Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 24
Текст из файла (страница 24)
(20) 2.1.2. Запаздывающие потенциалы. Рассмотрим решении неоднородных волновых уравнений (11) и (12) дли векториога и ска гяриого потсицпалон, под. чипяющиеся соотношению (!0), и покажем вначале, чта этим уравнениям ') Уряышгве (19) опнсывоет поло в свободной от зарядов облястн в впкууче тремя скяяяриымя выл оеыми функциями (дсквртовы компоненты вшторв Л). Из-зя соотвоыенив щ.
ил. однвко, пе.гтя с ггг зть незячисимымн. 1(с"грудно покязять, по фактически в такой обявм поле опредсаяется двумя вегцесгвеаными скалярныыи волповыии фувкпивми (см., например, 11 — з)). злвхттбмхгянтнмг петькин>лм н поля>кахиня !гл. 2 удовлетворяют следующие функции: А( ( 1(', г-ц. ]дг. ~ р(гд à — Л>а] (21) (22) у р,— — ~=О. 1 (25) При этом ясно, что >Г> представ хяет суперцознцню ряда сферических волн (см. уравнение (!.3.!2)). В случае ф, мы должны, однако, поступить иначе, так как подынтегральпое выражение нмесг особенность в центре сферы Я = О.
Заметил>, что, выбрав радиус сферы достаточно малым, можно добиться того (при условно, что р — непрерывная функция г н О, чтобы для всех точек г' внутри сферы о(г', à — >х>с) отли >алось от р(г, 0 на величину, мепыпую любого наперед задашюго значения. Следовательно, когда радиус и стремится к нулю, Ч-'еч будет все более н более приблшкаться к зпачешпо, соответствующему электростатическому потенциалу равномерно заряженной с~к>рь> с плотностью заряда р; т. е. для достаточно малых а имеем т>4» —.— — 4пр(г, !).
(26) Аналогично ч»-ь0, когда а — г О. В самом деле, если а достаточно мало, мы можем написа>ъ а 3»=р(г, () ) —., =4пр ) >х>(г=2яа'р, (27) лса о а эта величина стремится к нулю при уменьшении а. Следовательно, из (24)— (28) вытекает, что при а- 0 7>>à — —,, >у= >>(4»+Ч») — яи((р>+>р>) — 4по (г, (), 1 ! (28) так что (22) удонлегворяег неоднородному волновому уравпспи>о для скалярного потенциала. Совершенно аналою>чным способом можно пока>ать, что кан'- дая из декартовых компонент вектора (21] является решенном соотвглствукь щего скалярного воляовсго уравнения, неоднородный член которого содержИт вместо р соответствующую компонен>у вектора )>с, Следовательно, (21) удовлетворяет неоднородному волновоцу уравнению для векторного потенциала.
Более того, е силу справедливости уравнения непрерывности (13) эти решения удовлетворяют также условию '!орентца (10]. Выражения (2!) н (22) допускак>г простую физическую интерпретацию. Онн показь>ваюг, что мы можем считать А н >р состоящими пз вкладов от каж,>ога элемента объема пространства, причем вклады от произвольного элемента Здесь И=(г — г'( =)' (х — х')'+(у — у')'>. (г — а')' (23) — расстояние между точкой г (х, Гн г) и точкой г' (х', у', а') элемента объема >((>С Интегрирование проводятся по всему пространству. х1тоб>ы убедиться в точ, что (22) удовлетворяет неоднородному волновому, уравнению для скалярного потенциала, мы вообразим, что точка г окружена сферой радиуса а с центром в этой точке, и разделим (22) на две части ч'=>г>+>р» (24) где >р> — вклад н интеграл от внутренней части сферы, а >р.,— вклад от остальной часги пространства. Так как )! о0 для каждой точки г'(х', р', г) внс сферы, то >р, можно продифферепцнровать под знаком интеграла.
Тогда прямым расчетом легко убедвться, что >г> удовлетворяет однородному волновому урав- нению 87 ч 2.2) ПОПНГИИЛПЯЯ И ИАМАГНИЧВИИИ й 2.2. Поляризация и намагничение 2.2.1. Выражение потенциалов через поляризацию и намагниченне. В гл. ! мы привлекали и изучен>по поля материальные уравнения )) = « Е н  — !ЛН. Они означают, что поля Е н Н и каждой точке среды вызывают некие смешения Р и В, пропорциональные Е и Н. Вместо того побы описывать взаимодействие поля и среды пг>средством таких «мультнплпкативпых соотношений», мы будем описывать его с помощью саддитипных соотношений» В = Е+ 4яр, (1) В = Н + 4нМ.
(2) Величина Р называется электрической поляризацией, а М вЂ” ми иыгпмой поллрнэацией или намагмичеииеж. грнзический смысл вгих величин выяснится позже; здесь мы заметим только, что н Р и М равны нулю в вакууме, и поэтому они отражают влияние среды на поле простым, интуитивно понятным соскобом. Предположим, по среда является пепроводящсй (о= О), и рассмотрим поле в области, где плотности тока и заряда равны нулю (и: — 1:: 0). Исклю>ая )) я Н из уравнений Максвелла (1.1.1) — (1.1.4) посредством (1) и (2), получим чп -. го1  — -Е= — 1, с с го1 Е+ —  — О, (4) б!ч Е = 4ир, (б) гйу  — "О, (б) где плотиосгпь свободного тока ) н плотность щк>бодного зарнс)а р определяются соотношениями ) =Р+сго(М, р =- — б!в Р.
(7) (8) *) можно скопе груироввть решения также н форме осер>моющих вожжино щв (г (14-Дгс) вчссто (« — пус)). Ог>н прспствзлвк г влвнние прихохягпнх сфери геслнх волн, тогхв кзк ззпзздыввшщие готенцнзлы отрвкмот влнявие ухотящнх сфернческвх волн зя гчст н«которой 4ормзльногг асимметрии мы можем огрзничнтьсв решениями в ввпе Ыних ззпззцыввощих потенциалов. При термоинввмичсском рвссчотревни юявмопсйстви» излучении с веществен окззывзется, ч ю всггиметрня присущ» физическои ситувщгн. Это оправлывзет ввш выбор !см.
!41. особенно.сгр. 26), г))г' в А и гр составляют соответственно 1 1 (г', à — Дгс) р (г', 1 — >У/с) и и Величина )г(с в точности равна времени, необходимому для распространения л нега пг точки г' до г, так что каждый вклад должен епокинуть» элемент н такой предыдущий момент времени, чтобы сдостичь» точки наблюдении и требуемое время !. По угой причине (21) н (22) изнывают эапаздызающини г>оп>гни>>аиыис '). Выражения (21) и (22) представляют собой часпюе решение волновых уравнений (11) и (12), а именно такое, которое получается при заданных зарядах и токах. Общее решение можно найти, если добавить к нему общее решение однородных волповьж уравнений 7»А — — „А=О, (29) узрв 1 (30) также подчиняющееся условию Лорентца.
влевтеочлгннтвма потенциалы и палягнзлцнз 1гп 2 Уравнения (3) — (6) форявлько идентичны урввкекиям для поля в вакууме, рассмотренным в преаыдущем разделе. Следовательно, кзк и в с.чучае вакуума, мы можем ввести такие векторный паге1щнал А н скалярный потенциал !р, що В=го(А, (9) Е=- — — А — йгаб р. 1 (10) (17а) Й =г — г'. Следовательно, (15) и (16) можно записать в виде 1( [], [1 А= ]( ! Р [М] — — ',Кх[М]+ 1 [Р] ~д ', (20) Из первого члена каждого интеграла можно выделить интеграл по гранич- ной поверхности.
Лля атого воспользуемся векторными таждсствами д)ч! — Р) = — дгеР-)-р.йгад —, '1 Х 1 . 1 '1л )=л ' г (2!а) га1 [ — М ) = — го( М вЂ” М х йгад — . /1 '! 1 ! )=л (2161 Интегрируя приведенные соотношения по произвольной конечной области (18) (19) Кроме того, если наложить, как и ранее, условие Ларентца 61н А+ — гр =-О, (11) то по аналогии с (2.1.1Ц и (2.1. 12) мц получим следующие уравнения для А и 1р: 1" ля- рвА А (! 2) 1 у'о — !р = — 4яр. (13) Условие (11) согласуется с (12) и (13), если ++б!ч] =-О.
(14) Зто соотношение удав,тетваряется тождественна, что легко получить из (7) и (8), использовав векторное тождество д!ч го)=.О. Согласно (2.1.21) и (2.1.22), а также (7) и (8] решения уравнений (!2) и (13) можно выразить через поляризацию н намагннчение в виде !р= — ] и [д!ч'Р] ду" „ 1 (! 5) А = ~ — ~го!' М+ — Рч д)п. (!6) Здесь днфференпнальные операторы д)ч' и го(' берутся для координат (я', у', г') точки интегрированна г' в злемснте объема д)', а квадратные скобки озна- чают запаздывающиезначения, т. е.
внутри каждой скобки аргумснт ! заменяется на ! — Юс. Прямой расчет позволяет получить следующие тождества: д!ч'[Р] = [д!ч' Р] + к )1 [Р], гау [М] — -- [гаРМ]+ — Е х [М], (1 76) 6 2.21 поля> ичапяя н намагннченне и используя теорему Гаусса, получим ] — (и. Р) >(5= ] ] 1 б(ч Р -[-Р йтаб — ) >6>, — (п х М) >(5 = ] 1 — го( М вЂ” М х йтаб — ] Жт. 1 г11 11 Я вЂ” 3'[Я (22а) (226) Интегралы слева берутся по поверхности, ограничивающей эту область, п — единичный вектор внщпней нормали к поверхностн.
Предположим, что вещество (т. е. область пространства, где Р и М отличны от нуля) находется внутри конечной замкнутой поверхности. Если интегралы (19) п (20) берутся по объему, заключенному внутри этой поверхности, то поверхностные интегралы в (22) равны нулю, а (19) и (20) можно записать в виде р=~([Р] й à — '+,-' ((- [Р]]бр'. А —.- ] [ [М] х цгпб' —,, —,—, К х [М] + -,— [Р] [ гй'. (23) (24) Последние выражения позяоляют понять физический смысл величии Р п М. В самом деле, рассмотрим случай, когда Р и М равны пулю всюду, кроме исчезающе малого элемента объема вблизи точки г,(х„ра, г,). Фора>альве юо можно записать с помощью детьта-функпии Лирака (см. приложение 4) в виде Р(г', 1) =р(П 6 (г' — г,), (25) М (г', 1) =: >и (1) б (г' — г,).
(26) Тогда (23) и (24) перейдут в 4>= [Р] йгад, я + — >К ° [Р], 1 1 (27) А = [ш] х д ад, — —, )с х [т] + и [р], 1 1 ° 1 (28) где и =- г — г„Я =. ~ г — г, [, (29) а тай. означает, что опсратор берется относительно координат к„, ум заточки г,. Уравнения (27) и (28) допускают простую интерпрстапяю. Рассмотрим элсктростатичсский пагенппзл двух фиксированных электрических л> зарядов — е н +е, расположенных в точках, радиусы-векторы которых относительно фиксированной точки ()>(г>1 равны — а!2 и а>2 соотвсг- эти > ствгппо. Кулояовскнй потенциал >р (Я), связанный с этими зарядами, равен (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
