Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Выпишем выражении, которые понадобятся вам позже для фокусных расстояний ) и!' снстемы иэ двух цептрированиых тонких линз, иахо.гящихса в воздухе. Согласно (4.3.27) получим, учитывая, что ),=. — г'„7»= — !а", цоатиошенне ! а р 1»Ь' (37) где с — расстояние между фокусами Е', и Г, (рис, 4.16). Если 1 — расстояние между обеими линзами, то 1=)»+с+)а, (38) Следовательно, Т 7 =Т+Г )); (39) Если линзы соприкасаются (1 = О), то последнее соотношение можно записать в виде 3»=-Рз»+з»ы т.
е. аптпческаЯ сила системы Равна в атом слУчае пРосго суаь»»е оптическИх сил двух линз. $4сф] пьелксидаьнля оптикд 4.4.б. ««ронзвольная пентрироваиная система. Было показано, что в приб лижении параксиальной оптики прела>мление и отражение лучей на пг>верхности вра>пенна описывается проек>ивньгмп соотношениями между величинами, относящимися к пространствам предмета и изображения з]. Поскольку, согласно й 4.3, последовательное применение нескольких проективпых преобразований эквивалентно одному проективпому преобразованию, в этом приближенны отображение пентрироваииой системой тоже окязывается таким преобразованиеы. Используя формулы, приведенные в пп.
4А.!, 4Л.2 и 4.«у1, можно Рис. 4.1а. Системз из двух пентрирсввниых тонких линз найти кардинальнь>е точки эквивалентного преобразования. Наше рассмотрение будет в основноьг посвящено выводу важного инвариантного соотношении, справедливого (в принятом приблвлгении) для шобой пептрирг>ванной снсгемы. Пусть Я„Яо ..., Я вЂ” последовательные пов> рхности системы, 1„7;, 1„1>', ..., 1,„, )м — соответствующие фокусные расстояния и лы пы ..., я,„— показатели преломления соответствующих сред (рис. 4.17). Далее, пусть Р„ 4 Рис. 4.17.
К выводу формулы Опята — Гельмгольца. Р„' — дне точка в пространства предмета, расположенные в меридианальной плоскости, а Р„Р;, Р„Р;, ... — их изображения последовательными поверхностямя. Б системе координат с началом в фокусе первой поверхности координаты тачек Ры Р; и Ры Р; связаны соотношениями )з к> «е ле 7> l )е 141) Следовательно, г,"-г, у,' «., Г,р,' —.Г,у„" 1> «з е «е«з , 142) ) Как н в случае одной поверхности, пространства предмета и взабрвжения считаются изложенными дру> пз друге л иеогрзпнченпо прага нсш>ымн за всех овпрзвлсинях. Часть прасгрепстез предмете. рзсшыоженнзз перед первой иазерипктью Готсчнтыазеиой по ходу свето.
вых дучеи через систему), зззыззет«я действительной частью пргстрзистзз предмете, " часть прагтрзнгтзз изобрзн ейня, расположение» зя последней поверхностью, называется действительной чзстыа ирастрзнстзз изображения. Оставшиеся части обоих пространств иззызз>атея еор>пральчмли.
рахим же способом чажпо определить действительную и виртуз>ъпую чести любой промежуточной области системы. (гл. 4 геаметРическАя теОРия Оптических изОЕРАжений 164 г,' — г, у,' у„уу', — у„«; /о «т «1 «ч«7 (43) Пусть 2;-2, = 52., 2; — 5, = 52,. Тогда из (42) и (43) найдем /.У„«", /РУ,У~ Аго ДР1 Согласно (10) /Р/,=- — и,/п„так что последнее уравнение принимает л„УУ, ПЧЧ, ~Ее Аналогичным образом получим выражение для прелоыления иа второй ности (44) (45) вид (46) поверх- л1У1У7 л„У У7 Аг Ах (47) (50) (52) Ото соотношение называется формулой Макгвечла для относительного увстчгнил. Из нее следует, что продольное уввличгниг равно квадрал«у поперечного увеличения, умноженному ли итноигвмиг покичателгй пргломлгния и'/и.
В 4 4.3 ") Эту формулу иногда свллывмог также с ныееаыя Лагранжа н Клвуануса. Н болев простои анде оиа была язагсгна сшс Гюйгсасу в Котсу (см. (ЗЦ), 'г. е. в обшем случае — — — — — — (1 ~( «' ~ т). Следовательно, п,У~У;//«7р голь инвариант послгдоватвльныл пргобризований. Э«от результат играет важную роль в геометрической теории построения изображения.
Если положить У;/Л7) — - 18 у«(см. рис, 4.17), то (48) примет вид л,, 1',, «и у,, =- п«1; 1а уи В рассматриваемом иаыи приближении 18 у и 18 у' можно заменить соответса. венно иа у и у', н тогда мы получим 4«ормулу Смигла Гельмгольца ") п,,Уг,у,, = п,у,уи (49) Величина л,У«у; называется инвариантом Смшпа — Гельмгольца. Из (48) и (49) можно вывести пелый ряд важных следствий. Поскольку обычно интересуются только сгютноше««иями между величинами, относящимися к первой и последней средам (пространство предмета и пространство изображения), мы будсм в дальнейшем опускать все индексы и обозначать нсличииы, относящиеся к этим двум средам, соответственно иешгрихованными и штрихованными символами. Пусть (У, 2) и (У + 5У, 2 + 53) — две соседние точки в пространстве предмета, а (У', 2'] и (У'+ 5У', 2'+ 52') — сопряженные им точки.
Применяя форлчулу Смита — Гельмголы«а, получим л«" (У+ бУ) л'«" (У' Ч-ОУ') бг бг' В пределе при 5У 0 и 52- 0 находим ж' (51) Согласно (4.3.П) У'/У = (йУ'/дУ)т,олш слгловательно, последнее выражение принимает внл 5 4.5! стигмлтячяскок отовелжяння пэи вольтой лпглтзэи )55 была выведена аналогичная формула (!8), связывающая увеличения и отнаше ние фокусных расстояний. Сравнивая последнюю с (52), получим и' (53) т. е.
огпноигение фокусных расстояний прибора равно отношению пшшзателей преломления и' п, взяггюму со знаком минус. Из формулы Смита — Гельмгольца следует также, чта ВУ' т' и ВУ т и'' (54) т. е. произведение поперечнгео и углового увеличений не зависит от выбора сопряженных плоскостей. Да сих пор предполагалось, что система состоит только из преломлнгощих поверхностей. Если же одна из них (скажем, 1-я) нредстаиляег собой зеркало, то вместо (48) находим Уг ьуг э Уггг лл,, = ллг где знак минус появился из-за того, что в случае отражения 1; Дэ= ], тогда как в случае преломления ]г Д,= — пг йп,.
Поэтому в окончательнойфориуле нужно заменить и' на — -и'. Такую эке замену следует провести и в более общем случае, когда система содержит нечетное число зеркал; если же система содержит четное числа зеркал, то окончательная фарьгула не изменяется. 54.5. Стигматическае отображение пучками с большой угловой апертурой Законы параксиальной оптики были получены в предположении, что размеры предмета и углы, которые образугот лучи с осью, достаточно малы.
Часто приходится иметь дело с оптическими системамн и малыми предметами, но большими углами наклона лучей относительно оси. ]э таких случаях имеются / Ряс. 4.18. К выводу условия синусов и условия Гершеля. два простых условия существования стигматического отображения, называемых условием синуаж *) н условием Гершеля ]87]., П)сть Оь — точка предмета, находящаяся на оси, и Р,— произвольная близкая к ней точка, ие обязательно лежащая на оси. Предположим, что система отображает эти точки стигматически я О, и Р,— их изображения.
Пусть (х„уж гй и (х„у„гй — координаты точек Р, и Р„причем коарди. наты Р„берутся гпносятельио прямоугольной системы с пентром в О„, а координаты Р,— относизельно системы с параллельными осями и центрам в Ой осп г в тих системах выбраны так, что они направлены вдоль оптической оси спстсмы (рис. 4. !8). ') Условие синусов было впервые получено Кллуэяусои ]33] н Гельмгольцеи (33! нэ тьряолэкэылчегшж сообрэжгвка. Олээка ээжкоггь этого уславэя была ээыькьэл лишь после того, ьэк гго вторкээо с]жряулкривэя Аббе ]34, 33!. В тексте ыы следуем, го существу, выэшу, предложенному Хокнэоы ]38].
(гл. 4 166 гвомзтгичзская таогия оптичзских кзовгажвинй Из принципа равного оптического пути вытекает, что длины всех лучей, соедиияюшнх Р, н Ро одинаковы, Следовательно, если обозначить чере !' томечную характеристику среды, то у(ха, уа, га! х„уо г) — У(0, О, 0; О, О, 0)=Р(то Уа го' л„у< г<) (!) где Р— некоторая функция, не зависяшая ог лучевых компонент. Используя основные соотношения (4, !.7), выража<ошие лучевые компоненты через точечную характеристику, н пренебрегая членами, содержащими вторую и более высокие степени длины, получим из (1) (Р х<+% У<+юг г<) (Ра '<а+уа Уа+Яга га) Р(хо Уа га ха У< гО (2) гДе (Р'„", 4<а<', <я<а<<) и (Р',а', до<о<, <и<<"<) — лУчевые компоненты пРоизвольнои паРы соответствуюших лучей, проходящих через О, н О,. Нсобходичо отметить, что на величину лучевых компонент пе наложено никакого ограни:ения, хотя вначале н прели<мшгалось, что точки Р, и Р, расположены вблизи Оа и О,.
Два случая представляют особый интерес, а именно: 1) Р, п Р, лежат соответственно в плоскостях г„— О и г,= 0 и 2) Р, н Р, лежат на оси симметрии. Зги два случая будуг исследованы отдельно. 45.!. Условие синусов. Не уменьшая обшпосгн рассуждений, можно и здесь рассматривать только точки, лежашие в меридианальной плоскости (х„=х,= = 0). Если Р, лежит в плоскости г„—. О, а Р,— в плоскости г,= О, то (2) принимает Вяд 4< У, 4,"У, =у(О, Уа, О; О, У„О).
(3) Это соотношение справедливо длп любой пары сопряженных лучей. Псетому оно должно быть справедливым и для осевой пары рн=. 4,",'= Онрм= 4)о'=.О. Следователы<о (4) Р(0, У„О; О, У„О) =-О. Таким образом, (3) запишется следующим образом: 4' <Уо =- уоа'Уо или в явном виде п<У 5<пУ< пора 5<и У» (6) где у, и у,— утлы, образоваппыс соответствующими лу <ами, проходящими через О, и О„с осью г; и, и и,— показатели преломлении среды в пространствах предмета и изображения.
Соо<иошенпе (6) называется ус,<о<нем синусов; зто то условие, пря выполнении которого небольшая часть плоскости предмета, лежащей вблвзн оси, резко отображается расходящимся пучком лучей с любон угловой апертурой. Если угловое расхожденяс достаточно лаяло, то ып уо н ып у, можно заменить соответственно на у, и уо и условие синусов перейдег в формулу Смита — ! ельмгольпа (4.4.49).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
