Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 49
Текст из файла (страница 49)
5). Другой способ, позволягоший с помощью злементарнх>й геометрии более >очно определять траектории световых лучей состоит в последовательном применении закона преломления (илн отражения); этот метод, который бчдет сейчас кратко изложен, называется же>подол построения хида зучей; ои нзххцлит широкое пряменснис на практике 4.9.1.
Наклонные мерикиональные лучи*'). Рассмотрим сначала ход наклонного мерилиопальиого луча, т. е. луча, выходящего из точки, не лежащей на осп. Пусть Л вЂ” полюс первой поверхности системы. Предположим, что зто преломляющая сферическая поверхность радиусе г с центром в точке С, которая разделябт среды с показателями прелат>пения п н л'. Падающий луч ОР (рис. 4.37), лежащий в меридианальной плоскости, характеризуется углом В, образованным им с осью, п расстоянием (.
= ЛВ между полюсом Л и точкой В, в которой данный луч пересекает ось. Пусть ( — угол лхежлу падающим лучом н нормалью РС. Сооткетстнующие величины, относ> щиеся к преломленному лучу, Отмечены штрихами. ") Дхз более пахно'о озззкомления с методам асстраензя хода лучей см., например, !42-.4о]. В рабате !4М оозсзн метод оас соанзз хсдз лучей с оаяашью ззектронных зычзачзтельных кзшнн, з рабате НТ) бьл >1седзожзь изтад аостросявя хода лучей, нароаакзющнх негферзческна позерхнас1н; ся.
)ззжч !4З1 **) здесь, о о. 4 9 2 з з 4 4.>о будут оаоааьзаззтлся обшзосзнятыа з данном случае абазззчеиая а правила зззкоз Прззззо знзчоз дзз углов отличается от декаптозз правила Знаков, уатребдзелюго з остальные разделах кянгн, н чрнзаднтсз к нему, тлз го.южит» Π— у„ и'= — у'. т. е.
Ел = (л,(л,) ' Вз () л СОЯ' 4>л, (28) Полтчеиное выражение говорит о тох>, что в случае,, когда предмет излучает согласно закону Ламберта и огсутствуют потери в системе, а половина угловой апертуры Ол мала, освещенное(пь о некоторой точке из>брожения 52' > припсрдиинияона >е>г>чертой ппепони косинуса от угла, образо- / санного гласнмж лучол, проходящим через зту точку, с осью.
б йл> При использовании выве- 55 > денных ранее йюрл»хх необходимо помпитьч что опи были по- >уз пс л>чены с помощью законов гсометРической оптики. Зти фоР- с„,чсз. мулы мог>т Оказатьсн неспра- ряс. 4.зб. Осззшзвиасть з точке анаакснальнаго всдливыми для очень маленьких озабраження, источников. Наприлгср, изображением точечного источника является ие точка, а яркий диск, окруженный кольцами (диск Эйр>4, СМ. П. 8.8.2); в этом случае свл.г рзгпрелелен по всей лифракционпой картине, и, следовательно, величина освещенности в геометрическом фокусе меньше той величины, которая получается из формулы (24). (66 [гл.
4 гвоивтгичзская теоэиа оптичаских нзоаэажаняй Здесь будет попользоваться следующее правило анаков: величины Г, !. и !! считаиггсн положительными, если С, В и В' расположены справа от 4 (нредполагаетгя, что лучи падают слева). Уг.1Ы (/ и (/' положитеЛЬНЫ, ЕСЛИ можно совместить ось с лучалш РВ и РВ' путем ее поворота по часовой стрелке соответственно вокруг В и В' на угол, меньший 90'. Углы ! и !' положительны, если можно совместить падающий и проломленный лучи с нормалью РС путем поворота по часовой стрелке вокруг точки падения Р на угол, меньший 90' бг Рас. 4.зт. Обозначения, припекаемые пра построеааэ хада иахаааиого иерихиональвага луча.
Предполагается, что величины !. и С, характеризующие падающий луч, заданы и нужно вычислить В' н (/', Полагая такГке, что как !., так и Г конечны, из треугольника РСВ получим ! — Г 51п / = — э(п (/. (!) Г Заков преломления дает 51П/ = —,3!П!. п а' (2) Иэ рисунка следует, что (г' =- (/+ / — Р. (3) И, наконец, нз треугольника РСВ' находим 51п 1' !. ' =- —, Г + Г. мп ГГГ (4) Итак, последовательно прилгсняя заковы преломления (!) — (4), мы получили величины !.' и (/', характеризую1пие преломленный луч РВ', Презомлсниын луч РВ' явчиется падающим относитслы1о второй поверхности. Бели написать !.,' вместо В', С; вместо (Г' н обозначать соответстьующие величины чсрез Бь С, (!.а отсчитывается от полюса второй поверхности), то мы получим урагпаения переходи (.а = /ч' — д, (5) В, =- (!;, (6) где д~0 — расстояние между полюсамн первой и второй поверхностей.
Подставим теперь величины (6) и (6) в уравнения (!) — (4). Решая эти ураниенвя отиосвтсльно штриховапных величин, мы находим ход луча, прошедщего вторую поверхность. Многократно применяя законы преломления и уравнения перехода, мы получим значения величин Б' и В', отнгюящихся к лучу в пространстве изображения. После этого можно найти 1очку пересечения этого луча с плоскостью изображения. Практически, конечно, строят ход не одаого, а нескольких, специально выбранных лучей; их точки пересечения с плоскостью изображения позволяют судить о работе данной системы.
Если одна из поверхностей (скажем, А-я) является зеркалом, то соответствующие формулы можно формально получить нз уже вь1всдецных, полол ив па —. — па. Тогда величину 1!а следуп1 считаю отрицательной. Более того, все величины показателей преломления последующих сред и соответствующие значения д также нужно считать отрицателы1ыми до места второго отражении, когда они снова становятся положительными.
9 4.9' метод пОстРОения хОдА лучей Рассмотрим теперь два частных случая, которые мы нсключали до сих пвр. Если падающий луч параллелен осн системы (Е =со), то вместо уравнения (1) следует испольэовать соотношение з1п! =У!г, (у) где У вЂ” расстояние от луча до втой оси (рис. 4.38, а). Рнс. 4.ЗЗ. Ход лучей е оптнчссеой састемс. — . ае т» Р»са (т.н !, о — » д тч» и ос»то похерхнаста гг= т.
В случае плоской поверхности (я=со) вместо (1) — (4) щую систему уравнений (рис. 4.38, 6): ! = — (), з)п(!'= — ", Ып(), !' = — и', Учитывая (9), уравнение (11) можно представить в виде и'со* Ы' Г.= —— и со» Ст мы имеем следую- (8) (9) (!9) (11) (11а) (4'=и„т Рнс 4 За Хпд нахпоннаго мернднаеал»ното .чуча, проходящего череп дее соседнее прелом ляюжне понерхяостн. Из рисунка видно, что У„=;з!П(и,+у„), Г~» 3»- — -㻠— г»соз((!»+!») =- (ы )1 1)» = (х(»+ Л»тт — 2») зсс (!».
Вырайив Е», через г» Л» и (!», находим у» Е»=',8» р —,. !вии» (12) (13) (14) (13) который удобнее (11) при расчетах, если углы малы. Полезно определить также координаты (Уа, 2») точки падения Р, на ут-кт поверхность н расстояние Ютг — лл, между точками надеина на соссднне поверхности (рис. 4.39). 188 гвомзтгвчвская твогив оптических изовгхжааий (гл.
4 а Ль равно нулю. 4зй2. Параксиальиые лучи. Если угол между направлением луча и осью достаточно л~ал, то в полученных ранее формулах можно заменизь синусы от ршличных углов на сами углы. Тогда зтн формулы переходят в формулы параксиальной оптики. Последние используются па практике для вычислю ия гауссова увеличения и фокусного расстояния системы. Поэтому здесь будет дана краткая их сводка. Принято обозначать величины, относящиеся к параксиальпой области, маленькими буквами.
Тогда законы преломления (1) †(4) запишутся следуюшим ооразом: !=г 1= — и, (17) и . Р= —,А Л (18) (19) (20) и =и+! — 1, ! Г = — „, г+г. Уравнения перехода (5) и (б) примут вид 1,= — (; — д, (21) и, =- и,' (22) Из (7) — (11а) можно аналогичным образом получить соотношения параксиальной оптики для случаев !. = ео и г=- со.
Согласно (12) уравнение параксиальной оптики для высоты точки падения, которое потребуется в далькеишем, имеет шш Уа = гз ("а+ !а). (28) Хотя з соопюшения (17) — (20) входят углы, образованные падающим и пре. ломленным лучами с осью, величина р не зависит от них. Этот результат, установленный в и. 4.4.1 другим способом, следует нз настоящих формул, если из них исключить й р и и'. Оказывается, что величина и тоже исчеэаег, и окончательно получим л' ~- —,, ) =и( — — ) . (24) Это уравнение совпадает с соотношением Аббе'(4.4.7).
Лля определения поперечного гвуссового увели ~ения М необходимо построить лип~к параксиальный луч, зыходящйй нз осевой точки предмета. Тогда, согласно (4.4.54), (25) ш иг' где индексы 1 и ! относятся к первой и последней средам. Фокусное расстояние системы )'можно получить, если построить параксиальный луч на любой заданной высоте у„ всходящий от бесконечно удаленного предмета. Тогда уравнение сопряженного луча в пространстве изображения, отнесенное к системе координат с началом во втором фокусе, имеет вид я,/2,= =- — и'„а из (4.3.! О) следует, что к) Этим соотношением можво пользоваться для проверки величин, вычисленных с помощью (1! а) илн (11).
В частном случае, когда значение ьь равно бесконечности, (/ь= О, и соотношения (12) — (15) остаклся справедлнвыми. Если гд —— -оо, то величину. 1'ь мозкно вычислить из выражения У,=).,(К и„, (18) ф 4.9) (89 НЕТОЛ ПОСТРОЕНИЯ ХОЛЛ ЧУЧЕЙ Рес. 4.40. Пострсенне хола косссс луча.' !!ервый шаг состоит в вычислении косинуса угла падения 1,.
Если г,— радиус первой поверхности, то напрапляющие косинусы нормали в точке Рх равны х — .,— г, 1.' = — —, 1 1 — у'» М с 1 так что соз1, =(.Д+ М,М, + Ф,У, — )(г,— — ((ОХ, + М,у, + 1Т',Л,). (27) Следующий шаг состоит в определении направляющих косинусов 1.;, М'„йг; преломленного луча. Это делается в два приема.
Сначала вычисляется косинус угла преломления с помощью закона преломления в форме л'спз1; =."Р л" — пх-~-пх соз" 1, (29) Затеи учитывается, что преломлсниый луч лежит и плоскости падающего луча и нормали к поверхности. Если обозначить через зь з, 'и з, единичныевек-' торы в направлениях падак11пего луча, презомлениосо луча и иорчали к преломляющей поверхности, т. е. векторы с компонентами ((.„Л(„.ху,), (1,;, М;, сзс;) в (Г„М„(111), то из условия комплаиарности получим ~ах+ Рхах (29) еле Д И и — векоторые скалярные фуикпин. 1(ля опредслсния )с в и умиожим сначала (29) скалярно на з, и используем соотношения (см. рис. 4.40) а,.з,'.=- соз (1,— 1;) и а з,=- соа 1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
