Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Получим соз(1,— 1,') =д+рсоз! . Затем, умножая (29) скалярно на з, и учитывая соотношения з, з,'=- соз 1; н з, а,= соз 1О находим сов 1; = Д соз 1, + р, Из двух последних соотношений следует, что МО! н . 1 л — — —, = —,, И = —, (и' соз 1; — и сов 11); апг, 4.9.3. Косые лучи. До сих пор мы рассматривали только лучи, лежащие в меридиональной плоскости. Сейчас мы кратко исследуем прохождение косых лучей, т.
е. лучей, ве комптанарных с осью. Построение траекторий таких Лучсй вееьМа трудоемко и Обычно проводится лишь при конструировавин систем с очень большими апертурами. Будез1 теперь характеришовать луч направляющими косинусами и координатами точки, в которой он пересекает определенную поверхность системы. ' Выберем в полюсс Л, первой повсрхности прямоугольную систему координат с осью 7, направленной вдоль оси системы.
Пусть 1.О Мь сус (1,;"+ М,'+ йс,'= =: () — направляющие косинусы луча, падающего в точку Р1(х„УЕ„21) (рис. 4 49). (гл 4 У90 гхоматгичгская тсогня оптических нзовгкжвний и из (29) получаем три уравнения для направляющих косинусов преломленного луча, а именно я'1.,' — -- пЕ,— оХ„ (30) где о = (я соз / — я соз/ ).
(31) г Таким образом, с помощью уравнений (27), (28), (30) и (31) мы определилв траекторию луча, прошедшего через первую поверхность. Преломленный луч можно теперь считать падающим относительно игорей поверхности. Выбирая систему координат с началом в полюсе второй поверхности А, н осами, параллельными осям первой системы, получим уравнения перехода для наярааеяюа)ах коганусгв в виде 7.,=1.;, М,=М;, Д,'=Ж;, (32) Пусть а — расстояние А,А, между полюсами первой и второй поверхностей. Обозначая через Х,", У;:, г,' координаты точки Р„отнесенные к системе с началом в точке А„получим уравнения перехода дяя координат в виде Х;=Хо );=)„г;=г,— Л.
(33) Далее необходимо определить координаты (Х„ Уь г,) точки Р„ в которой преломленный луч пересекает вторую поверхность. Если  — расстояние между Р, и Р„то х,=х,++е,В, у,=у, +м,В, г,=гг+м,В. (34) Прн определении В используется то обстоятельство, что Р, лежит на второй ' поверхности. Пусть г,— радиус этой поверхности; тогда Х;+1;+ г; — 2г,г, = 0. (35) Подставляя (34) в это выражение, получим уравнение для В Вт — 2рг,В+ бг, = О, <36) где Р= м,— —,(е,хг+ м,ур+л',г() (37) 0 = — 1(Х7)'+(Ур)'+ (г,+)к1 — 2г,".
Уравнение (36) дает следующее значение В, если учесть, что для осевого луча Е) =г(: (38) Подет авлня полученное выражение для В в (34), находим координаты точки Р„ И, наконец, ртля завершения цикла вычислений следует найти косинус угла падения 7, на второй поверхности. Он определяется из выражения, совершенно аналогичного (27), а именно ° з 7, = ބ— — „' (Е,Х „+ М,У, + Икг,), (39) или с учетом (34) и (38)— соз!,=à — — В= )т Р' — 6, (40) Г.
гт Таким образом, последний шаг состоит в вычислении выражений (40), (38) и (34), З 4.10) Оптические системы с несвеРическами пОВКРхностнмк 191 Из-за больших трудностей, возникающих прн построении хода произвольных косых лучей, иногда ограничиваются случаем косых лучей, находящихся н непосредственной близости от выбранного главного <уча. Построение хода таких лучей можно <юуществить с помощью упрощенных методов (см.
(49, 50!), сходных с методами, псп<ктьзопапными при построении хода паракснальных лучей, и пригодных лля определения положения сагиттальной фокальной поверхности. 6 4.10. Оптические системы с несферическимн поверхностями В подавляющем большинстве оптических систем используются линзы и зеркала, поверхпости которых имеют форму плоскости, сферы или параболоида. Выбор таких простых форм связан в основном с теми практическими трудностячк, которые астре шются при изготовлении более сложных поверхностей с вьюокои степенью точности, необходиьюй и оптике.
Использование поверхностей простой формы накладывает, есгествснно, ограничение па характеристики обычных шп нческнх систем. Поэтому в некоторых системах применяют поверхности более сложцой формы, называемые Осферичегккми, несмотря на трудно стн, встречающиеся при кх изготоялении. Еще в 1905 г. Шварцшильд (5! ! рассмотрел класс объсктнвоп тслсскопов Р), состоящих из дгух нссфсрнческнх зеркал, и показал, что такие системы можно сделать аиланатическими. В 1900 г. гамбургский оптик Бернард Шмидт сконструировал телескоп нового типа, состоящий из сферического зеркала и соответствующим образом рассчитанной асфсрической линзы, помещенной в центр кривизны зеркала. ()казалос ь, что такая система (она рассл<от рена более подробно в 9 64) обладает замечательныя<и свойствами.
С помощью этого телескопа удается сфотографировать на одной пластинке очень большой участок нсба, в сотни раз превышающий по размерам участок, который можно сфотографировать прн использовании телескшюв обычной конструкции. С тех пор камера Ш.нидл>а стала очень важным инструментом при астрономических наблюдениях. Асферические системы, в которых используется принцип камеры Шмидта, примсня>отся также в некоторых телевизионных приемниках проекторио<т> типа (см., например, (52!), а рентгеновской фотографии с флуоресцируюшнм экркиом и в некоторых скоростных спектрографах с'низкой дисперсией. Лсферические поверхвостн< находят также полезное примснсние в микроскопии (см.
й 6.6). Если одну из поверхностей какой-либо центрнрованной системы сделать асфернческой, то в общем случае можно добиться полного осевого стигматиэма; с помощью двух асферических поверхностей любу>о цептрцроваппую систему можно сделать в общем случае апланатической. В этом разделе будут выведены формулы, необходимые при конструировании таких поверхностей. 4.!О.!.
Получение осевого стнгматизма*в). Рассмотрим лучи, выходящие из осевой точки предмета Р. В <>бщсм случае лучи нз различных зон выходнога зрачка пересекак>т ось н различных точках прос<ранства изобри кений. Пусть Бы' — последняя поверхность системы и 0 — осевая точка этой поверхности (рпс. 4.41). Покажем, что, подбирая форму поверхности бм', можно полностью скомпенсировать отклоцепис пучка лучей, формирующих изображение, от гомоцснтрнчностн, нньши слонами, покажем, что, ваченяя поверхность 5<м покой понерхкостыо 5, можно в общем случае добиться пересечения всех лучей в пространстве изображения с осью в любой задапной точке <'). *) Псвдпсс былн построены нвв тслсскасв текста ткпв: одни с епертурай бб см в Инхннкскам упноерснтете н второй с впертураб ЗО см н упннсрсн>ете Ьрвунв.
"") Опнсввнымн здесь мюохвмн мы абпввны Вапьфу н Преххя 15З, 54). Аналогичные формулы были полу'>е»ы Лунебергоч !231 192 (гл. 4 геаметгичзекля тхагия оптичаских изовглжзипй Из симметрии следует, что достаточно рассматривать только ллеридиональные лучи. Каждый луч, падающий на последнюю понсрхностлч ХараКтЕризуется следующими параметрами: уг.том О, который ои образует с осью, и расстоннкем Н == ОМ от начала координат до точки пересечения луча с осью К (см. рис. 4.4!); удобно пометить все лучи. Пусть ( — любой подходящий параметр, например угол (/ю образоваппыи лучом с осью в пространстве предмета, или И' л> л'ж> Ряс 4.41.
К расчету фю( лю асферяческай поверхности, ааесаечияаюжей асеваа атягматизм. высота точки пересечения луча с первой поверхностью. Тогда пучок полностью характеризуется двумя фуплцнопальнымн соотношениями и=иП), Н=-Н((1. (1) Можно предположить, что ( = 0 для осевого луча. В общем случае мы не знаем явного вида соотношений (!): однако л>стало>1 построении хола лучей можно полу шть таблицу значений О и Н для любого заданного набора значений (, Пусть йУ вЂ” волновой фронт пучка, проходящий через точку О (см. рвс. 4.41), а Л' — точка пересечения луча, идущего вз точки М, с этой поверх пастью. Предполагая, что можно найти скоррсю нронанную поверхность 5 с з ребуемынп свойствами, получим, что в исправленной таким образом системе оптическая длина пути от Н ло О равна оптической длине путя от О до (!.
Следовательно, сслп Т (У, 3) — точка пересечения луча с 5, то )НТ) )ТО) —.)О()). (9) Обозначая через л показатель преломления среды, расположенной перед поверхностью 5, и через и' — показатень преломления среды в пространстве изобра'кения, получим ") )НТ] = )МТ) — )МЛ>] = яХ лес Π— )МЖ), (Т®) = ')'(1 — г) +(Н вЂ” 31~-())л, )ОО] .— и'1,', где à — расстояние от О дс> О. Оптическую длину пути (МЛ>1, входящую в выражение для (Л(Т(, >як>к ыон,по вычнслить с помощью заланных величин. Применяя иявариантное соотноп>синс Лагранжа (3.3.
!) к линии, образованной отрезком ОМ оси у, отрезком МЛ' луча в кривой Л(О на волновом фронте йт, получим пл г(г+ > пз 4(г+ ) яз Й'=О, (4) ам мл но где а — единичный вектор вдоль луча и 4(г — элемент пути интегрирования. *> Как я а п.4З,!,считается,что угол П яалажятелеа,если можно совместить ась с лучач путем пазарата яа часовой стрелка вокруг асевай тачки вз угол, меньший ЗО'. Далее, из рис.
4.41 следует, что и с г . дН лз с(г = — л ! МпУ с(Н = — л] з(п Н вЂ” с(Г, дг ом о лз.с1г — — [МУ], ) из.бг — '-0; мв ма тогда (4) принимает внд (5) [>И>У] —.и ! з1пУ-дрс(й (6) 6 Таким с>бравом, вехи пшз 1>)4>1>1 выражается через интеграл (6), который можно численно проинтегрировать с помо цып таблицы значений (>' и Н *), Подставляя (3) и (6) в (2), по.>учим следующее уравнение дтя Л: Адв:-1 '2ЗЕсозУ+Ь'соз'У =.О, (7) где ст =- л" — и-', > .й) == ле ] вшу — с(т — л'"(й'сов у+ Н сйп(()-ьил 1 |Ш дс (8) ! с ! 6 = л"Н' — ! л ] зйп(/ — с(Г ! ! л ] з1п(у — с((+2лЪ') с а Следовательно, Е == в [ — йо*~ д>х — уй(].
Из рис. 4с41 видно, что (9) ) =Н вЂ” г(йи. !10) Перед корнем в выражении (9) необходимо взять положительный знак, так как 2 = У =- Н =-0 при ( =-0 и мы полагаем, что Н положительная величина (см. рнс. 4Ь!1. Наконец, комбинируя (9) и (101, получим т 1;у — аз+ ) их — А'м' „и;Н ат Последнее соотношение является точным параметрическим уравнением асфернческой поверхности Я, выра>кепи>вв> чарах свободный параметр т.
Представляет интерес частный случай, когда фокус () лсжиг па бесконечности (У' =ао). Прв выводе соотвстствшощнх формул учтем, что величины х) и б содержат Н только в первой степени. Олсдователы;о, при дос.,~точно больших й' — я+]> яв — п(в =- - Г ~ы1 > и >уй* >(й, 3 си ь жз ''' ' 2 и> г (,Ьч,]' В пределе прн й'->-сю выражение (!Ц сводите.я к я+(у=„', ] з(п(у — с(т+(Н. пе-СС' Г . Мт (!2) о Мы рассмотрели только случай, когда асферическая поверхность является последней в системе.
Однако использованный нами метод можно применить и к "1 Кавечво, вехвчвпу (МН) молве пспосредссвевво вычислить методом пастрасвпв хода лучей, есдв васпадшавдтьсв тем, чта оптвчесввв ддвпв пути ат Р до Д> ровна оптпчесхоа длине пусь ос Р до о. Это дает !мн1=-!РО) — (Рм1. зд вь ьарп, З. падва 6 4.19) оптичвскид систпмы с нвсвгвичаскими повар хностими 193 194 ГеОметРическАя теОРия Оптичкских иаоегАжкиия расчету асферической поверхности, находящейся внутри оптической системы. В зтнх слу шях пычислсння значительна более громоздки, и поэтому мы.их не будем рассматривать в настоящей книге *). 4. !6.2. Получение апланатизма "). ййы показали, что, используя в системе одну асферическую поверхность, иожво добиться точного осевого стнгматнзма„ Рассмотрияг теперь случай двух асферических поверхностей, позволяющих нс только получить осевой стигматизм, но и обеспечить выполнение условии синусов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
