Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 36
Текст из файла (страница 36)
эта онзлоп>я пыла отчетливо обнаружена олагодаря блсстчшим исследованиям Гамп шь > ш>з, метод которогс> приобрел весьма важное значение н современнои физике, особенно в волновои механике де Бройля Чтобы пе прерывать рассмотрение а>пнческих проблем, изложение способоз вычисления вариапий и описание ш>алогпп Гамильтона помещены в отдельных разделах (см. прн.к>жепчя ! и 2). Здесь т>ы только покажем, как нз интегрального инварнанта Лагрен.кз чюжно >юлтчнть несколько теорсл>, сы> равшнх важную роль в раэвитин >сометрнческон оптики.
Рассмотрим л) чи в однородной среде: если все они имеют общую точку, например исходят нз точечного источника, то говорят, что лучи образуют л>лопгн>прп нтжнд лучок Такой ну юк образует нормальную конгруэицию. поскольку кажным луч пучка пересекает под прямым углом сферические поверхности, центр которых расположен в точке пересечения лучей. «) Сне>сне>нежное изложение такого типа приведена, например, н работе Кзрятеохорн 13!. Малюс ') в !868 г.
показал, что если гомопентрнческий пучок прямо- линейных лучей прслохтляпгся илн отражается какой-нибудь поверхностью, то г»олучзз»по йся после згого пучок (в общем случае уже пе гомопснтричсскпй) тоже образует»торт»зльпую ковгруэгщщо. 1(озднес!1к»пин (!8!б г.), Кнстсле (1825 г'.) и Жергог»н !1828 г.) обобщили результат Малюга. Работы этих ученых иознолиля ссюрмулпровзть следующую теорему, называемую иногда глеоремой Мадюса и Вюппна. Норлальнлл прямпланеанал конгрр ггг(гул ога»г»»тася норлааьнан лг»гзе лгобого щсла пасюлделий и гтрг»лггнг»г! "*).
лг Достаточно доказать эту ~ Роргму для случая одного вктз преломления. Рассмотрим лг ла нормальную прямолинейную конгруэнпию ЛУЧСй Н ОЛПОРОДПОй СРСДС С ПОКапатСЛЕН ПРГ- Ууг ломлення и, н пргщюложнч, что лу»и прелом- "т 4 лаются и» повсрлностн 'у, глдсляющей зту г среду от другой одпородиои среды с показателем преломления л»»рьгс. 3. !4). Рнс. 3.»4.
К донзззпыьсгзу то»рз. Пусть»; — олни нз волновых фронтов нызязлюса н дюпннз. в первой области, Л, н Р— точки пересечения произпотьпого луча в первой среде соответственно с Б, и Т, а А,— точна на пргломленном лхчг. Если тогку Л, сзсгтить в другую точку В, патом же волновом фронте, то гочка Р на поверхногтн преломления сместится в Я. Теперь на прелолщенноо в точке ь) луче выберем такую точку Вю чтобы оптиче- ский путь от В, до В, раннялся оптическому путв от Л, до Л„т.
е. чтобы '1Л, РЛ»т(= [В, !4В»]. (8) Если перемешать то~ку В, по всей поверхности В„то точка В, при своем пере- мещении заполнит поверхность Яз. Покажем, что преломленный луч ()Вз перпендикулярен к втой повсрхности. Вычисляя интегральный инвариант Лагранжа пхь замкнутому пути Л,Р Л ..ВДВ»Л „получим нг(з+ ~ аз йг+ ~ айз+ ~ ла.йг=О. дул, д,в,, в,оз, в,л, На основании (8) можно написать пйз+ ) пйз=-О. (1 О) А,гл а оа, КРОМЕ ТОГО, ПОСКОЛЬКУ НЗ ВОЛВОВОМ фРОНтЕ Ят ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР а ВСЮДУ ПЕР- иепдикулярен к нему, имеем пз йг=-О (11) з,л, (9) и, следовательно, (9) принимает вид пз йг=О. (12) л,з, Полученное стютногвение гюлжно выполняться па Ят для любого Отрезка кривой. Зто возможно только в том случае, если 3 г(г = — О для каждого лиисй- *) Сн.
!301, з также 1311. В рабате(321 прнзеденм ссылки н изложена интересная нсторня тзпрзмм Малюга — !Ььпннь. '*» дгнн 'Ь знг 133! донн»зп пбрзтную тзнрнну, состоящую атом, ю» днз любые нормаль. пьн прзнс. н»ю~ г г ьожрузнннн но нно пере»нстн друг з друга с понощмо Одного нрзлондзннз нзн птрнз зннз, в 8.81 дРугис Оспозныз теОРпны РРОнзтРичнскпй Оптяки 185 пановы гвомкп ичкской антики (уз В ного элемента с(г поверхности з„т.
е. если преломленные лучи перпендикулярны к ней, другимн словами, если преломленном лучи образуют нормальнрро конгрузнцисо Доказательство лля случая отражения абсолютно аналогично приведенному выше. Поскольку )А,РА,) .— (Е,()(),), можно утверждать, что оптическая длина пути между любылси двумя волновыми фронтами одинсиима для всех .гучей. Очсвядна, что этот результат остается справедливым для случая нескольких последовательных преломлений илн отражений, а также, как непосредственна следуег из (й!.26), в случае распространения лучей в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Эта теорема называсгся принципом равного сттическога пути, из нее следует, чта геометрические волновые фронты нормальной конгруэиции лучей или совокупности нормальных ковгруэнпий, образованных в результате последовательных преломлении или отражении, «оптически параллельны» друг другу (см. приложение !).
С последней теоремой связана теорема, впервые влглвинутая Гюйгенсолг )34), которая утверждает, чю каждый элемент волнового фронта можно рассматривосгзл как центр воюричтзго возмущения, пороэгдюощего вторичные сдкрпческие волны и, кроме того, что волнжым фронтом в лкюои тхледункции лсомент времени служит огибающая этих вторичных сферических волн Зпг )тверждение (я!ко!роение Гюйгенссс) служит правилом для построения поверхностей. «аптически параллельных» друг другу Бслп срела однородна, та при построении можно использовать сферические волны консчного радиуса, в противном слччае.
необходимо пользоваться волнами бесконечно малого радиуса. Теорема 1юйгепса была позднее обобщена Френелем и легла в основу так называемого принципа Гюйгегка — Френеля, играющего важную роль в теории дифракпии (см. $' 8 2) и являющегося основным постулатом волновой теории света. ЛИТЕРАТУРА 1 М НзгхЬ«гбег, 5И«ызпор1й,5рппви, В«гни,!931, р !79, 2 ! 1пз!гьдз52, 429— 435, 485 — 493, 534 — 542 (1932) 2. С Са гз!Ь « а догу, Осот«)пзсьс ОРИс, 5ргзпкзг, В«г!зп, 1937 3 Е М з с 1к ТЬ« Рагнар)сз о! Рьуыса! Орцсз, А Нзз!опсз) зпс! РЬНозорькз) Тгза!пзп1 (пгрза» пснзпксс «газаке 1913 г ) 4.
О К з гсЬ и с11, уог)ззпп8«па Мз)Ь Рьуз 2(М«щзтзнзсьзОРЬК), Тза5пег, 1.«фп6, 1891, р 33 5. В В з К «г, Е Сор«оп, ТЬ« Ма!Ьета1ин! ТЬ«агу о) Нпуиет' Рппсзр)е, С1агзпдап Рг«зз, Озмсд, 2пд зд 195), р 79 6. А зомтзг1«)д, Орпсз, Асад Ргзм, Мзн Уогх. !954. (А Зонызрфзльа, Опчплз, ИЛ, 1953 ) 7. А кс т т «11е14, 3. Е паке, Апп. д Рьузй 35, 289 (19П). 8.
В И г з з т а з с к з В, Труды Оптзчзскога зкстзтута, Петроград, 1, И! (1919). 9 В А Ф о к, Труды Оатаческога эзстэтутз 3, 3 (1924) 10. С М Рыча з, ДАН СССР ИЬ 263 (1938) П М А г) з ), Пз! КЬ! Пзсз!се Чздзпзи 5«МК 22, )В 8, 1945 12 Е О Г г ! «д(з оде г, Ргас СзтЬг РЫ) 5ос 43, 284 (1947) !з к 5 ась у, Апп 4 Рьуззк 11, 1!з (щт), щ, 423 (1953), 13, мазе!В) 14 Ц 5 1гзвагдзп, А Кгзунзсхц Ас1« РЬуз Ромпкз 14. 255 (1955) 15 Е К 1, з и Ь и г К, Мз)в«~пзбг«1 ТЬ«огу о! Орпсз (Мкызогрзф), Вгонп Оп~э, Ргочь в«псе, 1944, р 55 -59, пеззгког издание 1 тч Сзрдагпзз Ргзм, Вег).е!зу а (зы Анке)ез. !964, р 51 — 55 16. Н К.
Е и не Ь и гк, Ргаракзаапа1 Гнзс1готаппзпс%«чзз, Меч Уагк, Опзчегзиу,!947— 1948 П М К 1 з и «, ! 49. К а у, Е)и!тот«2пз!к ТЬ«агу о1 Осоке!гкз) ОР1кз, 1п(егзи Рпы, Мзн тоги, 1965 17а М К1з не, Созпм Риге а АРР1. Ма1Ь., 8, 595 (1955) 18. М К)з и «, Сопки Рнге з Арр! Мзнг 4, с«5 (1951) 19 5)зсразют оп ТЬ«огу о( Е!«с(гоюзвп«1к Ъзчзз, )п(сгзсзсэсе Мси Уагк, !951, р. 225 26 М К 1 з и е, Саппп Риге з Арр! М«1Ь 14, 473 (196П 21 Г В ог1о)о!1Ь Еепд й Асг Мзз 1эпс Вз 4, 652 (1926) 22. %. В та пиЬех, 2 Ьа1пг(агзсЬ В, 672 (195!).
нг(ткиатуиа !Зу 23. А В. К с| |ег, 3. Арр!. Рпуз. 23, 426 (1957): сы. такзгеСа)сп!из о|ЧаНаНопв ап6 Из АррН- саИопз, е6. 1.. М. Огачез, Мс(ггол.НШ, Нею Уог1г, 1958. 24. А В. Кс!1сг, Тглпз. 1ЛЕ, Л. 1ь.-4, 312 (!956). 25. 3 В. К с1| с г, В М. Еси ! з, В. О, Зс с Ь!сг, А Лрр| РЬуз. 28, 570 (1957). 26. Й. С о и г а и 1, ВИ|егеп1га| апп )п!спга)Са|сп|оз, Чо|. !., ВМсИе, О|азрочч, 2.пд еб, 1942 (Р. К у р а н т, Курс диффереиниального и интегрального исчиптюшн, ГТТИ, |9И.) 27. С. Е.
!Ч еа|Ьег Ь игп, ОИ1егеп186 Оеопте!гу а| ТЬгее О!юепзюпз, СагпЬг. 1.шч. Ргезз., Чо!. 1, 1927; Ча|. Н, 1930. 28. Е Н. Р о ! и с а г е, Еез Мейа4ез НоичеВев йе 1а Месап)9ие Се)ез)е, ОаиФ|ег-ЧШагз, Рагы, |899. Чо|. 3 29. Е. С а г ! з п, Ееропз зиг |ев 1пчаНапН |п1е8гас И Негптапп, РаНз, 1922. (Э. К а р т а н, Интегральные инварианты, Госгекнздат, Ш40.) 30. Е.
Ма|из, ОрНсые Вюр|пцпе, Э. Есо1е ро|уеесЬп. 7, 1 — 44, 84 — 129 (1808]. 31. Е. М а 1 и з, ТгиЕсйОРН9ие,Мент. ргсзеп!а|'!пзН|и! РвгдстсгззачапВ2, 214 — 302(1й)). 32. )Ч. В. Н а т ! | ! и п, Мв)!ггчпз!)сл) Рарсгз, Чо1. 1, Оеопге1г|са|ОР!|сз, ед. Ьу Л. )Ч, Сопюау, а. Я. 1.. Зупдг, ГыпЬг. !Таею Рьгзз. !931, р, 463, ЗЗ.
Т. Ее ь 1-С|ч 11л, Ееггп. й. Асс. Кзз. Егпс. 9, ллу (1900). 34. СЬг. Н иуде па, '1'га|!е дс |а |.ню|еге, ЕеШеп, !690; МвсМБ|зп а. Со. 1912. (Х. Г ю 9. теис, Трактат о свете, ОНТИ, !935.) Г 7АВА 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕН И И' 4 4.1. Характеристические функции Гцмнльтона В й 3.1 было показано. что в приближении геометрической оптики поле можно охарькгсрн.онаго одной скалярной фуикцисй хн(г). Поскольку йг(г) удовлетворяет уравнению энконала (3.1.1б), эта функция полностью определяется величпнои показателя преломления п(г) и соответствующими граничными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
