Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(гл. 3 основы гвомвтнической оптики 113 (12) Нас интересует решение, соответствующее случаю очень больших йи Поэтому правыми частямн уравнеяпй (! 1) — (14) можно пренебречь, если выражения, которые умножаются на Ий„не будут чрезвычайно большими. В этом случае уравнения (11) — (14) запишутся следующим образом: Огас( 9з х Ь + ае = О, (11а) йгай Ухе — рЬ=О, (12а) е Огас! еУ =- О, (!За) Ь йгаб 9'=О. (14 а) Ограничимся изучением лишь уравнений (11а) и (12а), так как (1За) и (14а) получаются из вих, если первые скалпрпо умножить па ягаб д'.
Уравнения (11а] и (12а) можно рассзсатрнвать как совместную систему шести однородных линейных скалярных уравнений относительно декартовых компонент е„, Ьк,... векторов е н Ь. Эта система имеет нетривиальное решение лишь в случае выполнения условия совместности (равенство пушо соответствующего определителя). Последнее легко получить, исключая е или Ь иэ (1!а) и (12а). Подставляя Ь нз (!2а) в (1! а), находнлс — ((е йгаб 9г) Огас( сУ вЂ” е (йгас1,У)') + ее =- О. и Первый член обращается в нуль на основании (13а), и поскольку е не равно нулю во всем пространстве, находим (йгаб 9)з = л-', ((ога) или в явном виде ,' — ",„")'+®'+®'-. з(х, у, з), (1бб) где, как и рааее, и =)' еи — показатель преломления, Фусскцсссо зг" часто называют эйколилом *), а соотношение (156) — уравнении.н эйдонила; оно является *) Тернии зззканзз (ет греческого слава ежыз — изибрижение) быд введен в 18ЭЗ г.
Врунсеи длн ебезнвченвя неиюерык езяззииык фуивцва (еи. стр. 188), одивки в дзд нейлеи ен стал ирниенягьсв в более нжрекем смысле, Подстановка (3) в качестве пробного решения в уравнения Максвелла дает не- сколько соотношений между е, Ь и 9'. Будет показано, что в случае бозсьших й, (малых ).„) из этвх соотношений вытекает требование, чтобы величина 9' удовлетворяла некоторому дзссрс(мренссиальному уравнению, пе зависящему от векторных амплитуд е и Ь Используя хорошо известные векторные тождества, получим из (3) го1 Н, = (го) Ь+ Йз агаб 9' и Ь) ел Р (!Ье У) (с)) б(чрН,=-(!сб!чЬ ьЬ изнар-,сйрЬ бган У)ехр(йзеУ) (101 н аналогичные выражения для го1 Ез н гНт вйм Следовательно, уравнения (2) — (5) примут вид йгабУх Ь+ве= — сго1Ь, 1 нЬ (11) с йгай 9'хе — рЬ= — —.
го(е, глз е драим 9' = — -.и-(е йга3 !п в+ 3 ге е), 1 (13) ' е Ь йгад еУ = — —. (Ь Ьтай )п р + й!з Ь). с (14) 1!9 ПРивлнженне Очень кОРатких линн наин основным урапнсннем геометрической оптики *). Поверхности еУ(г) = сопв1 называются есаььсгпрьаыскильи волновыми павврхнаапдми ищь иеомегпричсскими солиовь(ми ф(ююпа ии **1.
Уравнение чйконала было вывсдсно нами из уравнений Максвелла (дифференциалшгых уравнений первого порядка), однако сто можно получить в нз волновых уравнений (уравнений второго порядка) щ(я векторов электрического цли магнитного полей. Лля этого следует подставить вырюкения (1) и (8) в волновое уравнение (1.2.6), н тогда после простых преобразований получим К(е, 3', л)+ 1.(е, У, и, м)+ —,, М(е, в, р)=0, (16) К(е, й"„и) =(пз — (йгаб 9')е) е где ! (е, еу, и, р) = — (йга() еу.йга(()п р — ч7зот) е— — 2 (е йгад 1пл) йга((9' — 2 (йгаб еу' дгаб) е, М(е, е, р):=. гойе хйгаб )цр — т7зе — йгад (е.йгаб 1пи).
Соответствующее уравнение, содержац(ее Н и получающееся после подстановки выражения для Н в (1.2.6) (либо, проще, используя то обстоятельство, что уравнения Максвелла Остаются неизменными при одновременной замене Е на Н и е на — р), имеет внд ьр и)-1- —,. С(й, У, и, в)+ — Н, „М(й, р, е)=0.
! ! НЬ'е! Нз=-ехр(й,еу) д ((й и, (18) ыэо Е, =- ех р ((й„Я') ~ ьо ( где еою и й("' —.функции координат, а 9' — та же функпия, что и раньше нее"). Геометрической оптике соответствуют первые члены згих разложений. 3.1.2. Световые лучи и закон интенсивности в геометрической оптике. Из соотношений (6), (1А.64) н (1.4.56) следует, что усредцепные по вреыени плотности электрической (щ,> и магнитной (ги > энергии записываются *) Уреонение зйк ~неля ногино считзть также харектеристическям ураннением полисных урезиеиий (б) и (б) из Ь !.2 ж(я 6 и Н. Онп дът строга опегзиие ряспрострзнения разрызон рып иго ыих урез сияй.
Охняко е гс метрической оптикс ие-соыуклся не респрострзисаяем рячрызиое, а решениями, гармопически (нли почте гармонически! меняющимися со временем. Н прило кенни б показали формнльеья зкзинзлспгпостж этих доут иит рпретяпий. Урз испив зйкоизлл ыо ио рзссмзтрнизть тек с кзк урзенснкс Гзыильтона — Якоби для езризпиоиной зздзчл б,( л Вз=а,впервые постаиленаой прнменительнн к оптике Ферма (см. п. 3 2.2 и приложение !). '*] и нелепейшем е тех мсстахсгде зто ие вызовет недоразумений, мы будем опускать прилагагелыюе геометрический, ***) Здесь мы предо,зегесм, что через кзждую точку прохопит тольКо опии геометрнческиа еачноеоз фронт.
В ес~готорых случеях, например, прн начнчнн е среде Отрзжяюпмх препятстиий, через каждую то пгу мшкст проходить несколько волновых фронтов. Тогда результнруюп(ее поле голучается сложением нескольких рядов подобного тапа. ""'т) Теория тихих асимптотнчесиих рззложспий были инесе"че рязпнтя глзанын абра сом и рябою луехбсрга !(61.
Сн, тзьжо1!7е), 1!З! и !221 (!счсрпыззюший обзор теория приведен е !(71. В случае достаточна больших йт вторыми и третьими членами в (16) н (17) обычно можно пренебречь; тогда К=О, откуда сразу же следует уравнение эйканала. Позднее будет показано, что члены в (16) и (17), содержащие !/(йе е псрвой степени, также имеют физи (покос истолкование. Можно показать, по во многих важных случаях векторы Ее и Н, ыожво разложить в асиыптатические ряды вида *'*) 120 (гл, 3 Основы !'еомзтгичгской оптина в виде <ш,>= —,е-е*, <ш„)=,в Ь Ье.
(!9) Подставляя сюда е" из (Па) и Ь из (12а), получим <ш,>=<си )= —, [е, (ге, йгабя1, ! (20) где квадратные скобки обоз!тачают смешанное произведение. Следовательно, а приближении гвпмгтиричсскаи ахи!шки цсргднгмиыг па тург!игпи плотности э!витра«сгнои и магмнтипт! энергии ртюмьт друг другу. Среднее по времени значенье вектора Пойнтинга можно получить с помошью (3) н (!.4.52); имеем (3> = — Ке (е х3"). зл Используя (12а), получим <Б) — '((е ее) угад еУ вЂ” (е угад йе) е"). Зп!с Ня основании (1Зз) последний чнен в этол выражении равен нулю; выражая затем е е* через (ш,) и используя соотношение Максвелла гр —.— а-', находим <$> = — „, <ш,> йгад ль, (21) Поскольку (ш,> =<ш ) член 2(ш„) определяет среднюю по времени плотность полной энеРгии (ш> ((ш) = (ьэе> 4 (шм)).
ВыРажение же (йгаб,ут)гп на основании уравнения эйконала является единичным вектором (скажем, з), т. е. агав у' агнд д' (22) и )шначх)' тогда из (21) стедуег, что вектор з направлен вдоль усредненного вектора Пойнтннга. Полагья, нак и раньше, с)п = о, выражена!е (21) шгжно переписать в виде (5) = и (гв) з. (23) Следовательно, направление усредненного пп времени вектора Поймтинга совпадает с нормалью к геометрическому волновому фраату, а абсолтотная ггп вгличняа равна произведению средней тыопиипгти энергии иа скпрасто и.=-.
= с,'и. Этот результат аналогичен соотношению (1.4.9) для случаи плоских волн и свндвгельствуег о том, что в приближении геомгтрическаа оптики средняя плотность энергии распрпстраилгпия со скоростью о =- с,'и. Ггамгтри«вские свгтпавьтг лучи можно теперь определить как траскторнн, ортогональные к геометрическим волновым фронтам ят'= со~!э(. Мы будем прнпнсынать этна линиям направление, подгоня, что оно совпадает н каждой точке с направлением «средне!того вектора Пойнтинга *). Если радиус-вектор г!э) точки Р, расположенной на луче, рассматривать как функштю длин з дуги луче, то дг)дз = з, и уравнение луча запишется в виде вг („.ь (24) Иэ (13а) и (! 4а) видно, «то вгктпоры электра«гскага и магнитного полей в каждой точке ортогопальиы лучу.
ч) Такое определенне снетоеих лучса прееедлнео лнюь длп наотрапнмх сред Паоле, и га, !4 ми увидим, по н аннтатропнаа р тг нормап~ к нолпоеаму фронту е оаащсм случае па совпадал с непргеленнем нектаре Паннтннга. 121 пгивляжспнп очвнь коготких клип волн Смысл уравнения (24) можно пояснить следующим образом. Рассмотрим два соседних волновых фронта аг=- сопз! и ус+Ах=-соп«! (рис. 3,1). Тогда зд зг — = — йта д ус = л. (25) Следовательно, расстояние дз между точками пересечения пормшш с»тими волновыми фронтами обратно пропорпионально показателю преломления, т. е, прямо пропорционально и.
Рпс. 3 1. Чертеж, поясплгожпа смысл саотпошеппп пв=-Игеа ил Рпс З 3 К выводу песо«е пптепспвпостп и се«истре»с«поп оптике Интеграл ) адз вдоль кривой С называется оптической длиной этой кривой. Показывая квадратными скобками оптическую длину луча, соединяющего точки Р, н Р„получим 1 Р,РД = ~ л дз = 9'(Р,) — У (Р,). (26) Как мы устаяовилп, средняя плотность энергии распространяется вдоль луча со скоростью и =с!л, поэтому ! = ! Л 8) ) = о (иф, а закон сохранения (1А.57) дает дги (!з) =- О. (29) Для того чтобы понять смысл этого соотношения, рассмотрим узкую трубку„ образованн)чо свстовыии лучами, выходящими из элемента 35, волнового фронта ~ (г) = а, (где а,— нос юя иная), н обозначим через дд, соответствующий элемент, котоРый пе1»ее«клип»ги лУчи иа дРУгом волновои фРонте ср(г) == а, (рис.
3.2). Интегрируя (29) по объему трубкй и применяя теорему Гаусса, по. л учим ~ !и тдЯ=.О, (30) где и — внешняя нормаль к гговерхности трубки. Поскольку (28) 1 на д3м а т= — 1 на дды О па остальной поверхности,' л дз — — — уз= од(, с где д( — время прохоасдения энергией расстояния да вдоль луча; следовательно„ (Р,ре) =с ~ д(, (27) Р, т. е. оптическая длина (Р,Р,) равна проеапеденшо скорости света в вакуума иа арсик, рапаростгграчсния птта от Р, к Р,.
Интенсивность света 1 была определена нами как абсолютное значение от среднего по времени вектора 1!ойнтинга. Поэтому из (23) следует, что Основы геенн>Раевской оптики (гл 3 122 (30) сводится к выраженню (3 1) Рне 3 3 Д выводу закон» кнтененннастн н геь. н<>гнчееньн ьп>нке кчн нрнх>т<нненных .лучей В,С,=В;йф, А,В, = )3,йй где йй и й р — углы, под которыми видны А,В, и В,С, из соответствующих цент- ров нривизиы г') и сг', Следовательно, й5, =А,В, В,С,=РД;йййф. (32) Аналогичное выражение получается для элечента й5„ко<орый выделяется пучком лучей, прошедших через й5ь нз другого волнового фронта семейства, т.
е. й5, = А,В, В,С, = В>)<>е'йййф. (33) Если 1 расстояние между й5> и <Б„из черепное вдоль луча, то )<».= )3>+1, К =В;+1, н окончательно получим лз> й>>1'> (й,+>) (й~+>) Если п.тощадки й5, я й5> ограничены пронзвольиычн кривыми, то формула (34) все ранна гютт:ся справедливой. В этом легко убедиться, если разбить площадки на большое число элементов, ограниченных ливиями кривизны, а за- тем просуммировагь вклады от всех элементов, Если )<>чьей К~(1, то (34) сводится к 1> й<р> (33) (34) Этой формулой иногда пользуются при изучении рассеяния света. Велиюша 1>)<Я', обратная произведению двух главных радиусов кривизны, называется гаугсогай (или второй) кривизной поверхности.
Из (34) следует, что и любой точке прялолингйного <>уча интенсивность пропорциональна гиуасо<юй криниэнг волнового фронта, арохадяи<гга чсргэ этц точку В частности, если все (прямолинейные) лучи имеют одну общую точку, го в<>лионы< фронты имеют внд сферических поверхностей с центром в этой точке, тогда )<>::. )т;, )<>=-)<,', и мы получим (опуская индексы) закон абратноги кгадрата расстоя. лин, т. е. е>пм 1= — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
