Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 45
Текст из файла (страница 45)
4 гаоиятгичкскля тяогия оптических изовгьжеяий 178 Р» Р» ч» е» . ти — т» ' у гел» вЂ” и» Подстановка (3) в (Ц дает г=.— » [г„(р,— р,)'+г (»1,— д,)'-), 1 (3) где !» = л»» — О>» = — и соз 8» — и» соз 8», (5) Подставляя теперь (3) н (4) в (2), получим требуемое выражение для угловой характеристики Т (Р., д»1 Р„ 4») = †,'„ [г„(Р, — Р»)» 4- гг(й, — д»)»[ 1 . .
(6) Используя зто соотношение в (4,1.29), получим уравнения для падающего и прелпмленного лучеи в ниде л» вЂ” — — (Р— Р) пи я, з» = гу(Р» Р»)1 Р» 1 (8) и> соответствующие уравнения, содержащие координату у, совсршевно анаг логичны. Исследуем теперь изменения различных величин при переходе от центрального луча к соседнему. Из (7) и (8) имеем бх» бго = зоб ! ) + >л(бр» бр») 1,>л бх,— Р' бг, =г,б (1") -1- — г„(бр,— бр,). (10) (7) (9) Лучевые компоненты центрального луча падающего пучка равны Ро =- О, уо = и» з>п 8» л»о и» соя 8» так что » (от»бр» — Р» бп>,) = — зес 8»бр» ( (11) (12) ответственно при г = б„и г = б». Предположим, что фокальпая линия в Р, перпендикулярна и плоскости падения; в атом случае г", называется >сере>»чль»м фокусол, а соответствующая фокальная линия Ą— ыреичгк>й фокпльи >й.»илией.
Фокус Р'„называется тогда аа>аричиыл фок!!сои, а соответствующая фокальная линия )»2 (лежащая в плоскости падения) — мпорлчлай фокальной литий. В случае центрнрованной систеим первичный и вторичный фокусы пучка, центральный луч которого находатся в меридиональной плоскости, называют соответственно тангенлиальиыля и гагтптальныл фокугама. Дли нахождения фокальиых пинай преломленного пучка необходимо прежде всего выписать выражение для угловс>й характеристики преломляющей поверхности.
Если радиусы кривизны преломляющей поверхности в главных направлениях хну равны г, и г>п то уравнение атой поверхности имеет вид л" у» (1) 2>„2»г Тогда, согласно (4.1.34), угловая характеристика относительно системы коордвнат с началом в 0 (при а,= а,= 0) равна Т = (р, — р,) х+ (4» — д,) у+ (сп» вЂ” гл») з.
(2) Из закона преломления, учитывая лишь члены низ>пих порядков, можно получить таким же спосооом, как и в й 4.1 (где рассматривался случаи г„== гг) „ соотношения б' 4.6) 171 лстигньтнчкскнз птчки лтчзй 6 ! — ) — (и бп — О,бт ) = — эссо В.бд Здесь было использовано тождество тобпго+ робро+ нобуо=" О Уравнения (9) и (10) принимают знд Ьх, = — 'зес О,бр — г„(бр,— Ьр,), со о Ьх, = — „' эсс Во бро — — го (брг — бро).
(15) Прн выводе (15) использовался тот факт, оно р;=- 0; этот результат следует нз закона преломления и претполажсиия, что р,=- О. Лналогячныи образом получим (14) бу„— (ги В,) бг, = г' (зес' В,) бд, — г (й), — ЬО,), (1б) бу,— (!и В,)бг, — — *' (лес*В,) Ьу,— г (ЬО,— Ьс). (17) Рассмотрим теперь такие лучи пучка, которые проходят через фокус Рн Тогда го-.—.
'„, бх,= Ьу,= бго= О. Поскольку все эти лучи пересекают также фокальную линяю !'„то Ьр,=- О. Учитывая зта, находим из (14) и (16) бр,=О (14а) — а ее' В„й), — — г (й), — й),) = О. йо ! (16а) Уравнение (14а) показывает, чта соответствующие преломленные л)'чи лежат в плоскости уг. Так как асе лучи из р, проходят через фокус р,(г,=- ьо), то уравнение (17) должно зыполнятьсн при г,=- бь бхо=. Ьу,= бг,= 0 для любого зна оения Ьуо, т.
е. — „" е В,бр,— г„(бр,— бр,)=О (146) ло н ЬО,—...О. (166) Из (166) следует, что преломлеаиыс лучи лежат теперь в плоскости хг. Все эти лучи проходят через второй фокус Го'(г, — б;), так что (!5) должно удовлетварооться прп г,=- б;, Ьх, — бу,— бг,: — 0 для любого значения величины Ьр,. Следовательно, — 'зесй,бр,— г„(бр,— бр,) =О. (!бб) Во буг гг (Ьуо буо) = 0 (17а) ло Уравнения (1ба) и (17а) при произвольном значении Ьу„могут одновременно удовлетворяться только в том случае, если лосос' Оо л,соо' О, л„ со* Оо — л,соо О, (18) 1о Это соотношение определяет положение фокуса ро преломленных лучей. Из (14а) следует, что фокальная линия, проходящая через Ра перпендикулярна к плоскости уг н, следовательно, ро яйляетск первичным фокусом.
'1ля нахождения положения другого фокуса рассмотрим лучи, выходящие из Р;. В этом случае г,= — ь,', Ьх,= — бу,= бг,= О. Поскольку все эти лучи пересекают факельную линию (ь и сеем бд,== бт„.-. О. Тогда из уравнений (14) н (16) находим !72 теометРическАя теОРия Оптических нзоаРАжений Поскольку каь (!бб), так и (14б) лолжны удовлетворяться при произвольном значении брм то и, соэ з„л, сээ О, иь соэ 0„— ит соэ зь 4 Г» Полученное соотношение определяет положение вторичного фохусп Р;. 41зсто оказывается удобным определять полажение фюкусов, задавая их расстояния до точки О, а пе координаты г.
Обозначая Ор,= и',", ОЕ;=- ф', Оьсь= г(',"„ОР'= ь(э' (на Рис. 4.22ь('„О(О, ьььь'<О, ь((О)О, ф')О), нахоДнм й, = ь((О соз О, ьт = ьг(О соз О„Ь', =- ьгьь' соз 0„4; = 41',О соз 0„(20) ь а уравнения (18) и (19) принимают вид «„ ООЫ 0, Ч « ьь О, . 0„ — , 0, (2!) вш ,!ю 1 'Р л, и„сов э„— а, соэ0, (22) д1~ вы Р Соответствующие соотношения для случая ограигения можно получить, если в приведенных выше формулах положить л,=- — и„. 0 4.7.
Хроматическая аберрация. Дисперсия призмы В гл. 2 было показано, что показатель претомления не постоянен для данной среды, а зависит от панга, т. е. от длины волны света. Рассмотрил1 сейчас некоторые проспге следствия из этого, касающиеся работы лпиз и призхь 4.7. !. Хроматическая аберрация. Если пучок нехюнохроматического света падает на преломляюигую поверхность, то он расщепляется нз несколько лучей, каждый из которых имеет определенную длину волны.
Поэтому, пересекая оптическую систему, лучи света с различными длинами волн будут (7д, Лап~эггвгг -тгтаивюи— т- Рглтнг ввмДРВАР Рис. 4 23. Прадольиэя и иоиеречиэя хроматические азерраиае. распространяться после первого преломления ие вполне одинаковыми путями. В результате изображение окажется перезким, и в этом случае говорят, что система Обладает хрололтчггивй абсррвкпгл. Мы снова ограничнлюя расслютрспием точек и лучей, расположенных вблкзи осн, т. е. предположим, что для каждой длины волны отображение подчиняегся законам параксиальиой оптики.
Б этом случае говорят о хрома ической эберрзции первого порядка, или о первичной аберрации. Пусть (), и ()с— отображении Розан Р в различных длинах волн (рис. 4,23); тогда вроекции О,() иа направления, параллельное и перпендикулярное оси, определяют соОтнететвсино лрадвяэлрю П Лопгдечндю хроматические абгррацин. Рассмотрим изменение 67 фокусного расстояния тонкой линзы в зависимости от изменения погазателя преломлении бп. Согласно (4.4,36) величина 123 хромАтическва АвеРРАцян.
днопеРоия призмы $4Л) (и — 1) ) для такой линзы не зависит от длины волны. Следовательно, ! +:1 0' Л! Лв (1) Величина Лт)в+ Л )т (5) Л,-1-Л, где Л, и Ь, — относительные дисперсии обеих линз. Один из методов уменьшения хроматической аберрацин состоит в использовании двух соприкасаюшихси тонких линз (рис, 4.25), одна из которых сделана из крона, а вторая — из флинта, В этом случае„поскольку ! = О, получка из (5) — + — =0 Лт Лв Ь (в (6? (2) где и, пп и л; — показатели преломления, соответствующие линиям Фрауигофера г, )у и С (»к4861 А, 5893 А и 6563 А), служит грубой мерой дисперсии стекла и называетсн относительной дисперсией.
Из (1) видно, что эта величина приблизительно равна расстоянию между красным и синим изображениями, деленному на фокусвос расстояние линзы. На рис. 4.24 показано итмсиснис величин показателей преломления с изменением длины волны для стекла 7»л веско.»ькнх сортов, обычно используемых в оптических системах. Соответствующие значения А ле- Уйу Е жат в предетах от 1'60 ло !130.
бб Рп ва необходимо, чтобы как монохроматические, так и хроматические аберрации были ма.чы. Обычно лт выбирают некоторое компрт»мнссное решение, по- Ейй- ,«б» достаточным нзбавяпся от хромзтнчсской аберрации для двух выбранных длин воли. Выбор этих Ь длин волн зависит, естественно, от назначении той арш эшли лю двр или иной оптической системы; например, фотообь. ективы, в отлнчие от приборов, служащих для ви. Рев.
4.з4. тиввчлые дисввр. евонные кривые ркя втекав зУальиых наблюдений, обычно кахРоматнзиРУютл ' рввлвчаы„со, в дпя цВЕГОВ, бЛИЗКНХ К СИПЕМУ КО1ШУ СПЕКтйа,таК»-т.,е В Ьл м; как обычная фотографическая пластинка более чув» в рвевкв кжжб и-летя в Флвк, ур — тяжел В кром; т'— ствитсльпа к синей области спектра, чем че.човече- л'рж л «ктвжв кжж.' скнй глаз. Конечно, ахроматиэапия для дяух длин волн не устраняет полностью цветовую ошибку. Остающаяся хроматическая аберрация называется л»поличным слаапром. рассмотрим теперь условия, при которых две тонкие линзы образуюткои:- бвнапию, свободную от хроматизма йюкусиого расстояния. Согласно (4.4 391 величина, обратная фокусному расстоянию комбинации двух тонких линз, расположенных на расстоянии ! друг от друга, равна - = — + — — .
1 1 1 1 (3) !» )ьге ' Как мы видим, 81' = О, когда Л)б Л)в ' 1 ГЛА Л(, ! (4) П )1 АА'15 ' 53 Если ахроматнзация производится для линий С и Г, то, используя (Ц и (2), получим 174 [гл. 4 гхонятгнчяскхя теогия оптичаскик яаояглжяиий или, используя Щ ' (7) ТЬ,— Ь,' Гх Тах — Ь, Соотношения (7) для данных сортов стекла и заданного фокусного расстоя. ниа 7 однозначно опРеделЯют г', и )м Но ), и )х зависит от тРех РадиУсов кРивнз. ны, слшювательио, иеличииу одного из них можно выбрать произвольно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
