Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Насзо вместо ф)чзкнии хр (г) использузот тесно связанные с ней функции, называемые хариктгриснзическини функцилни среды. Онн бьщн шзедепы н оп. тику Гамильтоном в серии его классических статей 1! 1 з). Несмотрп на то, что вследствие существенных алгебраических трудностей характеристические функции люжно вычислить н явУг а ном виде лишь для самых прод .млг )етых сред, методы 1 амильтона р У тическнх систем.
б) Уз являются мощным срслствон для з систематических аналитических г ф исследовапнй общих свойств опгз При обсуждении свойств этих функций н ах приложений ннс. 4.!. к апрздзленнюззхсчнза характеристика. мы будем предполагать, что рассматриваемая среда изотропна, но, вообще говоря, неоднородна. 4.1.1.
Тачечнаа хаРактеРистика. ПУсть (хю У„ г,) н (хю У„ г,) — соответственно координаты двух точек Р, и Р, в двух разлн зных прямоугольных координатных системах, осн которых параллельны друг другу *з) (рис. 4.1). Если соединить этп точки нс ми возможныыи кривыми, то в общем случае некоторые пз них окажутся оптическими лучами, удовлетворяющими принципу Ферма. Предположим вначале, что дне произвольные точки соединяются только одним лучом Тогва харакзтрнсгнческая функция у', илп точечнин характеристика, определяется кнк оптическая г)лини (Рзрз! лучи .несиду двумя точками, рассматриваемая как функция их координат, т.
е. з*, )г (хю ую г,; хю ую г,) = ) и х(з. (1) Необхоззимо подчеркнуть, что эта функция определяется свойствами среды. *) Зтн набаты пгргпе мтзнм з !З!. Много лзт спустя Брунс пззззнсама рзссиатрсл знз.загнзныг М нш зн, х,зюннз оз назвал зйханатми 131.
Кзх ухз. отмечалась выше, зтат теринн хгзл узотрсблхтзсх пюд ~зс з более шкракаы смысле. Сами хзрзктзрнстнчзскне функции Гзмзлзтозз нзхз кнагдз зззызаюг захаюшзиз. Палезныч зтдззззч к изучению методов Гамнльтанз служит монография Сннюка 14). Сзяз| мзл.ду работами Гзннльганз н Брунса абсумдалзсь в трудах Клейна !5, б1, Карзтеадпрн Кй н з полемике Гернбергерз с Скнлжеы !81. '*) Испальзоззнне двух координатных систем нмеет некатарае презнтздестза, поскольку тачка Р„к Рз часто Нзсзыаз сны з Резан шых аблзшзх, з тетка з з)зостнззсгзс абьекш н нрастранстзз изображения оптической системы, й 4.11 КАРАКТЕРИСГНЧЕСКИЕ ФУНКЦНИ ГАМИЛЬТОНА Из выражения (1) н соотношения (3.1.26) следует, чта 1 (х ° Уе ге: хг, У„гл) =-ег (хз Уг, гг) — сл (хе Уе ге) (2)' где ф) икглия фс связана с любым пучком лучей, к которому принадлежит световой луч, соедннялоший тачки Р, и Р, (например, с пучком, испускаемым точечным источником н Ре) *).
Тогда на основании Ц 1 24) получим следующие соотношения для направленных вдоль луча единичных векторов з„н з, в точках Ре И Рл: угаде У = — л,з„йта бг )т =- л,за (3) здесь индексы 9 и 1 указывают, что оператор йгаб действует соответственно на кооРдинаты (Аь Уь, ге) н (хы У„, г,). Вектор й= из (4) иногда называют лученьем ветлором. Пусть а, (1 и у — углы, образованные лучевым вектором с координатными осями; тогда ега проекции на аси р = л соз сс, д = л соз 6, т = л саз у (6) называются лучевыми компонентами "*).
Учитывая тождество созе а+ созе р + созе у = 1, мы видим, что они уловлегворяют следующему соотношению: р' ф уз+ т' =- лз. (6) Согласно (3) лучевые компоненты в точках Р, н Р, определяютсн выражениями д)' ду Р— — Р == (7) дге ' ' дг, ' аналогичные соотношения справедливм для ды д, и ты т,. Отсюда следует, что, зная точечную характеристику, можно сразу же лзпределйть компоненты луча, соГДИНЯЮПЛРГО двс ПРоизвольные точки в сРеде.
Далее из (6) и (7) вытекает, что точечная характеристика удовлетворяет уравнению зйконала, записанному как в координатах х„у„, г„так и в координатах хы уь гы т, е. (3) (9) Часто вместо точечной харантеристнки удобно использовать другие, снял ванные с ясй функции (также введенные Гамильтоном), которые называются смешанной и угловой ариеперистпигсаяли Их можно получить из точечной характеристики с поллошью преобразананий Лежандра*" *), и они аказывак;тся особенно полезнычн, когда Р, или Р„или обе зтн точки находятся в бесконеч.
ности. *) нв юьп с взрьлшюнпогоисчисяевня,ч' сяужнт решением урввиеиия Гвмияьтонв— Якоби, связзнво о'. влриышоиы и зедичсй ферме, содержащим диукпврвметрнческое ссиеиство (юз) зкстремллеи Гл лсчнея л рвктсристическвя функцн» У является общим решением, содерл ямим все (ыи .кс.рсч~ «(сч приза.ксиве !) ') текли:в ич;ктрл«щсе облоллзченлле выбрано здесь с определенной целью — напомнить, что аллы тря -о.кйчтнт (б) независимы товько дее лучевые компоненты ьт'1 нрслбрчзов.шнс лсыввдрв и общем свучве тшл трвнсфорчирует фунипию у(г, у) я фуикпию у (г, г), где г — д!) др, что производная от у по попой оеременной г ранив старой перел менной р гзоматРичхскзя РРОРия Оптичзских изОИРАхэринй Ий (гл.
4 4.1.2, Смешанная ларантеристика. Смешанная характеристическая функция Ф' определяется нз уравнения )Р =К вЂ” ~, р,х„ (10) где суммнрукптя трн сходных члена с индексом 1. Чтобы продать счэзшэзоэ хэрактзристэке более нагдздпыэ физический смысл, мы, схе.
дуя Гэнджу, определяем ез со знаком, протизоподожиым тому, которыи испозьзоззх Гэмнэтпох ГМЕШЭППУЮ ХЗРЗКтЕРЭСГЗКУ Мэжиа РЗКжз ОПРЕДЭЭЭРЬ СООтЭОШЭПЭР» З"= Рб-хэпзз, гдз стммз~роээээо ироэзэодэтсэ по сходным чдшэм с кодексом О Фуээчэз И' э И' оцээдаю1, хозе пш, совершенно одээзкозымэ сэоэстээми Как мы видим, )Р' — функция девяти переменных, однако в общем случае только шесть нз вих независимы (в одпородпои среде — пять). Для доказа ~ельства последнего утверждения предположим, что точки Р„н Р, сместились на небольшие рзсстояннзь Соответствующее изменение )Р дастся выражением 6%" = 6(г — ~~ р, бх, — ~ тздрз.
(11) Согласно (7) (14) б)Р* = — ~ р,бхз — (х,— — ' г,) бр,— (уз — Р' Р,) бйы Рз (19) "! Если хэхзз либо фуньзи» зазнсят от оэремэаных, гзязээиых дополннтзльиымм соот. мошээихми, тзхмми, кзк (Ь), то шсть этих перэмээных можно исключить можно также зос. иоэьзоээтьгз э кшэиэззми гопгэоимпээмз дэк эрзобрззозэоээ функиви з одэородаую по всем псремсззьз Посэедэ~ою ироаедуру, которзх окээызастса довольно сдожиои, часто испош зоээя !'амзльтои.
6)г =~д~ р,дх,— 2', рзбх ° (12) Из (1Ц н (12) находим б)Р' —. — ~ рздл; — ~, 'х,дрз. (13) Отсюда следует, что з общем случае йг является функцией шести переменных хз уз. Рэ, ры йз, глй при этом дкг дя' р«= — —, х= — —; охэ' з орз' аналогичные выражения справедливы для й„уы т, и г,. Согласно (6) функция !!'(хз, уз, гз. рз. дз, гпд удовлетворяет уравнению ' энкоиала (Т)' -('— ',)'- (Т)'=: Отметим (рис. 4.2), что сумма ~',р,хз имеет простое геометрическое истолкование, а именно лз эз й,рзхз = пзйз.
(16) где й,= ОзРз — проекция О,Р, на касательную к лучу в точйе Р, Если Р, находится в пднороднои а, среде, то часть луча в окрестности Р, совпздаегсотрнс аз к рз зиию з- резкомО,Ро тогда, сорэ|асио(10) и (!6),фун«цня )Р' шаииов хзрзхгэрнсткк». является оптической длиной луча огп точки Р„до ос- нопиния ()з пгргзендакуляра, опущенного иэ начала координат О, на пмлоднгций ихсжстпгмьз луч (рис 4 3), т е. (Р' — (Р,О,). (17) Поскольку н этом случае показатель преломления срелы около точки Р, постоянен, из выр.ькенин (К) следует, что обл,-! о бш (187 ш $ а фориэля (13) после полстановки в нее (!8) принимает внд *) % 411 141 хагактггистичгскик чкнкции гамильтона Следовательно, если у конча луча среда однородна, то сне»ионная хараюперистика является фуякйиеи пя»пи переменных )Р = )Р (ло Уо го*' Р» Ч») а ее производные удовлетворя»»т следующин соотноииенияи дж да' дн' Ро = — — Ча =.— д»о ° о дго ° ' " оав х — — г= — —, у — — г=- — —.
р» дгг О, дя' (22) ен » дп, ' ' ы, ' до Отсюда вытекает, что есан заданы точка на луче в первой среде и лучевые компоненты во второй среде, то, зная смешанную характеристику, можно сразу (23) Рас 43. Иктеркрогаккк харак»врасти»ескке фуакккк Гамильтона а слу»ае однородных начальное а кокеток»реа ггс»,. к, *, „к„о=[в Рд. н»».»,. о,.е,» = гл ол. го», о, о,, е,»"-иод аналогичные выражения справедливы и для гц»угих координат Из (23) следуег, »» о если среди, в которых находяп»ея точки Ро и Р„однородны, то функи»т Т лвллется оппшческой длинои луча между оспованияии 4)о и Д, перпендикуляров, опущенных из О, и О, на начальный и конечный отрезки луча (см.
рнс. 4 3), т. е. Т=(М,). (28) В зточ случае угловую характеристику можно представить как функцию »олька четырех переменных. В самом деле, если испольаовать формулу (18) для бт, н аналогичную формулу для бт„то (24) примет вид бТ вЂ” (хо 2, е ~ бра+ (Уо ю го) бро Оо »' оо »о в»о (х, %,»~бр, („, й ь Последнее выражение показывает, что в случае однородньсх начальной и конечной сред угловая харатпериспшка зависит от четырех перенеяяых ры ды р, н д„ же определить лучевые компоненты в первой среде и точки на луче во второй среде.
4.1.3. Угловая характеристина. Угловую характеристику Т можно определить с помощью следующего соотношения Т =- У+ ',~~ р,х, — ~; рос,. (23) При небольшом смещении точек Р, и Р, соответствующее изменение Т, согласно (12), равно бТ =--~ х„бро — ~ х,бр,. (24) Следовательно, Т является функцией шести лучевых компонент, и при этом дг д7 Х=- —, Х.=- — —; о»»'— (25) (гл. 4 142 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОЕР*ХКЕНЕй а именно 128) т=т(р„, д,; р„у,), а ее производные удовлетворяют соотношениям вт х — 'а =- —, м ' др,' ' ю, ' вв, Итак, если известны лучевые компоненты начального н конечного атрезлов луча, то, зная угловую характеристик), можно сразу же с папашью (29) определить координаты точек на зтпх ° часчьат юча 4.1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
