Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Это рассуждение з нескольио более развернутой форме часто служит для иллкктрации построения Гюйгенса (см. 4 3.3). Значение постоянного отношения (!0) обычно обозначают символом и„ и называют показшпслеж прелом мнин для преломления нз первой среды во нгоръю. Мы определим также нпбсолютный показатель прелпмпенияь среды я ") Зхееь н ниже тернов норнннь к волне пэппнпет корнель к попнопону фронту этой волны. Онопко кпк крагкоетн ны пудель пемзу опуеннть езоон юоннонон !ранге. (Пунм. ред) скллягшчг волам как показатель преломления из вакуума в эту среду, т. е. и = с/и.
(12) Если л, и л,— абсолютные показатели преломления двух сред, то относительный показатель преломления пм для преломления из первой среды во вторую равен ам = и,/п, = о,/и,. (! 3) Из сравнения (12) и (8) получим формулу Максвелла л=)' ар. (14) Для всех веществ, которыми мы будем заниматься, р практически не отличаегся от единицы (нечшгнн ~ные вещества), и поэтомч показатель преломления должен равняться квадратному корню из диэлектрической проницаемости, которая, цо предположению, является постоянной среды. Вместе с тем хородю известны эксперименты с призмой, впервые выполненпые Ньютоном, которые показывают, что показатель преломления заввснт от цвета, т.
е. от частоты света. Если мы хотим сохранить формулу Мзксвелла, то необходимо предположгичь что е нс является постоянной велнчнкой, характеризующей сре. ду, а зависит от частоты поля. Зависимость з от частоты можно объяснить, лишь принимая во внимание атомп)чо структуру вещества. Эта зависимость кратко будст рассмотрена в 4 2.3. Формула Максвелла (с з — статической диэлектрической пронццаемостью) служит хорошим прнблюкениым выражением, например, для газов с простой химической структурой, в которых не происходит существенной дисперсии света, т.
е. для веществе оптическими свойствамк, слабо зависящими от цвета света. В табл. 1.1 приведены результаты некоторых ранних измерений Таблица 1.1 Таблиаа цз для таких газов, выполненные Л Больцманам (101 Формула (14) представляет гобои хорошее приближенное выражсние и для жидких углеводородов, например, у бензола С,Н, и = 1,482 лля желтого света, а )' а =1,489. Вместе с тем для многих твердых тел (например, стекол) и для ряда л,идкостсй наблюдается сильное отклонение от формулы (14) (табл.
1.2), 3 1.3. Скалярные волны В однородной срелс в областях, свободных от токов и зарядов, каждая из декартовых компонент )г (г. Г) векторов поля удов.н:гворяет, согласно (1.2.7), однородному волновому уравнению у'р —,—, =о. 1 дш ш дм (1) Нюке мы кратко исследуем простейшее решение этого уравнения. з* )гл. 1 осиовнмг свойства злсятиомкгнитного поля 1.3.1. Плоские волны. Пусгь г (х, гл г) — радиус-вектор точки Р, а з(з„,з,з,1 в единичный вектор с фиксированным направлением.
Говорят, что любое решение )равнения (1) вида У = (г(г з, () (2) Представляет плоскую волну, так как в каждый момент времени величина )г постоянна в плоскостях г з==сопз1, которые перпендикулярны к единичнокгу вектору з. Удобно выбрать новое положение декартовых осей Оя, Ог), 0ь так, чтобы ось Оь была направлена по з.
Тогда (рис. !А) г.а=к (3) д д д д — =5 —, — =3 дх «дс дд- гдб д г7 — = 3 дг *дг ' Отсюда легко получить г "' — д(г д х Рис. 1 4 Р,гсарагтргигяяе ала. скоб гагам (4) н, следовательно, волновое уравнение (1) запишется в таком дги Р дгк —,— — —, .=О. дбг " дг Если мы положим ~ — с(=Р, 1+о(=д, то (5) примет вид дг1 — О. бр дч виде (б) (7) д дгд х д где г —. (г) = 1' х'+уг+гг. Истюльзуя соотношения — = — — = — — и т, д, дг дхдг г дг непосредственным расчетом найдем 1 дг й'р — — —, (г)г) и, следовательно, волновое уравнение (1) примет вид —, (г)г) —, —, (г)г) — О. д' 1 дг (10) Общим решением зтого уравнения служит )г=у,(р)+г',(г)) =1',(г з — Ш)+)г,(г з —,Ы), (в) Иде )гг и 1',— произвольные функции. Мы видим, что аргумент функции 1', не изменяется при замене (ь, й яа (С + От, 1+ т), ГДЕ г ПРОИЗВОЛЬНО СЛЕДОВатЕЛЬНО, )гг ПРЕДСтаВЛЯСт ВОЗМУЩЕ- ние, которое распространяется го скоростью и в положи льногг и правлеции оси,.
Аналогично 1',(ь —, об - — зто возы> щгние, распростраиюощееся со скоростью о в отрицагельиом направлении оси Ь. 1.3.2. Сферические волны. Теперь рассмотрим решения, представлиющие сферические волны, т. е. решения вида Р=Р(г, 1), (9) 37 % 1.31 скхлятньм волны Это уравнение совпадает с (5), если в последнем заменить ь на г и У на г(г. (:тедопательно, решецие уравнения (11) можно сразу же записать в виде '(8), т. с.
и, (. — ы)+ у«(«+гг) (12) l где у, и (㫠— по-прежнему произвольные функции. В правой части равенства (121 первый член представляет сферическую в«лчну, расхаляшуюся от начала координат, второй — сферическую волну, сходящуюся к началу координат, причем скорость распространения обеих вали равна а. 1.3.3. Гармонические ватны. Фазовая скорость.
В точке г„пространства во«м»щсние, зьжяянное загнан, зависит толька от времени, т. е. )г (г„г) = Р П). (13) И «приведенных зхм«наний о цвете очевидно, что особый интерес представляет периодическая функция Т, Г1агтоыу рассмотрии случай, когда Г имеет внд р (т) — а соз (М.~- Ь).
(14) Величина и() О) называется амплитудой, а аргумент косинуса (мг + б)— Фазой. Величина т ы 2я, (15) назынается чпгпютай и представляет число колебаний в секунду. Величина е называется угловой (нлп циклической) частотон и дает чиода колебаний в 2я сект нд Прн замене ( на г Р Т значение функции р астаегся неизменным, иозтому 7 являегсь «ирпадал колебаний. Волновые функции (т. е.
решения волнового уравнения) в форие (14) называют горл«оиичггкими относительно времени. Рассматриы вначале волновую функцию, которая представляет гарманичг«ку«а ц«юную галчу, распрастра««я«ащ»юся в направлении, заданном едцнич. ныы векторам з. Согласна и. 1.3.1 анз получается при замене в формуле (14) на ( — (г з)рщ т. е. Ъ'(г, С) =.
а соз [м Г( — — ~ + Ь~ . (16) Уравнение (16) не изменится, если г з заменить иа г з + Л, где Л =а — =оТ. 2я (17» Длина Л называется длиной годны. Полезно также определить приггдгнлую длину волны )ы Л« = сТ = яЛ. (18) Эта длина волны соответствует распрастраняюпщйся г гикуумг гармонической волне той жс частоты В спектроскопии пользуются также понятием волнового числа ) к, ко~орое определяется как число длин волн ггикуумг, приходящееся на единицу длины (гм) ! к= —. (19) Удобно также ввести векторы й«н й, направления которых совпадают с направлением распространения з, а длины соответственно равны й, — — 2пк=2п)Л« =туг (20) и 2 =- лй, = 2п) Л = пи(г = м/а.
(2Ц Вектор й = Дз называется галиогым гектарам или гектарам распространения в среде, а Л«.=- й«з — соответст в»ющнм вектором для вакуума. *) Мы будем называть г «спектра«копия«савы залповым «я«лакэ, а теряяя «волвазаа число» ссызяы хля Д«и«я Д опредсляемых равенствами (20) я (21), как зта привито з азтвке. (гл 1 основные свойств» элактгомьгнитнога поля (22) Рассмотрим теперь гармонические волны более сложной формы. В об~»ге»4 случае вещественную гармоническую скалярную волну с частотой ю можно определить как вещественное решение волнового уравнения вида (г(г, 1) = и (г) соз [ю1 — п(г)], (23) где и() О) и йс — вещественные скалярные функции положения.
Поверхности и(г) =сопя! (24) называют паввркногтяни постоянной фивы, или волновыми ипввркнпстдни. В отличие от предыдущего случая, поверхности постоянной амплитуды волны (23), вообще говоря, не совпадают с поверхностями постоянной фазы. Говорят, что такая волна лвгднорадни. расчеты, связанные с гармоническими волнами, упрощпнзтся, если использовать экспоненцнальные функции вместо тригонометрических. Уравнение (23) можно записать в виде )г (г, 1) = Ке ((У (г) ехр [ — гю1] ], (25) где () (г) =и(г) ехр [(п(г)], (26) а символ Ве означает, что берется вегцестненная часть.
Подставляя (26) в волновое уравнение (1), мы найдем, что (1 должно удовлетворять уравнению р'() - и'д;(у —.О. (27) Величину (1 называют камплвкслои амплитудой волны. В частности, для плоской волны имеем *) и(г) =ю У) — Ь=Ф( ) — 6=-й — Ь. (28) Если операции, производимые нал (г, линейаы, то в выражении (25) можно опустить символ Ке и оперировать прямо с комплексной функцией. При этом вещественная часть окончательного выражения будет прсдставлять изучаемзю физическую величину.
Однако если приходится иметь дело с нелинейными операциями, такими, как возведение в квадрат и т. д. (например, при расчетах плотности электрической влн магнитной энергии), то, вообще говоря, необходимо взять действительные частя и оперировать только с ними *'). В отличие от плоской гармонической волны, волна более общего вида (25) не периодична в пространстве. Однако фаза ю1 — л (г) одгщакова для (г, 1) и (г + с(г, 1 + й1) прн условии, что юдг — (йгад и) дг — О. (29) Обозначив через й единичный вектор в направлении дг и написав дг = р йь, найдем отсюда Вя ы иу ч аснвк' (ЗО) Эта величина мнг4имальна, когда вектор й перпендикулярен к поверхности по- *) В случае пнаскнх волн »усто ны»сяянп постоянный ннажнтсль схр ( — 46) н няаынаюг кони»»канон ннплнтудой тонька переменную часть ысхр (~п.г).
') Эта нс саян»ус»ьно, кося» нсс ян сасс ет линь срсдасс по нрстюнп от квадратичного ныр жс~ия (сн. ур »нонн» (К4."4] - (К4,йд. Вместо постоянной 6 применяют также понятие длины идти 1, представляющей собюй расстояние, на которое удаляется волновой фраат при увеличении фазы на Ь, т. е. СКАЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ клк видно из этого выражения, есть компонента вектора (йгаг) й)/а в направлении В определенных случаях фазовая скорость может превышать с. Для плоских волн это осуществляется, когда и =)' в)г меньше единицы, как в случае диспергирующих сред в областях так называемой аномальной дисперсии *) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
