Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Векторнссе волны 1.4Л. Электромагнитная плоская волна общего вида. Просгейшнм электромагнитным полем является пале плоскои волны. В этом случае, согласно и. 1 3 1, каждая яз ксвшонент векторов поля, д следоватсчьио, и векторы Е н Н зависят лишь от переменной и = г з — ог, т. е. Е=Е(г з — Ш), Н=Н(г з — о(], (1) здесь з, как и раньше, единичный вектор в направлении распространения. Обсоначнм точкой дифференцирование по ( и штрихом дифференцирование по переменной и. Тогда дл, дн Е - — оЕ', (го! Е)„=- — — г = Е;з — Е;з, = (з х Е')„ (2) дч дг *г Подставляя зти выражения в уравнения Максвелла (1.1,1) и (1.!.2) с ) = 9 и используя материальные уравнения (1.1.10) и (1.1.11), получим ахН'+ — Е'=О, зхЕ' — — Н'=-О.
зс яч с с (3) Полагая постоянную интегрирования равной нулю (т. е. пренебрегая постоявиь1м полем ао всем пространстве) н, как н раньше, считая о(с = 14/ а)с, получим после интсгрнрования соотношения (3) е — — 1~~ (зхн), н =- игл — (эхе). г д (4) Это выражение нужно сравнивать с выражением для фазовой скорости гармонической волны общего вида (31), т. е. с ,со (57) ( Кгсд -~'- ( В частном случае распространения группы плоских волн в направлении г имеем й = дг, и (56) переходит в (47) Как ясно из прелыд)щего, эффективный интервал частот Ли представляет собой важный параметр, отяосяшндся к волновой группе; по существу эта величина определяег скорость изменения амплитуды и фазы. Если дисперсия среды невелика, вслчновая группа проходит значительное расстояние без заметного «размытняг Прн таких обстоюельстяах групповая скорость, которую можно считать скоростью распространения группы как целого, является также скоростью распространения энергии (см., например, !15, 16!).
Однако в общем случае это неверно. В частности, в ооластн аномальной дисперсии (см. и. 2.3.4) групповая скорость может «резыснть скорость света илн стать отрицательной; в таких случаях она уже ве имеет физического смысла. (гл ! ОснОВные сВОйстВА электгомагнитнОГО пОля Скалярное умножение на з дает Е В=Н Е=О где Е = !Е!, О = 1НЦ Рассмотрим количество энергии, которое протекает в единицу времени через элемент плошади, перпендикулярный направлению расггростраиения. Вообразим цилиндр, ось которого параллельна з, а плошадь поперечного сечения равна сдннипе. Тогда количество энергии, которое прогенжт гергз ОГНОНаинс ПИЛИНДРН В ЕДИНИЦУ НРГЧЕНН, РаВНО ЭНЕРГИИ, СОДРРж<гпсйСЯ В Чаетк цилиндра длиной о.
Следовательно, поток энергии Равен оиг. где ш — плотность энергии. Согласно (6), а также (1.1,31) плотность энергии определяется выражением иг = — ' Е' =. !" Н». 4Н 4и С другой стороны, вектор Пой нтиига, в соответствии с (! .1.38), равен 8 —.— — ЕИ а == — ! — Е<5 = — 4 — Н "а. 4л 4и г и 4П Р В Сравнивая выражения (7) и (8), получим Б = — ив = жаз. Мы видим, что, в согласии с и.
1.1.4, вектор Пойнтинга представляет собой поток энергии и по величине, и по папрзвленнго распространения. !.4.2. Гармоническая электромагнитная плоская волна. Особый интерес представляет случай плоской волны гармонической во времени, т. е. случай, когда каждая из декартовых компонент векторов Е и Н имеет вид асов(т+6] —. Ее[Секр [ — ((т+6)[) (а>0).
(10) Здесь т обозначает переменную часть фазового множителя, т, е. Г <г т =- Чг '( ! — — 1 = Ог( — 14 ° г. Выберем ось Р в налранленвп а. Тогда отли:ными от нуля будут ли нь х- и у-ьо»гггоненты Е и Н, поскольку, в соответствни с (5), поле попсречно. Нигке мы рассмотрим характер крквой, которукг Описывает конец электри- ческого вектора в произвольной точке нространстиа. Этз кривая являегся геометрическиы местом точек, координаты которых (Е., ЕВ) Равны Е =а,сов(т+6,), Е„=а,соз(т+6,), Е,=0. (12) а. Эллилглическая поляризация Для того чтобы исключить т нз первык дв)х уравнений (12), иеренншсч нх в виде Е (а»= сов тсоз6,— з!птз(ибо Е )а<=сов <сов 6,— з1птз(пб,, (13), Следовательно, (й) Л„.
ЕР—" за 6„— Р з1п 6, = соз т Нп (6, — 6,), <» < — "созб,— созб =-згптзгп(6< — 6»). 1 (14)г (6) Зто соотношение выражает <попере гность» поля, т. е. Оно показыааеч, что электрический и магнитный векторы лежат в плоскостях, перпендикулярных к паправлсчикг распространения. Из соотношений (4) и (6) вытекает, что Е, Н и е абраг) ют правую ортогональную сисгему Векторов.
Из равенств (4) след)От также, что р'р Н = Р'Р Е, (6) Э !.4! вектор»ми волны Вовяодн в квадрат и складывая, получим (!'~) Е„'~Р /Е ДР Ь' Š— ! +( — ! — 2 — — сааб=в!п*б, иг! (и / и, ир где б: —.6,— б,. Соотношение (15) является уравнением конического сечения эллипса, так как соотвстств)ющий детерминант асотрицатслси, т. е. (16) Оно имеет форму 1 сова р ир ирир соря 1 р и,а, и, = — (1 — совр 6) = 1 р м и,ир Еал з л =-' —,, )Π— (ир ,- Зтот эллипс впнсан я прямоугольник, сто роны которого параллельны осям коорди иаг» имеют длины 2а, и 2а, (рис !.61 (20а) (206) (21а) (2!6) Эллипс касается счорон пряяоугольннка в Ряс.
!.З. Эзл»птяческя»и»яр»зови» точках (~ао сва, сор Ь) и (ша, соч 6, исаи), В этом сл)час говорят, что волна, р «риррс р р вр тррв описываемая (12), элли»тически поляризована. Легко видеть, что волна, связанная с магнитным вектором, также поляризована эллитическн. Из (4) и (!2) следует Ни= — Р с)р Е = — г' з)(ра,соз(т+бр), ) гг =. Р Р)Р Ел = Р Я)Р а, соз (т -1- 6,), (!7) Н;= О.
Конец магпитиого вектора описывает эллипс, который вписан в прямоугольник со сторонами длиной 2)г я)р а, и 2)"а)ра„параллельнычп осям х и у. 'В общем случае осн эллипса не параллельны осям Ох и Оу. у!усть Ов и ОП— новые оси, на правленные по осям эллипса, а ф (О ( ф ( а) — угол межд) Ох и направлением главной оси Об (см. рве. 1.6). Тогда компоненты Е, и Е будут связаны с Е, и Ер соотношениями ЕВ=Еисозф-(.Ерыпф, Е,= — Е„ашф-1 Е созф (18) Если 2а и 2Ь (а р Ь) — длины осей эллипса, то уравнение эллипса относительно осей ОЦ, Оп будет иметь вид Ее=асов(т )-бр) Е,=шбып(т4рбр). (19) Наличие двух знаков указывает на возможность двух направлений движения каипа электрического вектора, описывающего эллипс.
Чтобы »предел»рь а» Ь, срази»м (18) в (!9) я используем (13); тогда а (сов т сов 6, — в1п т в!п 6„) = = а, (сов гсов 6,--ыптя!пб ) совф +а,(сов с сов 6,— ыпт з1п 6 ) ыпф, — 'Ь(ыпт сов 6„) совтвшбр) = =- — а, (сов т соз б, — ы п т в(п 6 ) ып ф -1- ар (сор т соз 6, — ып т з1 п Ьр) соз ф. Приравнивая коэффициешы прн соз т и ып т, получим а сов б, = а, соч б, соз ф+ ар сов б, ы и ф, аып6,:=а, ып6, сов ф —;а, ып 6,ыпзр, -)- Ь сов 6, .—. а, з! п б, вш рр — а, ып 6, сов ф, -е Ь ып б„= — а, соз б, вш ф+ а, сов б„сов ф. [гл 1 основянг свойства элзктеонлгннтггаго полн Возводя в квадрат, складывая (20а) н (206) и используя (1б), находим а- — а,' сох' ф + а,' ып' гр -1- 2п а, сон ф ш п ф сов Ь, аналогично из (21з) н (216) имеем Ьг = а,' шп' ф + а, 'созг гр — 2а а, сох гр шп ф соз 6.
Следовательно, (22) (23) а'+ Ьг =. и,'+ и,'. Умножим теперь (20а) на (2! а), (206) па (216) и сложим. Это даст ~ аЬ=п,а, шп б. Деля (21а) на (20а) н (216) на (206), получим Э а,ма а,зяб. а Яп басах г~ — а, соза, Япй-~-а созе,саззг а а,газ ь, газ(г-,-азсазбгзгп Э а,яп ьг газ Г г.агяпагяп г Отсюда находим следующее уравнение для гр.
(а,'— а ) зги 2ф = 2а а„соз 6 сос 20 Удобно ввнсти такой вспомогательный угол и (О < и < и!2), чтобы а,/а, =1ки. (24) (25У Тогда предыдущее уравнение примет внд 1к 2ф = —,, соз б = 2а,аг 21ня соз б, а,* — аг 1 — 1кг „ т, е (27) 1п 2гр=((н 2а) сов 6. (26) Из (23) и (24) мы найдем также — — "; ып6 =(згп 2я) яп6. 2аз 2а,аг аг-1-Эг а,-)-а, Пусть у ( — я(4 ' т ( и/4) — другой вспомогательный угол, такой что ~ Ь) = 10 К. (26) Численное значение (д у определяет величину отношения осей эллипса, а знак при д характеризует двз варианта, которые можно использовать при описании эллипса.
Перепишем уравнение (27) в виде ып 22 =(юп2я)юп Ь. (29) Полезно кратко просуммировать результаты Если заданы а,, а, и разность фаз 6, относящиеся к произвольному положению осев, и если я (О- ( сг н я!2) — угол, определяемыи соотношением 1ка=о,уа„ (30» то главные полуоси эллипса и и Ь и угол гр (О ( гр ~ и), который большая ось образует с осью Ох, находятся из формул аз + Ь' = а,'+ а*„ (31а) (к 2гр — (1н 2я) соз Ь, (316) шп22 =-. (жп2я) ып 6, (31в) где )( ( — п(4 я: )( ( я(4) — вспомогательный угол, определяющий форму и ориентацию эллипса колебаний, а именно' 1ну= ~Ь(а, (32'г Наоборот, если известны длины осей а и Ь и ориентапия эллипса (т е заданы и, Ь н ф), то этн формулы позволяюг найти амплитуды а„а, и рашюсть фаз Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
