Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Точки на осн ву в дв', апреле»еш~ыс последними двумя равенствами, назыпавотся !узлозьвм»ь Онк являю»ся сопряженными точками и харакгернзуватся»сч, что сопряженные лучи, прохолнвппс через шж, параллельны дрП кругу. Расс»ояние между узловыми тачками равно расс»оппелю между главнымн точкамп. Прн / — — /» узловыс точки сояпадыот с главными. Фокусы, главные и узловые точки называются кирдвлнальными точками данного преобразования. й 4.3! пгосктивное пгзовзьзованиз пгн лкснельиой симматгии 155 Иногда оказывается удобным отсчитывать расстояния не от фокальных плоскостей, а от главных. В атом случае вместо 3 и зу используют переменные — Г=2' — (' (15) Уравнение Ньютона ЯЕ'= Д' принимает тогда вид ж+ —, = — 1.
(16) Используя свойства фокальных точек я главных плоскостей, можно простым геометрическим построением найти точку Р', сопряженную данной то еке Р. с!срез точку Р проводи е дне прямые, одна из которых параллельна оси, а другая проходит через фок)с Р (рнс. 4.11!. П)сть,! н В точки, з которых зги прямые пересекаются с главной плоскостью 'М.
Тогда из свойств главных плоскостеи следует, что точки А' н В', сопряженные А и В, яплиютсн точками пересечения двух прямых, прсжедечных через А п В пзраллелыю оси, с пчослогтью '!!'. Далее, .нескольку РА проходит через еокус Р, прямая Р'Л' ло:|жна быть пзраллелыш осн, з хак как РВ параллельна оси, Р'В' лолз на проходить через другой фокус Е'. Следовательно, изображение Р' находится на перссеченян линий АА' и В'Р'. 4.3.2. Телескопическое отображение.
Рассмотрим теперь частный случай телескоппческогоотображепня(аффиппой коллинсапии], Кзк уже ранее отмечалось, опо характеризусшя тем, что обо фокальныс плоскости находятся в бесконечности. В этом случае се=- О в (5) н (5) и соотношение (о) принимает внд Зы, еее-(-ле (17) Ле' зе Бзедехе опш ь две сзееостояссльные координатные системы в пространство преде ега н в пространстве нзабраже шя. Начала этих систем поместим в,пооыг две сопряжсииыс точки оси. Формулы преобразовании в новых координатах примут простой вид 1" =п)е, Л'=82, (18) где м —.
Ь„Ы„п (1 - се'е)„ Поперечное и продольное увеличения в данном случае постоянны. Угловое увеличение тожс постоянна: для доказательства последнего утверждения рассмотрим двз сопряженных луча, з начала координатных систем позеестихе и точки, где зги лучи пересекают ось. Тогда уравнения лучей запишутси ввиде К=21йу, (19) Следователшео, ект' у' г в зе Рк'т х' г =3 е, ° (20) Хотя в случае телескопического отображения как ), так и !' бесконечны, нх отношение )е(! должно оставаться конечным. Так, согласно (9) прн с,-е О инее"е ееле р ! Зе зе' 4.3.3. Классификации проектианых преобразований. Проектнвные преобрашззння хюжно классифицировать по знаку фокусных расстояний.
Волн ~ракуспые расстояния имеют разные знаки, то )! ( О, и и соответствии с (12) имссч г(йое(Л ~ О. Отсюда следует, что сслн п(ещчзт схкгппь вдоль осн, то его изображение сместится в том же напрзвленни. Позднее б) дег показано, что подобное отображение осуществляется прн ищюльзовапни либо только преломления, либо четного числа отражений, либо их комбинации, Такое огобраексине назь.застоя е!еклшерическия. Если фокусные расстояния имеют одинаковые знаки, то !Р = О.
Ы'Й(л-' О, и сьшщениеа предмета вдоль оси соответствует смещение изобрахссшш в противо- геометрическля теОРия апти'>вских нзавглжянкй 156 положную сторону. Такое отображение осуществляется с помощью либо нечетного числа отражензй, либо комбинапии нечетного числа отаажений с любых: числам преломлений. Подобное отображение иазыпаегся хииющприческ>. с В зависимости от знака фокусного расстояния 1 в каждом пз расслютреаных случаев различают два типа преобразований. Из (1!) видно, что прп Л) О поперечное увеличение положительно при 1 ) О и отрипатечьно ирп (( О. Следовательно, объею, рзсположсниый в пространстве предмета, имеет прямое или псреверпхтое изображение, в зазисамаюи от то>о, положител~но лв 1' или отрииатсльно. В нервам случае преобразование нн.>ыиаюся сходяи(ил>- ся, во втором — рис>хсх)яи(ил>ся. Такая терминология связана с тем, что паджащий пучок параллельных лучей после ирсжожденпя главной плоскости в пространстве изобра>кения становится в первом случае сходящимся, а во втором— расходящимся.
В табл. 4.! приведе>ш классжрикапия преобразавяний. >'эбл и аз 4.! Классифлклчя» лрэтлтилмых >ртэбрллчвээчя (лрлл лч лчлкол декарта> С л с. ) р>тхлл л т л длаятрэчэские ~ 1 > о; 1' < о ~ 1 < а( 1' > о Клтоптряческве ~ 1 > а; Г > а ~~ 1 < а; 1' < а Ут )т Хт У, 1, Х> (221 до 1,'' >'> х> 1 Пусть с — расстояние между фокусами гт и гт.
Поскольку пространспю изображения первого греобразования совпадает с пространством предмета второго, то ~> — ~о (23) Исключая из (22) с помощью (23) координаты промежуточной области, получим г,'У, г,'У.' г>1,У, 1(1>гт > 1= 1> 1> ' 1>дл ' >т1т "сза Й 1*1 11> !1д >в д> ет - с 1>1> 1>1> сзт ха (24) Пусть у у т т Щ у'=у;, 2'=2,'+ф. (25) Урзвисняя (25) с>пвсывают изменение координат ири сме>пении начал кск>рлннатиых си<тел> соответственно на величины 1,')т>с и — 1>1';1>> вдоль оси Л.
В этих В частном случае телескопических преобразований указанные четыре типа различжот по знакаь> величин сх и )1. Из (21) следует, что если (> ) О, то получается диоптрическае преабрззаняние, э если (! ( О, та катоптричсское. Далее из (Рй) следует, что преобразование булет сходящимся или расхолящикся в зависимости от того, положительно ли а или отрицательна. 4.3.4. Комбинация праектизных преобразоганий. 1лассыотрнм теперь два последовательных ираекпшпых преобразования, вржпательно симметричных относительно одной и >ай же оса.
Индексом О будем отмечать первое преобразование, а индексом 1 — гторое. Тогда уравнения, апределя>ощне этн два преобразования, запвшхчся в виде 157 пАРАксиАльнАя оптикА (27) Из (25) следую, что расстояния между началами попых и старых с:ютем ко ординат, т. е. рассгоиния 6 — Рср н 6'= Рзр' между фокусами комбшщровапного прсоорззонанни и фокусами отдельных преобразонаний, равны соответ- ственно 6 =- --, 6' = — —.
/с/е Ыз с ' с (28) Если о = О, то / = /'= ао, и эквивалентная коллинеация становится телескопической. Уравнения (24) прн этом принимают вид /е (29) /~Й псштояиныс «и (1 из (18) длн эквивалентного преобразования выражанггся следующим образом. (30) /е /е/е Угловое увелнчений равно теперь ькт р /, (31) Если одно пли обз преобразования телескопические, то приведенные рассуждении 1есзблодим~ несколько видоизменить. в 4.4.
Параксиальная оптика Перейаем теперь к изучению простейших свойств лина, зеркал и нх комби папий. В приводимой ь ну»~ теории рнссмитриниютси ли~пи точки н лучи, лежа щие н непосредственнон близости от осн; ~леиьу, содержя~цие квадраты и более вмсокис стспеии расстояний от осн пли углов между лучзин и осью, отбрасывакпся. Эга теория называется паракспальной сп,гикая нтп оптикой Гаусса '). 4.4,1. Преломляющая поверхность нращения.
Рассмотрим пучок парал.тельпых лучей, падающей на преломляющую поверхяость вращении, которая рошчелиет две олиородпьлс средь> с показитслямп преломления л„и л,. !1оложснне точек и лс чей и обеих сре )ах будет описываться отьи1ситезп но одной декартовой снстспм координат. н»1», а кото) ой находится в полюсе О поверхности, а ось г направлена вдо.п, оси симметрия. Пусть Рс(хш дь г,) и Р,(хь р„гй — точки соответственно на падающем н преломленном лучах. Если пренебречь члснамн второго н более высоких порядков, то нз выражении (4.1.29). (4.1.40) и (4.!.44) следует, что координаты этих точек н луговые компоненты обоих лучей связаны между собой ') Здесь.
кик н раш шс. пуле» испол»»анена обмчзое крапило знаков ииачюичсскои ~соме» рне (чраиила знзк~ и декарте). ар)тес пропили зникои, примсписммс пз прзизьж, нопраено ое умкмпс» а З ьлзкс, пыззшспиом изу ссиш ~самесрпчаской оптики и апублнкониннам Лондонским физи искии осижстиам з )эти г.
координатах уравнения комбинированного преобразования принимают вид (26) где 158 гкомкггичкская теория оптнчкских нзоаехжепий (гз, 4 соотношениями дт ~ п,''др, 1 иа ~ча д, дтн' у — -'г — — — —.=- — 2дду — Фу . ла ' дда где, согласно (4.1.45), ! г «4.=. бд =— З лг ла ' (1а) ! !б) (э) (б) р ..=- па — гы Согласно (4) и (5) попсречнос увеличение уг!у, равно единице, если г,/па —.= =- 2дд-(-'э.
Однако нз (2) вытекает, что 2Я+6 — О. Следовательно, координаты г, н г, главных точек Уа и (7, равны нулю„т. е. глазные точки соэппдоют с полюсом поэгрхнпсгпи вращения. Далее нз (8) имеем лаг паг г,— — — при г, х И г,— » при га- — со, иа — ла л,— иа а г — «параксиальный» радиус кривизны поверхности. Выясним теперь, яри каких условиях все лучи, походящие из точки Р, (можно предположить, что оии лежат з плоскости г —.= О), пройдут после пре- ломления чсрсз Р,. В этом случае координаты точки Р, будут завпсшь только от коордиюм Р, и не будка зависеть от,лучевьж компонент; поэтому при исклю- чении уг из (1б] величина да тоже должна исчезнуть.
Из первого уравнения (16) следует, что д, —. — )у,— г)а(24+ — г,) ~, (3) Подставляя это выражение во второе уравнение ((б), получим у»= — (2Я вЂ” „га) .ргуа+ ~ (, (2Я вЂ” „' ) (2ьй+ — „" ~ — Ф'~ г)а, (4) Следовательно, Р, является стигматнческим изображением Р„сслн Г2.4; —,' г,х! (2Уд-- — „' — г,) =- й'-', .,), а или после подстановки сюда (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
