Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно (1О), онн соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, а это противоречат тому, что Р," явлле гол паракснальным изображеннеы точки Р,. Такич образом, наше разложение имеет вид (УО) где с — константа, а Фым — полинам степени 2й по координатам и содержит нх только в виде трех скалярных инвариантов (!2) ! озарят, что член степени йй описывает полновато обсррациго порядки 2! . Аберрации наинизшего порядка (2я = 4) обычло называются первичными ио рроциями или аберрациями Зойдсля в); опи будут подроона рассмотрены в й 5.3. Зля оценки порядка величин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр р. Эгнм параметром может служить люоая величина первого порядка, скажем, угловал апертура системы.
Тогда можно допустить, чта все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осью углы О (р), где символ О (р) означает, что величина угла порядка р. Оленям погрешность, возникающую пря замене )7' в основном уравнении (10] на величины, ве зависящие от Х, и У,.
Из (3) н (5) имеем Е' = 7),' — (Х з + Уз) + 2 (Х Х; -, 'У У;); (14) тогда вместо (8) можем написать )с'= — О, 1+ х',+уз — хх<х,— х,) — зиО; — и,) ~" ро = — И,= —,=+О(Т),р ), (!5) 1 Соотношения (10) для компонент лучевой аберрации принимают вид (156) 1 у — у" = — — (() + —, ~ ~— +О(()зр ) =- и, (, ' Зрю,) д!' — — — + 0 (()г(з').
о, злз (17б) в1 о! (гл. 5 гзомктгичкскдв ткогия авяггдций где М вЂ” поперечное гауссово увеличение. Точки на плоскости предмета будем определять координатами х„ ую а на плоскости изображения координатамн Х„рь ДЛЯ КОТРЫХ х,=С вЂ” ', х,=С вЂ” ', у, =-С вЂ”, у, 12) о 1 ! 1 =- у,.=. С вЂ”, )о где (Х,. )го), (Х„У,) — обычные координаты точек Р, и Р, (см. рис. 5.1) и С— постоя~ива, которую лзы определим позже. В приближении пкраксиальной оптнии хо= Хо и уз= уо. Координаты (Х;, у,'] точек пересечения луча, исходящего из (Х„уо), с входным зрачком связаны с лучевыз(и иомпонентами следующими соотношениями: 1'о — У„ Ро з з о Ё "о — Ро — 4 — Ро О з з з з' о Я. — Ро — Зо Соотношения для точек пересеченкя луча с выходным зрачком имеют совершен- но зналогичный внд.
Квадратныс корин в ткаысвзгслях можно в приближении паракснальной оптики заменить соотнет гзепно на л, и ль в результате чего мы получим линейные соотношения мезкду координатами вида Хо — Хо Ро Оо яо «о — )о Зо 14) Оо ао Теперь введем такие новые елиницы длины )ь, н ьь в плоскостях вхолного я выходного зрачков, чтобы йз)до = й(', (б) где М' — поперечное увеличение входной зрачок — выходной зрачок. Вместо ") Шзардшвдьд аослодоьад ыкаю обмой зад зузоьмз аборрзаза яя~озо дорядкз.
Выразкзяая дяя соответствующих коэффаая яооз яюотого порядка з розяокзяая ззрззо Зщтяоо. ской З)уяа~ьяя (зозмущояяого зйз язяз Шззрдящзьдз) бмяя яоеряыз оодучояп зго ооояяоэ Кояв~юттероа (101. Дборрюьяя пятого доводка рассматривались тзяжо з работах 111, 14! а другах, Обзор теории згяррззьяй более зысоккх аорядкоз яриаедая а (! 3!.
гин с этим методом Шварцшильд в своих работах (ссылки на ннх уже приволплнсь) ввел некоторые переменныс, которые в приближении паракснальной оптики остаются постояннымп вдоль каждого луча, проходящего через оптическую систему. Затем, введя некоторую функцию воымузцення, названную им эйкляплим Зойдегя, оа исследовал изменения этих переменных, возникающие при учете членов четвертого порядка в разлозкснии характеристической функции *). Эти переменные бьшн названы !!)карп1з1ильтоьз дережканооли Зпйделя, поскольку они связаны с тсэш величинами, которые ранее нспольювзл Зайлель.
Функпнн абсррзций Ф, определенная выше, тесно связана в приближении теории Зайделя с возмуньенным эйк<>налоьз П!варшпнльда; используя метод П!аа)ршпильда, поясно получить выражения для кощрфы11иентов |отпертого порядка в разложении функции абсррапий для произвольной цептрированной системы. Это бузив подробно проведено в б 5.5. Здесь мы определим переменные Зайдели н исследуем связь между нашей функцией аберраций и возмущенной функцией Шварцшильда. Введем такис новыс единицы длины в плоскостях предмета и паракснального изображения соответственно (, и (ь чтобы — ' =..И, ВЛКОИАЛ П»ВАРЦШНЛЬДА Х'„, У'„Х'„)г', используем следующие переменные: Сере 1е 1е Сея» !» «» !хщ» Че ' + »= — = — +— !.»ле Д» Д» ' А»л» В приближении параксиальнай оптики,'-„ .= 5„ гн — »)г. Для упрощения дальнейших вычислений, удобно выбрать С в виде С = ",!.А = ",1,А Сь О» (7) Тогда до» д»Р дс» 1 д»Р (! !а) дХ, д.» дХ» А» дз» и, учитывая (1), (2), (7) и (5.1.4), Մ— Х; = -+ (т, — х,).
(11б) л»» С помощью уравнений (1!) находим вместо (5.1.16б) и (5.1.176) соотношения х,— х, = — — у+ 0(0»рь), р» — уе =- — з-'с+0()7»р»). (! 2) » '1» Ранее указыпалосгч что в приближении теории Зайделя»р тесно связана с функцией возмущен', и, ннщ»гиней Швзр~»»пнг»ьдаь» н названной им эйкиноло'и Заддеел.
Зта функция определяется соотношением ф=-Т+ — ',, (хе+у)) — '„(х(+Р!)+хе(5» — 5.)+Р,(тй — пи)* (18) где Т = Т (р„де» р. »7») — угловая характеристика, итнесенная к системам с Другое вмрвжение для С, часто используемое при изучении нзобрвжений с помощью тео. рин дифреки»»и, имеет вид С = ел„г, в»п 0„= — йл,г, мп 0».
Здесь а — волковое число для света в вакууме, в йв, и й⻠— угловые апертуры системм, нли углы, под ко»орь ми видим входной и выходной зрачки соответственно Ив осевых точек прщ- и» гв и изодрвжгннн. 1!рн тиков»не м.шн С инеем ха — — Алехе в»пот, х,= — Ап,Х, мпво Ре=вг»ь! аь>»»ие Р»= Аг' У» ешв».
Равенство двух правых частей в выражении (7) следует из формулы Сми- та — Гельмгольца (! 4.18), Вгг»псины, определенные соотношениями (2) н (6), являются переменными Зайдгхж Нач пгпребуиггся и обратныс соотношения, которые связывают старые псреьнишые с переменными Зайделя. Решая (2) и (6), пш»учим Сч О, л„! „ ! п»~ Выразим теперь функцию аберраций через переменные Зайдсля. Отметим сначала, что аргументы Х и )г можно заменить в функции гр на Х, и )г;, не из- меняя членов 0 (0»р») в уравнениях (5.1.16б) и (5.1.176). Обозначив функцию аберраций, выражгнну»о через персмснныс Зайдсля, через ф, имеем б!(Хм );; Х;, )г,)=й»(хю Р; $ т)) (!О) [гл. 5 Геонетончяскоя таогня Азеггэцнй 20! началами координат в О, и О,.
Рассмотрим теперь небольшие вариации коорди- нат. Согласно уравнению (Ч.1.27) и условию ЛО= 2,= О, получим, что соответ- ствующее изменение Т равно 87' = *л, <(р, + '~„<(у„— 7(, <(р, — У, <(ум или, выразив его через переменные Зайделя,— 87' = хо (34» — — в бхо/ -(-Уо ( «Чв — — О <(Уо)— С<о < 7 Ов ав! о ао! О Используя последнее соотношение, находим из (13), что при малых изменениях переменных изменение ф имеет вид аф — (й< — в,) йх.
+ (Ч< — Ч,) <(У. + (хо — х<) <(4, + (Ув — У<) <(ЧО (! 6) т. с. ф нвлястся функцией х„у,. в„ц„и поэтов<у получим строго $,— 3„= —, х,— х, — — — —, дх, 117) Ч Ч =.— У вЂ” У= — —- о да < о дя Следовательно, зная ч<, л<ожно цростыч днфф«ренцнрованпем найти величины лучевых аберраций как в плоскости изображения. так и в плоскости выходного зрачка. Сравнивая (17) ц (12), видим, что в прибляжении теории Зайделя вели- чина <р — <р не зависит <и с, и Ч„ т, е.
'р(хв уо' Оь< Ч<)='Р(хо уо 2< ЧО)+Х(хв* уо)+0(7)~ро). (18) гДе 7 (хо Уо) — некотоРзн фУпкциа От Хв и Уо. Из опРедетециЯ <Р следУет, что <р(х„у,; О, 0) = 0: следовательно, х (х„у,) = — — ф(х„ун О, 0) и <Р(хо, Уо, 4„Ч<)=ОР(х Уо' в< гй) — <Р(.<о. Уо! О, 0)+0((7<!О').
(!9) В области применимости теории Ззйделя члены в (12), учитывающие по- грешность, ногино отбросить Одвако если оставля<отсп члены более высокого порядка чем четвертый, то соотношения для компонент лучевой аберрацш<, вы- раженные через функцик> аберрапий <р, пряно<О<азот ботса сложный вид. В<<с ге с тем простые соотношения (1<), вырюкающне колшонснты лучевой аберрации <срез возму<цспныи эйконзл, оказываются точными; однако возмущенный ой<оп- алл, по-видимому, не ямссг простого фяэнческого смысла. Опредсченпс члевов более высокого порядка чем четвертый сопряжево, за исключением простейших случаев, с очень трудоемкимн математическими вы- кладками.
Поэтому обычно зл<ебраяческнй анализ проводятся в рамках теории Зайделя, которая затем в ел< шс необходимости уточняется с помощью метода построения хода лучей. й 5.3. Первичные аберрации (аб. ррацни Зайдсля) Используя рассуждения, совершенно апалогячные тем, которые относил ась в Д 5.1 к функш<п аберраций, чожно показать, что разложение в степенпой ряд возмуп<енного эйкоизла!Пварцпшльда пмсст в силу симчс< рип задачи следующий внл: ,(,.<ОО ! ! <и ! ф<о< + (,<в< + (1) где ф<ОО< — полипом степени 2й по четырем переменным; более того, эти переменные входят только в трех комбинациях: (2) 205 цхгаичиые квегглцни (кзхггзции злйдхля) В соотношении (1) отсутствует член второй степени, так как в противном случае это противоречило бы тому, что, согласно (5.2.!7), х,=- хв, у<= ув $<=-.
Ь и <1,= <1„ в приближении паракснальцай оптики. Па< кальку переменные яходят талька в комбинациях (2), член фи< должен иметь вид ф«< .- — «Аг' — йВа' — Ск' — <(<2?г'0<+ Ег'к" +Ер'к', (3) где А, В, ...— настоянные. Визки и числовые множители в (3) общепринятые; выражения для лучевых аберраций в этом случае принимают простой вид. Вычисление аберрационных пес<санных для произвольной центрираваинай системы проводится в 4 5.5. Коне <но, разложение в степенной ряд функции ч< имеет такой же вид, как и (1), но оио не содерж<п члена нулеиаго <юрядкм (<ам< =О), и главный члец ч<'и отличаегся от ф<о тем, что в нем отсутствуег слагаемое — Аг', как это 4 непосредственно следует из уравнения (5.2.19].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
