Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Таким образом, общее выражеиис для залповой аберрации наинизшего (четвертого) порядка записывается следующим абразамг зри = — — Вр' — Ск' — —, 2)г'р'+ Ег<к'+ Ер'к', (4) где В, С, — те же каэффшшецты, что п в (3). Подставляя посдедзсе соотношение в уравнение (5.2.!2], получим обшее вырам<еиие для компояскт лучевой аберрации наинизшего (третьего) порядка в виде 1 < = х< (2Скь — Ег' — Ера), 5< (Вр'+ (угз — 2Ек'), бм'у= у.— у, =,*, ' (У вЂ” 1") = < = у, (2Ск' — Ег* — Гр']+ т<, (Вр'-1- Е)г< — 2Гк').
) Коэффициент А не входит в выражения (4) и (5), т. е. существуют только пять типов аберрации наинизшего порядка, характеризуемых пятью коэффициентами В, С, )2, Е н Е. Кзк указывалась выше, эти аберрации называются лсрвасяылш аберрациями или абвррлчи«лц Заадвля. 11ри исследования аберраций Зайделя удобна выбрать оси таким образом, чтобы плоскость уз проходили чере< точку предмета; тогда х,== О. Если затем ввести полярные координаты $<=-.р зшО, <]<:=- р соей, (6) то (4) примет вид <ри' = — — Вр' — Су„'р' соз' Π— ()у)р' ' Еу,'р соз О -1- Еу,р' соз О, (7) з (г<] — вид й<мх = Вр' з]п 0 — 2 Еу„р' з(п 0 соз О+ 2)у)р зш О, бму=- Вр' соэ Π— Еу рч (1+ 2 соз' О) +(2С+ 22) У)Р соз 0 — ЕУ,".
) (8) В частном случае равенства нулю всех коз<]фнциентав в (7) волновой фронт, прахадяший через выходной зра юк совпадает (в рзссчатринаемом приближении) с опорной сферой Гаусса (см. рис, 5,2). В обшем случае зти коэффициенты отличны от пуля. Тогда каждый член в (7) описывает определенный тип отклонения вол иоаога фронта иг арааильнай с<)юричж кой формы; парис.
5 3 показаны пять различных типов аберркций. Вам<пасть лучевых аберраций, связанных с определенной точкой предмета, можно проиллюстрироваты рафнчески с помощью так называемых лбврра<4<ал- (гл. 5 гзомвтуическля теоуия авеууапий ыых (или характеристических) криемх. Зги кривые являются геометрическим местом тачек пересечения лучей, выходящих из фиксированной зоны р =- соп»! выходного зрачка, с плоскостью изображения. Тогда поверхность, образованная зберрацнопными кривыми, саагветтнующнмн ноем возможным знзчсвинм р, представляет собой неидеальное изображение Рзсслгатрим отделы!о каждую из агберраций Зайделя *). 1р л е' з гс у) о) Рвс.
5.3. Перввчоые волновые аберрации. ! в-сосу» ес ев все»рве»в Е=- — аен в — «смэ, В=уз«у' со» Е; «-вствгнвсв»в; Е=- Су е с * З; 4 » 1 »-врввввве псов, е=- — ау»он д-вест»усев, в=а»у»» сс» З. « !. Сферичесхал аберрация (В Ф О). Если все коэффициенты, за исклшчеиием В, равны нулю, то (8) принимает вид Ь"'х= Во' з)п 6, Ь"'р = Вр' сов О. (9) Аберрационные кривые в этом случае имеют форму концентрических окружностей, центры которых расположены в точкс параксиалького изображения, а раднусьг пропорциональны третьей степени радиуса зоны р, но не зависят от положения (р«) предмета в воле зрения.
Такой дефект изображения называется гферичесьай аберрацией. Сферическая аберрация, будучи независимой от р„ искажает как осевые, так н внеосевыг точки изображения. Лучи. выходяпгне цз осевой точки предмета и составляюгцие существенные углы с осью, пересекут ее в точках, ле)кащих перед пзракснальным фокусавг или за нвм (рис.
5.4). Точка, в которой пересекаюгсн с осью лучи от края днзфрагыы, называется хриезо!лг факрсам. Если экран в области пзабраже~ня помещен под прямым уг юм к оси, то супгествует такое положение экрана, при котором круговое пятно изображения па нем мн. низ~алька; это минимальное «изображение» называется ыаииеныиил кррхсхаа рассеяния. (!. Кома (Р ~ 0). Аберрапия, характеризующаяся отличным от нуля нозффициентоы р, назьгвается комой. Компоненты лучевой абсррацни в этом ') Лберрвцвоцвые кривые, гоответствуввоие вберрвцвяц более высокого порядка, рве. сыетрввав)тсв в работах [!3, )б), 5 5.3) ПЕРВИЧНЫЕ АБЕРРАЦИИ (АБЕРРАЦИИ ЗАйлхзв) случай имеют, согласно (8), вид Ьп'х — 2РР'дз з]п й соз 8 = — Гу»р' Шп 20, Л"'у= — Р(Ра» (1-~-2 Роз»8) =- — Ру,р»(2+ соя 20).
) (10) Как мы вялим, при фиксированных у» и радиусе зоны р точка Р, (см. рис. 5,1] прп изменении 0 от О до 2п дважды описывает в плоскости изображения окружность. Радиус окружности равен )ййэр-"„а се центр находится нн рас. стоянии 2Р]рйч от паракспаэьно~о фокуса в сторону отрицательных значений у.
С дедов»»тельно, юа окружность касается двух прямых, проходящих чере» параксиальное нэобрагкепие Р, и составлшоших с осью у углы в ЗО". Если р пробсгэет всс возможные значения, то совокупность подобных окружностей образует область, огряниченн)чо отрезками этих прямых н дугой наибольшей аберрацп«П1пой окруэкности (рис. 5.5). Размеры получающейся области линейно 1 гагоогог»оо агшалооога алого«ог«ао /ГЛЗОЛЛРОО оголя)оооо гдаомг Рнс. 5.4. Оферзч«ск»» »б»гр»чк» Ряс. 5.5.
Кома. воэрастзк~т с унелнчениеч ра«<.гоя ння точки предмета от оси системы. В 5 4.5 было показано, что при выполнении условия синусов Аббе систечз дает резкое изображение элемента плоскости предмша, расположенного в непосредственной близости от оси. Следователыю, в этом случае разложение функпии аберрации не может содержать члены, линейно зависящие ог К„. Отсюда вытекает, что если условие синусов выполняется, первичная кома ото]тствуст. !1!. Ааашгжптиз и (С ~ 0) и крпаиэяп поля (О ~ 0). Аберрации, характеризующиеся коэффициентами С и Р, удобнее рассматривать совместно. Если все остальные коэффипиенты в (8) равны нулю, то Ьмх== Вру»» Шп О, Л™у=-(2С+ (г) ру» »соз О.
(1!У Чтобы продемонстрировать важность таких аберраций, предположим вначале, что пучок, формирующий язображенпе, очень узок. Согласно б 4.6 лучи такого пучка псрссска«от два коротких отрезка кривых, одна иэ которых (тангенцпальнзя фо1альная линия) ортогональпа черидиопалькой плоскости, з другая (сагнггальная фокальпая ливия) лежит в этой плоскости. Рассмотрвч теперь свегч исходящпй от всех точек конечной области плоскости предмета. Фокзльные линии в пространстве изображения нсрейдут в глаяогнииальну«о и ааоиштнл» яща фока»экам плаорх юг»аа.
В первом прнблнжспнп эти поверхности мол«по считать «фераепк!1]сть А», н гт',— нх радиусы, которые считаются положятсльными, если соответств)юшне центры кривизны расположены по ту сторону от плоскости изображения, откуда распространяется свет (в случае, изображенном на рис. 5.6. Р, 0 и И,~О).
Радиусы кривизны можно выразить через коэффициенты С и )г. Ллн этого ври вычислении лучевых аберраций г учетом кривизны удобнее использовать обычьые координаты, з не переменные Зайделя. Имеем (рис. 5.7) д»ш«и О„+ и ' (12) 268 ГеометРическАИ теоРИБ АБеРРАций [гл. б где и — малое по величвне расстояние между сагиттальной фокальной линней и плоскостью изображения. Если о — расстояние от этой фокальной линии до оси, то Й»1' =-.
о'+ ( 1(» — и)', или о' — 2)с»и — и'. Если считать и величиной первого порядка малости, то о можно заменить на Рес. б.т. Лсгигматнем и крааизиа поля Рпс б.б. Тазгеициазьаае и сагиггаеьиаа йюкельзмс аоаерлпоогя. У», а в последнем уравнении отбросить и"", тогда ! 1 и Ра — '; 2Л» ' если тце пренебречь и по сравненшо с 0„то из (12) находим д»иу 2Р» О, Аналогично Д»1»Х =- — ' — ' 2Л» О, Запишем теперь ю н соотношения через переменные Зайзеля. Подставляя в них (о.2.6) и (6».2.8), получим Д»11 У1П» зо»Л» ' (16) н аналогично „-'1 »1»к 1'1 1 (17) В иоследиях двух соотношениях р» можно заменить на ро и тогда, используя (!!) и (6), получим ! о, = 2Л, (2С+ В), Н --.
2Л,О. (18) Величину 2С вЂ” ,'— О обычно называкп тпнгвнциальной кривизной поля, величину А) — вагиттильной кривизнои полл, а ня полосуммо — =- — [ — + — ) = — 2л,(С+ ))) ! ! г 1 ! л 2[,й» и,) (19) пврвичнык бзкррхции (квзррхции збйлвля) й 5.31 которая пропорциональна их среднему арифметическому значению, — просто крибиэиай поля. Из (13) и (18) следует, что на высоте г', от оси расстояние между двумя факальными поверхностями (т. е.
астнгматичсская разность пучка, формирующего изображение) равно ут 2 кт йл/ — — — — ) == 2тлтСУ1, ° ( )== (20) Полуразность — (л — д ) = — 2и,С (21) называется агглигматлюмаи, В отсутствие астигматизма (С = О) имеем Вт ),',— )(. В п. 5.5,3 будет показано, что радиус Е общей, совпадалощей, фокальпой поверхности можно в этом случае вычислить с помаплью простой л)юр. мулы, в которую входят радиусы кривизны отдельных поверхностей системы и показатели прсломлсщщ всех сред. !!г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
