишется в аиде (ш )= НыНр. Среднее значеинс вектора Пойнтинга равно гч г. г г (8> 2Т,) 4 (Е м Н)(! 1 зг ] 4 (Е, Х Н,ехр( — 2йэП+ -и -т + Е, Х Н; + Е," К Н„+ Е,' и Н," ехР (21 юг)) г(1 Яэ гвл (Еч М На 1- Еа Х Нч) = В, КЕ (Еч 1С Нэ).
(55) (56) часть окончательного выражения тогда представляет рассматриваемую физическую величину. Лействия с комплексными векторами производятсн по обычпьгм правилач векторной алгебры и алгебры комплексных чисел. Например, вектор, сопряженный с (), имеет вид 1)" = р — !1). Ана.югичныи образом ()'==-ФЛ ° 1)=р' — 11'+2!р й, () ()*=(р 1-!1)).(р — (й)=рч+ц' и т.д. Для иллюстрации расчетов с комплексными векторамн выведем формулы, которые понадобятся нам в дальненшем, дли плотностей энергии и вектора Поинтинга в случае 1армоничсского электромагнитного поля.
Электрический и магнитный векторы запишутся в виде Е(г, !) == Ке(Е„(г) ехр( — !ы!)) =- = 1 [Е„(г) ехр( — (и!)+Е;(г) ехр((ы!)], 1 Н(г, () = Не(Н,(г) ехр( — (м!)) .= (53) ! = —, [Н„(г) ехр ( — (м!) + Н; (г) ехр (гы!)]. где Е, и Н.— комплексные векторные функпиа координат. Так как оптические частоты очень велики (м порядка 10м сек '), нельая наблкшать мгновенные аначеивя ни одной из таких быстро осииллир уюшнх величин. Мои!но говорить лп пь об их значениях, усредненных по времени за интервал (скажем, — Т' ( к гя( Т'), который велик по сравненню с основным периодам Т = 2пlм.
В частности, средина по времени плотность электрической энергии равна г (м,) —.- —,, ] = Е'г(! = 1 гт з оСноапы» С»одет»» чп»кт ом»гннтчогп пода [гл. т, е !п2а=,а ч,. (62) р» ч»' В качестве параметров, определяющих волну, вместо шести компонент векторов р и ц будем рассматривать пять независимых компонент ортогонзльных векторов а н Ь и соответствующий фазовый фактор а.
Тогда из соотношений (5!), (52) и (59) находим У= Ке((а+!Ь)ехр ( — ((м( — е)1) =асов(ш! — е)+Ьз!п(м! — е). (63) Взяв декартову систему координат с вача>юм в г, н с осями х и у, направленными по а и Ь, получим У„=асов(ы( — а), У» Ьз!п(со( — е), У,.=О.
Это уравнение эллипса (эллипс поляр»лоции! В+В- (65) длвны полуосей которого равны а и у, а направления осей совпадают с осями координат » и у. С почошыо элементарной геометрии можно показать, что р и ц являются парой сопряженных полудиаметров эллипса. Как и в случае плоских волн, конек вектора может описывать эллипс в двух яапраплениях, соответствующих левой и правой поляризации; они различик>гся знак>ш смешанного произведения [а, Ь, те! == [р, ц, Те!. Длины полуосей эллипса полярнзапяи легко найти нз выражений (60) и (62). Согласно (60) и'=р'соз'з+ 7'з!п'е+2р йз!песозе= ! ! = э (Р»+>)»)+ — ()>» — >7»)соз 2а+Р.п з!п 2а. (64) Простую форму принимает также закон сохранения энергии.
Для непроводяшей среды (и = 0), где не производится механическая работа, находим, усредняя по времени уравнение (1.1.43), д! т 45У = О. (57) Если проинтегрировать (57) по произвольному объему, котс>рый нс содержит ни источника, ни поглотителя энергии, и применить теорему Гаусса, то получим ~<8> п>(3=-О. ' .
(58) Здесь и — нектор ннепп|ей норчапя к граничной пояерхногти, по которой проводится интегрирование. Таким образом, среднее значение полного потока энергии через л>обую замкнуту>о поверхность равно нулю. Вернемся теперь к гармонической векторной волне общего вида (50) и исследуем поведение У в точке пространства г — г,. В общем случае при изменении времени конел вектора У описывает эллипс. Поэтол>у волин вида (50), как и плсская волна, в общем случае также зллиптичсски поляризована. Чтобы показать это, отметим прежде всего, что с изменением времени копен вектора У описывает криву о в плоскост», определяемой векторамн р (г») и ц (г»].
Из нерио.шчносгп У следует, что этв кривая должна быть замкнутой. Мы можем полон<ить р+(й =(в+(Ь)е", (59) где е — произвольная скалярная велвчина, Выразим а н Ь через р, ц и в. а=-рс»ье+цз!пг, Ь= — рюпз+цсо,з. (60) Выберем а так, чтобы векторы а н Ь оказались перпенднкуларпымн друг к другу, и допустим, что !а ! йн ! Ь Ь Чтобы а н Ь были ортогональиы, а должно удовлетворять уравнению (р соя е+ц з!па) ( — рз!г>е+») соз е) =О, (617 й 1.41 63 ВЕНГОРНЫР ВОЛНЫ Из (62) имеем в!п2е=-=- — —. --.- --=, зр ч У (Р' 40 ! 4!Р Ч)' СЛРЛОВательнО, сов 2с =— 1' (Р" — ~"')~+4 ( '=--2[Р+Ч вЂ”,У0 — ЧВ)+4(р й)*], ~ Лналогично получим ь' = — ]Р" +че — У (Рз — чмр+4(р.й)4] / 2 (66) Чтобы найти выралгсние для угла между а и р, запишем уравнение эллипса в параметрической бюрме У„= а сов Рр, (67) УР =Ьв!Пгр где ы — вспомогательный угол, показаввый на рис.
1.9. Из элементарной гсочстрии известно, что этот угол связан с полнриым углом 0 точки (У„., 1'Р) соотношением 120=- —,16'~. ь (68) Сравнение (64) и (67) показывает, что в данном случае. <р = ы( — з. Согласно (60) У =.- р, когда 1 = О, так что угол Рр для вектора р равен — е. Следовательно, угол ф между р и а определяется выражевием (иф= — !ие. а (69) Если угол между р и и обозначить через у и авеста всповюгззельный угол (), определив его соотношением Ч!Р=гйр, (70) Рис. 1.З.
К вывозу урзвиеняа (Зу) В (аз). ьр +Ч +1 (Р* Ч ) 4Р Ч совау], 2 ь = 2 ]Р'+ч' — У (Р' — чзе+4р'ч'сов'у], (и4р= — (ие, (72) где (6 2В = 16 2() сов у. (73) Как и для плоских волн, особын интерес представляют два случая, а именно случаи, когда эллипс вырождается в окружность или прямую. Для возшы, нижлизозонной но кривд, а и Ь, а следовательно, и е не определены. Согласно (62) для этого необходимо, чтобы р ц.=р' — ц» =-0. (74) Для линейно нгияризоаилной волны ъш.шн ось равна нулю (Ь'= О), и тогда вз то (62) примет вид ф2е=~,~~,сову=-162])сову.
(71) Суммируем сказанное. Если векторы р и ц заданы, у — угол между ними, а 6 — вспомогательный угол, определяемый равенством (70), то главные полуоси эллипса и угол 4р, который большая ось образует с р. задаются соотно- шениями 54' ОснОВные сВОйстВл электппмлгнитнОГО пОля ]гп. 1 (66) находим (75) р'ц':.
(р'ц)' В заключение мы хотим подчеркнуть, что понятие епошдизацияэ относится к поведению волны в данной точке поля, н поэтому состояние полнрнзнцни будет, нообще гонора, неоДИНаКОВым В раЗлвчннх точках поЛя. Таким образом, волна ктожет быть поляризованной линейно или по кругу В одних точках и эллиптическп поляризованной я других *). Только В специальных случаях, например для однородной плоской волны, состояние поляризации одинакояо Во всех точках поля. й 1.5. Отражение и преломление плоской волны В п. 1.1.3 были получены соотношения, которым должны удовлетворять векторы поля на поверхностях, где физические свойства среды претерпевают разрыв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
