Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 9
Текст из файла (страница 9)
льзерхзюстлтю цзлтньсть ззрякз и ллвьрх. зкстную змогльсть элка л«р«з дзхьтз-фувклзю Дзрзкз (см. лриаьы«ннь 4). Если ураза«вы иьзьрхвьстн раздел« нм««т звх р(х, Е, з) =. а. ть р = р ! 8««Е Р ( 6 (Р), (1 7«) 1=-!(щзе Г ( 6 (Р), (!8а) Мьэзнь лы кь грььерать арзвнльньсть этих зырзыьнюг, подставив их ь (! 7) и О8) н всасльзьвзв «оьгношьмиь Ен=~хг«ЕР,ЕК н фиаьтруюжее свойство дельта.
функции Дарана. 28 осаезныг сьойстаь ээе«трои«спит«ого поза !гл. 1 Позже нам понадобится также понятие поверхностной плотности тока ), которан определяется аналогичным образом, з именна Вщ ~)с((> =) 1>(Л. ы-ь (18) Если площадку ЬА и высоту Ьй выбрать достаточно лсалыми, то из (16) получим Ри'п,бА,+ 0м>.п,бА+вклад от стенок=-4прбЛ. Вклад от стенок стремится к нулю с уменьшением бй, и поэтому в пределе при бй-ь 0 получим з>У ' р«с. ! .й.
К выводу грьееч«ых условий дхя тьегенапьзь«ых хьмпеее«т Е е Н. Пусть Ь вЂ” единичный вектор, перпендикулярный плоскости рассматриваемого прямоуголышка. Тогда ца основании тсоремы Стокса получим из (2) ~ го! Е Ьсйу=- ( Е.дг= — — ~В ЬЫ5; (20э здесь первый и третий интегралы берутся по площади прямоугольника, а второй — вдоль его границ. Если длины Р>0>(. Ьв,) и РДе(--.бэь) малы, то на каждой из этих сторон вектор Е можно заменить постоянными значениями Еп' и Ео'. Подобным же образом постоянным значенисм можно заменить и вектор В. Тогда из (20) найдем Ео> !>Ьзь+Есе>-!эйве+вклад от концов=- — — В Ьбзбй, (2!) 1 с где бэ — линейный элемент, по ноторому прямоугольник пересекается с поверхностью раздела. Если теперь постепенно умен«тать высоту прямоугольника, то вклад от концс>в Р,Р, н 0>0> будке стремиться к нулю прп условии, что Е в пределе нс имеет достаточно резких особенносгеи.
'1'акую возможность мы исключим. Предположим также, что остаегся конечным н В; тогда в пределе прн бй 0 получим (Е'о 1,+ Е'н 1,) ба=О. (22) Если 1 — единичный вектор касательссой к поверхности (см. рис. 1,2), то 1,= == — ! = — Ь и пм, 1,= ! =-. Ь х п«п н из (22) следует Ь (пмк(Есм — Е"») =О. пм (Еп — (Усе» =4пР, (19) т. е. при напиши на поверкности раздела слоя с поверхностной плотное>пью заряда р, нормальная компонента вектора элвктри свгково г«гщенил при переходе через эг>су поверхность испытыоает скачок, разный 4пр.
Исследуем тепсрь ~совсдение тангснциаль«ых компонент. Замени«с поверхность резкого раздела переходным слоем, а пиляндр, показанный на рис. 1.1, «прямоугольной» площадкой, стороны которой параллельны и перпендикулярны поверхности Т (рис. 1.2). % 1.1] Злкктгомггнитное поле Так как ориентация прямоугольника, а следовательно, и единичного вектора Ь произвольна, ясно, что п,,х(Е'и — Еи') = О, (23) т.
е. тингонциильнал компонента электрического вектора непрерывна на поверкности раздела. Нзкоиеп, рассмотрим поведение тангенпиальпой колгпоненты ьзагнитного вектора. Анализ проводится ангтогичным образом, но при наличии токов появится дополнительный член. Вместо 121) в этом случае получим Нп 1,бз,+Ньц1,бзьлРвкладотконцов=- — 0.Ьбзбй+ — ! Ьбю 124) ! ли -. с с Переходя, как и раньше, к пределу бб -ь О, находим п„х(Нн — Нп')= — 1. (2Гз) с Из (26) следует, что при наличии тока с поверхностной! плотностью ) тангенИиальная колтонгнта иагншпнокт ткторо (рассматриваемая. как вектор) испытывает скачок, ровный 4п ". —,! Хпиг Помимо разрывов, связанных с рсзкьш изменением физических свойств среды, векторы поля могут также претерпевать разрывы из-ла прнсуштвпя источника, который начинает излучать в некоторый момент времени Тогда возмущенно будет распространяться в окружающем пространстве и в любой последуниций момент времени й) 1, заполнят вполне опредслсннуьо область.
Па (движущихся) границах этой области векторы поля будут резко изменяться от конечных значений до нуля зэ ее пределами.. Различные случаи разрыва можно описать уравнениями Максвелла в интегральной форме (см., например, !6), стр. П яли 161, стр. 6). Общие условия разрывности можно также записать в форме уравнений в конечных разностях; вывод этих уравнений приведен в приложении 6, !.1.4.
Закон сохранения энергии для электромагнитного поля. В рамках электромагнитной теории и1пеисивиость света интерпретируется как поток энергии поля. Поэтому необходнзю вспомнить формулнровку аакоиа сохранения энергии в теории Максвелла. Из (1) и (2) следует, что Е го1 Н вЂ” Н го1Е =' — ) Е+ — Е.0-, '— Н.В. (26) Члены, стоящие слева, с помощью хорошО известного векторного тождества можно выразить через дивергенцню векторного произведения Н и Е, т. е. Е го1 Н вЂ” Н го1 Е ==. — с1)у (Е х Н).
(27) Из (26) и (27) получим —,, (Е 0-~-Н В)+ — 1.Е !. 6(т (Е ХН) =О. (28) Умножив зто равенство на с!4н, проинтегрировав па произвольному объему н использовав теорему Гаусса, найдем — ~ (Е 0+ Н В) Ж'+ ~ ) Е с((г + с ~ (Е Х Н) и с(З = О. (29) Здесь последний игпеграл берется по границе объема, а п — единичный вектор внешней нормалн. Гоотиошеиие (29) непосредственно вытекает из' уравнения Максвелла и поэтому выполняется независимо от справедливости материальных уравнений (9) †(11).
Как мы увидим, оно выражает закон сохранения энергии длн основные свойстве электроне!нитного поля (гл 1 электромагнитного поля. Здесь мы расее!отрия! его лии!ь для случая, когда удовлетворяются материальные уравнения (9) — (1!). Позже (см гл. 14) б>дет проведено обои!пенис этого закона для случая анизотропных сред, где материальиь!е уравнения прянима!от более сложную форму, Испольауя материальные уравнения, найдем еч (Е Р) = 4л Е-зг (еЕ) = Еч л! (еЕе) — — ц„ з (Е Р), 1 ° ! д 1 д е 1 д (Н.В) = — Н вЂ” (рН) = — — (!4Н') — — — (Н.В).
1 ! д ! д ! д (30) Полагая ш,=- — НВ 1 " ая ш,= — „Е Р, (31) йр =- ') (ш, -1- ше) г(Р, (32» преобразуем соотношение (29) к виду Ле г. — + ) ! ° ЕсйГ+ — ) (Е >, Н)япсБ =.О. с р (33) Р=-е(Е+ — '[чмв)), (34) который основан на эксперименте. Отсюда следует, что если все заряды ее за время 6! смещаются на бхе (й =:- 1, 2, ...), то полная проделанная работа равна 1 6А = ~~' Гл.бх„= Уел (Ее , '— (че к Ве)) бхя— .-~~',е,Ее бхе =-~' е„Е„' чя 6С гак как бхе - —.
ч!6!. Если число заряжеиил х часгиц велико, ресирелепеине заряда можно считать непрерывным. Введем плотность заряда р (т, е. полный заряд единицы объема); тогда последнее равсиство примет вид 6Л =-61 ) рч Ег((г, (35) ') В общем случае ети еелнчниы определяются выражениями ж,= — ) Е ЛР, и, = — ') Н иВ. еп,) ' "' 4и,~ Онн переходят е 131), когда соотношение между Е н Р н между Н н В лннейна, «ак нредпадеглчея ядегь.
Покажем, что величина йг представляет полную энергию, заключенную внутрип объема, и, следовательно, ш, можно отождествить с плотносигыо электричегкод энергии, а и'„,— с илотиоппею мигыиспной энергии поля "). Для отождествления )Р' с полной энергией„нужно доказать, что для замкнутой системы (т. е. сксгсмы, в которой можно пренебречь полем на граничной поверхности) изменение Ю' обусловливаетсн работой, проделанной полем над материальными заряженными телами, входящими в систему. Досгяточио показать зто для медлекпого движения названных тел, причем мы вправе считать последние столь малымп, что можем рассматривать их как точечные заряды е, (й .=.
1, 2, ...). Обозначим скорость эарнда ее через че (ия лб с). Сила, действующая со стороны поля (Е, В) на заряд, движущийся со скоростью ч, определяется так называемым законом Лоренглци й 111 3! элзктгомзгиитноа пОле (36) где 1,— оŠ— плотность тока проводимости, а 1,== рч — плотность конвекционного тока. Тогда вырюкение (35) запишется в виде 6Л=6! ~ !ч.ЕЛУ. (37) Определим вектор 8 и скаляр !г' соотношениями 8 =- — Е х Н, (36) (39) Теперь с помошью (35) и (36) найдел! ) ) Ес((г= !г+ )», ЕЛ'=!г+ —,-, (40) где вторая функция, конечно, не является волной производной от функции координат н времени.
Уравнение (33) примет теперь вид лвг 64 — = — — — а — ') 3 ос(5. лг ш (41) Для пепроводяшей среды (а = О) имеем (г = О. Будем также считать граничную поверхность расположенной так далеко, что можно прснсбречь полем на ней, вызваюгым электромагнитными процессачи, происходящими вн)три нее. Тогда ) З.пН5=0 и интегрирование выражения (41) дает йт + Л = сопя!.
(42) Следовательно, для изолированной системы увеличение )г' в единипу времени обуслов.чиваегся работой, проделанной над системой в течение этого времени. Полученный результат подтверждает наше опредслсние электромагнитной энергии выражением (32). с1лен !3 (он называется джорлсммм шаллом) представляет собой диссипацию энергии в проводнике (о -'- О) из-за наличия сопротивления. Если поле достигает граничной поверхности, то, согласно (41), происходит дополнительное умс ношение энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
