Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 12
Текст из файла (страница 12)
и. 2.3 4). Согласно теории относительности сигналы не ыогут распространяться со скоростью, превышающей с. Зто означает, что фазовая скорость не может соответствовать скорости распространсния сигнала. В самом деле, легко видстсь что фазопуго скорость нельзя определить экспериментально, и поэтому следует считать ее лишенной какого-либо прямого физического смысла. Для измерения фаэовой скорости необходимо было бы сделать отметку на бесконечной гладкой волне н измерить скорость этой отметин, что, однако, означало бы замену бесконечной гармонической волны другой функцией координат и времени. 1.3.4. Волновые пакеты.
Групповая скорость. Моггохроматические волны, рассматриваемые в предыдущем разделе,— это идеализация, никогда строго не реализующаяся на практике. Из теоремы Фурье следует, что любую волну 1' (г, 0 (если оиа удовлетворяет определенным, очень общим условиям) можно рассматривать как суперпозицию мопохроматнческих волн разных частот, а пчснно 1' (г, 1) = ) и, (г) сО5 (щ( — йо (г)] гйо. (33) а Здесь сном удобно воспользоваться комплексным представлением, в котором 1' отождествляется с вещественной частью соотнетствугощей комплексной ВОЛНЫ" ) 1'(г, 1) = Де )г а (г) ехр ( — г (м( — дг„(гЦ ) х(а. в (33а) ") 1)рпбдгна ргкпрвгтранвнпа влгпгповагннгных гнгна.вов в дпгпгргнрующнх градах аавнь подробно нггдгдаввдагь в р.гбггтвх Заынерфгльда 111) а брнллюьва 112) Днглндгкня пврввод эгнх ггагой ввлв хп ь 1131 (гн ~вхпг 1141) **) Конплгкгоао предггавлгпнв вощьчгпввных полахронатнчаскнх волн более полно наложено н й 10.2.
стоянной фазы, т. е, когда 4) = (йгаг) й)!(йтаб д), причем тогда значение (30) будет равно «л) (31) Величина и'Р' (г) называется фазоэой скоростью и равна скорости, с которой распространяетсн каждая поверхность постоянной фазы. Для плоской электромагнитной волны нз (3)) найдем йгаб и= 14 н, учитывая (21), получим и'го гц)г.:с~)у ар. Для волн более сложной формы, фазовля скорость и'Р' в общем случае отличается от с))' с)4 и меняется от точки к точке даже в однородной среде. Однако ниже (см. и.
3,!.2) мы увидим, что прн достаточно большой частоте фазовая скорость прполнзпглсгвно равна отношению с)р ер даже лля волн, у которых повсрхнощи постоянной фазы нс являются плоскими. Необходимо отметить, что выражение (30) для г(з)г(1 не является компонентой фазовой скорости в направлении П, т. е. фазовап скорость не ведет себя, как вектор. С другой «гороны, величина, обратная ей, т. е. величина (32) (гл. 1 осповпыг свойствк элпктгомагпитпого поля Если фурье-амплитуды а заметно отличаются от нуля лишь внутри: узкого интервала а — —,' ба<~о<а+ —,,' Л~ (б~й~<1) вблизи средней частоты В, то волну можно назвать «почти монохроматичсской». В этом случае мь< обычно говорим о лолноео(л группе, нли лолнаеал( лакелй «).
Лля иллюстрацги некоторых основных свойств волновой группы рассмотрим вначале волну, которая распространяется вдоль оси г и образована в результате супсрпозиции двух плоских монохроматичсских волн с олннако. выми амплитудамн н слегка различнымн частотамн н волновыми числами (((г, () =аехр [ — ((аг — йг)]+аехр( — ! [(а+бо!) ( — ()(+бл)2]), (34) где 1 а=а+ —,ба, 2 — средняя частота и среднее волновое число соответственно. Можно считать что выражение (35) описывает плоскую волну с частотой ф и длиной волны 2ц(й, распространяющуюся в направлении оси г. Однако амплитуда агой волны не постоянна, а изменяется во времени и пространстве от пуля до значения 2а л у Рве. 1.5.
Прессел волновая группа. 1 А- лкк сп (и! — ын к — л е за — ((е — ез( ( — втпя 2» — ((еп-»м<]х хсо ( <-зк(.Алексее пведсткклк од т, д !»», « «ксве с»кок (! к,»к ю, дк к дрт ( (рис. 1.5), что вызывает хорошо известное явление биений. Соседние максимумы функции, описывающей амплитуду, находятся на расстояниях при фиксированном 2 прн фиксированном (, (37) или ля ба —.—— ба ") Строго говоря, для юго чтобы фупкпвя Р сбледзлз свойствами, которые обычяо приписывают коляокоб < рупие, я«об»окал<о также предположкть, <<о ко всем зффектякяом вятерввле члстот фвзовую фуякцюо Л„можпо вю<роксвмлроввть ллвсбпов фуккцмса а. В соответствии с принятым рансс соглашением символ ((е здесь опущен. Уравнение (34) можно записать в форме )<(г, () а]ехр( — (((ба — збй) [+ехр [ — -(((бо! — сбй)1]К Г(.
1 ( ( 3 ! у«ехр [ — ((а( — рл)] =:2а сов ~ — а((ба — гбй)1 ехр [ — ((а( — йа)], (33) ' й 1.31 СНЛ1ЯРНЫР ВОЧНИ а максимумы фупкпии, связанной с фазой,— на расстояниях 6/=- —" я И.ги зп 62 = = прн фиксированном а при фиксированном (. (38) Следовательно, поскольку считается, что бы/и и бй/й мальг по сравнению с единппей, амплитуда будет меняться медленно по сравнению с изменением др>того члена Из (35) вытекает, что плоскости постоянной амплитуды и, в частности', максимумы амплитуды распространяются со скоростью ога) зи зз ' (39) Мы покажем, что фактически зто соотношение выполняется при более общих условиях.
Рассмотрим одномерную волновую группу )г(а, /) = — ~ а„ехр [ — /(а/ — йг)" г(ы, Игч где Лм означает небольшой интервал вблизи средней частоты а (Лы/Б (( 1), в котором а„заметно отличаегся от нуля. Пусть Л - п (и) и/с — — соответствующее волновое число. Тогда последнее соотношение можно персписатг а форме (г (а, /) = А (г, /) ехр [ — г (а/ — Ь)), (44) где А(з, ()= 1 а ахр( — г [(и — а)( — (й — /г) а[)г(м гйю а„ехр ~ — г '[(ы — й)) / — ( — „) а[ [~йм, ычг (46) если Лаг достаточно мало. Снова )г можно интерпретировать как плоскую волн> с переменной амплитудой, частотой Ы и волновым числом й, распространяющ>юся в направления г. Амплитуда А (г, /) предсзаиляет суперпозипию гармонических воли с частотами ы — ы.
Так как Лга/ьг мало по сравнению с еднннпей, А медленно меняется по сравнению с изменением второго члена. В общем случае А комплексно и дает аюыд (агд А) в фазу и/ — лг. 1(ак мы тогда как плоскости постоянпон фазы распространяются со скоростью и'Р' =- а/й. (40ь Величпна и'г' называется адугглозой скоростью воляьг. Поскольку )г удовлетворяет аош окопу >равнению, часгота и и волновое число й связаны друг с другом. в среде с показатетем преломления и (см.
(21)) /г =- п(ы) ю/с; (41) здесь показатель преломления и зависит от и. Уравнение (4!) выражает дисперсию волны. В недяспергнрующей среде и не зависит ог го; в такой среде и фазоиая скорость г'"', я групповая скорость о'г' равны с/л. Однако в диспсргируюшей среде зтн тве скорости в общем случае различны.
Так как, ~о предггоггожению, бм мало, бгогбй можно заменить дифференпиальным соотношением йм/гй; тогда выражение для групповой скорости запишется в виде (42) (гл. ! ОСНОВВМЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОИАГКИТВОГО ПОЛЯ видим, поверхности (46) игра!от особую роль: па каждой такой поверхности А (г, Г) постоянно. Спедовательно, скорость перемещения какого-либо значения А, а также максимума )А( определяетси, как и раньше, групп<вой скоростью „,! ! <йгд' (47) Легко показать справедливость следующих соотношений между групповой и фазовой скоростями: С' ' = — (С' '<я) = С' '+ * — = с< ' — )< —. « ' да<В! < , П«Р! =дь = дь = дв причем все Велвчнны здесь относятся к средней частоте ш. Наконсп, рассмотрим трехмерную группу общего вида Ъ'(г, 1) Ке ~ пв(г)ехр( — 1[<ог — я (г)))<(м. (49) <ав! По аналогии с (43) вылечим член, соответствующий средней частоте Ш, и для достаточно малых <<ы напишем )т(г, 1) .= А (г, 1) ех р ( — !' [ы1 — (<В (г)[), (50) (48) где А (г, 1) = ) ав (г) ехр ( — 1 [(ы — а) 1 — [и (г) — я-„(г)[)) <(ы <Ав! а„(г) ехр~ — 1[(м — и) ~1 — [ Я ! 1 () <(и.
(5() <Ав! ! Выражение (50) представляет волну с частотой аь амплитуда которой А (г, 1) (обычно комплексная) меняется и в пространстве, и во времени, причел! ее изменение так<ке медленно по сравнению с изменением второго члена. Можно ожидать, по аналогии с (46), что поверхность (52) будет игра<ь особую роль. Однако теперь амплитудная фувкпия А не обя- зательно постоянна на каждой такой поверхности, так как здесь фурье-ампли- туды и„, зависят не только от <астоты, но и от положения.
Значение поверх- ности, описываемой (52), станс! ясным, если мы будем рассматривать абсо- лютпу<о величину амплитуды М = (А(. Имеем М' (г, 1) = А (г, 1) Ав (г, 1) = — и (г)пв (г) хр( — <(и — м') ~1- (~"~"~) ~~(<( ы'. (58) Ыв! <Ав! Очевидно, что мнимая часть двойного интеграла равна нулю, так как вели- чина М! вшцествеияа. (Форх<ально в этом легко убедиться, если поменять местами независимые переменные и и ы' и заметить, что при этом мнимая часть .подынтегрального выражения меняет знак.) Следователы<о, М'(г, 1)= ) ) пв(г) ав. (г) сов((ы — а!') [1 — ( — 1 ~ ~ <(мою', (54) <Ав! <А ! < Рассматривая какую-нибудь определенную точку г = г, и испомивая, что ов либо положительно, либо равно нулю, ъ<ы индии, шо М! (гв 1) достигает максимального значении, когда аргумент косинуса ранен нулю, т. е.
когда .(= <А — ) . Таким образом, соотношение (52) представляет поверхности, <дя(г)! дв )в' 43 $ !.4! вкктогяиг волям на которых в момент времени ! абсолютное значение амплитуды максимально з указанном выше смысле. Поэзому в общем случае разумно определить групповую скорость трехмерной волновой группы как скорость, с которой перемешаются зтн поверхности. Рассмотрвм малое смешение дг =- я дз, где Ч— единичный вектор в направлении нормали к поверхности. Согласно (52) соответствующее изменение б! определяется выражением б( бз йгцб ! !'~'~) (55) и, следовательно, в общем случае групповая скорость трехмерной группы равна глзах ! ~ягад ( — ) (55) й 1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
