Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 52
Текст из файла (страница 52)
47 Т. 5 пг !1Ь, Ргос. РЬув. 5ов 57, 286 (!94Б). 48 97. УР е ! п вве г п, Ргпс. РЬ»в Бо . 866, 731 (1952). 49 Н. Н. Н о р Е ! и я, Ргос. РЬ)в. 5ос. 58, 663 (!946). 50. Н. Н. Н о р 1!1л з, руаче ТЬсагуо)АЬеггаЬопвА3агеп4опРгевв,Ох!огд)950, рр 59, 65 51, К. 3 сЬ гча гз вс1г ! ! 4, А»!г. М»Н. Кагги!. Б!егплаг!е ОБ!)~пссп, !сг)Б (персис«ага«о «я АЬ« Кою 1. Осв )У~»в Оо!!ЬВ»п, Ма1Ь РЬ'в К), 4, Ь! " (190о — 1906!. 52. 1. О. М а)о 11, Ес 92 Е р в1е ! и, Е1есв опгсв 17, 98 (1944). 53. С.
97 о 11, ЪТ 5. Р г е 4 й у, Ргос. РЬУА Бос. 59, 704 (1947). 54. Е )Ро!1, Ргас РЬус. Ьос. 61, 494 (!948). 55. М. 1!е ггЬегбе г, Н. О. Нов д)е у, 7. Ор!. Бос. Агаег. 36, 334 Н946). 56. П. 5. )Го ! о в оч, 7. ОР1 Бес. Апгсг 37, 342 (1947).
57. О. О. )рая еег »палю Е. УРа!1, Ргос. Р!гув Бес В62, 2 (1949). 58. Е. М. )г в а Ь а в, 3. Ор!. 5ос. Атег. 47, 609 (1957). 59. Е. Т. Р(Ь 1 11 а!гег, О. й о Ь впво п, ТЬе Са1с«1«в о1ОЬвегча1юпв, В!асЫе а. Воп. О!авбоач 41Ь, сд., 1946, р. 363. 60. С, В и и 6 е, Н. К о п г 5, Вилюс!ею йесЬпеп, 5рг!«8сг, ВсН!и, 1924. ГЛАВА б ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ В 4 4.9 было указано, что отклонение световых лучей от траекторий, предсказанных теорией Гаусса, можно нсследавать в рамках геометрической оптики либо л>стадом построения хада пучек, либ<> с помощью злгебранческого анзлиза. В последнем методе, которому посвящена настоящая глава, прп разложении характеристических функций оставляются члены, содержащие более высокнс, чем вторая, степени расстояний ат оси.
Зтн члены описыва)от ггюиг>яричг>киг пбгррииии. Ранние попытки расширить теоршо 1 аусса связаны в основном с изобретением в 1839 г. Пагерром (1789 — 1861 гг.) фотографии. Перел практической оптикой, в которой до этого ззннчались главным абрахам каис> рунровяннем объективов телескопов, встала новая задача создания объективов с болыпими апертурами и большимн пшшми зрения. Венгерский ма>смшик Пгтцваль достиг батьшого успеха в решеник этой проблемы, добавив в формулы Гаусса члены, содержащие более высокие степени угчов наклона лучей относительно аси. К сожалению, его обширная монография, посвященная этому вопросу, была уничтожена ворами; все, что известно об его работе, содер квтся в полупопулярных статьях П, 21.
Петцваль доказал практическую пенность своих вычислений, изготовив в 1840 г. широко известный портретный объектив (показанный на рис. 6.3, >>), обладавший многими преимушествами па сравнению с известнымн тогда объективами. 11аиболее раннее систематическое исследование геометрических аберраций, которое б. юо полное>ью опубликовано, принадлежит Зайделю (3 — 5)> он учел все члены третьего порядка при рассмотрении общего случая цептрировзнной системы, состоящен из сфернческп..
поверхностей.Стех пор это исследование была обобщена и упрощена многими авторами. Поскольку волновые фронты ортогональны лучам, та при отклонении пучка лучгй, формирующих изображение, от гомоцентри'шости форма соответствующих волновых фронтов отличается ат сфсричсснай. Звание формы волновых фронтов играет сущесж>сивую роль пря более строгом исс.,>едоввнчн аберраций, основанном на георпн днфракции (см. гл. 9). По этой причине, а также из-за тесной связи между негомацептрп шостыо пучков и асфернчпостью соответствующих залповых франтов мы будем рассматривать их совместно. Наше изложение будет частичяо основано на важной работе Шварцшильда 16) '), несколько упрощенной с этой целью. 9 5.1.
Волновые и лучевые аберрации; фупчиия аберраций Рассмотрим вращзтельно-снмметричиу>о оптическую систему. Пусть Р;, Р; и Р,— точни пересечения луча, выходящего из точки предмета Р„соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка и плосностью параксиальяа>о изображения. Если Р; — параксиальнае изображение точки Р„та веьшр Ь,—.— Р;Р, называется иберраг(игй луна или просто лучгбай иберраиией (рис.
5.1). ') Обсб>ление рэбохм Шээрцшяллла нв системы, не обладаю>цш вра>цатеаьвой снимем рвев, проведено в статы 171. залповых я яхчевме ьвят лци; езнкпня еве тлций 199 $ 5.!1 Пусть У' — ' волновой фронт, проходящий через центр О' выходного зрачка Е связанный с пучком. като!ъпй фарьшр уст изображение н выходит из точк Р .
и "сли аберрации отсутствуют, то (ег совладает со сферой 5, центр которой лежит д иемеь лема ива ьтееве Рес вд пт . 5.. Гмоскость орехмете, гласность пзобрежснвя в плоскости зрачков. в точке параксиального изображения Р;, асима ана прохаднт через точку С;. Ь называется опорной гфграй Гирста (рис. 5.2). Пусть О и Π— - точки пересечения луча Р;Р, с опорной сферой н волновым фронтом (о соответственно. Оптическую длину пути Ф = !О()1 можно назвать абгрран лги во сновало влеяенлеа в топке () или проста волновой аберрацией и считатьь положительной, если О н Р, рьсполоиеены по разные стороны ат Ц. В обычных првборах волновые аберра-, Р' й пин достигают 40 — 50 длин волн, од- ',; ' — — — -- Р" вако з приборах, используемых для 4 более точных исследований (папример, в астрояомяческих телескопах р д' г нли микроскопах), онв должны бьть рт значительно меньше, порядка долей ! длины волны.
! Выражения для волновой аберрации легко палучить с помощькиточеч- рлжтивли г. игл м лывет иой характеристической функции Гамильтона системы. Рве. З,З Волвоеез в лучоеее еверреееп. Если, как и раньше, пользовать. ся для обозначенн» оптической длины пути квадратными скобками !...1, то Ф [ОО] = [Р, Ц] — [Р О] =- [Р,О] — [Р,О[]. (1) Здесь было использовано то обстоятельство, что точки () и О; лежат на одном волновом фронте, т. с.
(РиО! †. !Ри0,1. Введем лве прямоугольные системы координат со взаимно параллельнымн осями, начала которых находятся в осевых точках О. и О, плоскостей црсдмета н изображения, а осп / совпадают с осью системы. Точки в пространстве и . ме-га тудут рассматриваться в первой системе, а н прост ранение нзображения— во второй. Л-координаты плоскостей, в которых леткат зрачки, абозввчепы через Ои и От (на рис. 5.! Ое(0). Согласно (1) волновая аберрация выражается через точечную хараитеристику !' слеггукиитеитт образом.
Ф=У(Х„1'„, 0; Х, У, 2)- У(Х„У„, 0; О, О, --О,), (2) ГЕОМЕТРИЧЕСИЛЯ ТЕОРИЯ ЛВЕРРЛЦНй !гл. о где (Хю У,) — координаты точки Р, и (Х, У, 2) -- координаты точки (г. Координаты (Х. У, 2) уокс це являются независимыми; онн связаны соотношениечп учитывающим, что точка 17 лежит на опорной сфере, т. е. (Х вЂ” Х;)'+ (У вЂ” У;)'+ 2' = Дй (3) Здесь Х,* =МХ,, У„.4 й(У. (4) — координаты точки Р, 'паракспальпого изображения,М вЂ” гауссово поперечное увеличение и )7 — радиус опорной сферы Гаусса Р=(Х;*+У + 0ч)'г'. (5) Величину 2 в выражении (2) можно исключить с помощью (3), в результате чего Ф станет функпней только ) Х„Ую Х и У. т, с. Ф=Ф(Хе. Уо: Х У). ду ьевые аберрации связаны с функцией аберрапий Ф(Хю У„Х, У) про- ' стыми соотношениями. Из (2) имеем жр д д ох — =- — + —.
—. ОХ дХ дл дХ ' (6) )если аю 5, и уг..- углы, которые Образуют луч ()Р, с осями, а (Х, У, 2) и (Х„ Ую 2,) — координаты точек чг и Р„то, согласью (4.1.7) и рис. 5,2, получим дг' Х,— Х ду г — =Птеозць=пь дл Лье057х= — -Ль —,, (7) где )7'=-((Х,— Х) +(У,— У) +2)м (5) есть расстояние от ч) до Р, и л,— показатель преломления среды в пространстве изображения.
7(клее из (3) имеем (9) дх г Подставляя (7) н (9) в соотношение (5), находим для компонент лучевой аберрации Х вЂ” Х;=— Л' дч л, дХ (10) и аналогично Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина )7'сзма навесит от координат точки Р„ т.с. от лучевых аберраций "'). Тем пс менее для большинства практических целей йо можно заменять ва рада)с опорной сферы ух' или на другое приближенное выражение (см. ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу снмьмтрии задачи всшшипа Ф зависит ог четырех переменных, входящих ~алеко в трех комбинациях, а именно: Хк-,' + у'„Хт+ У: и Х,Х+ У.У. В свмом деле, если ввести в плоскостях ХУ полярные координаты, т.
е. положвть Х,==госозй„Х =-гсоьй, 1,.— -гезьпО„У=Р51пй, (11) то окажется, что Ф зависит только от гю Ою г ц О, или, что то же самое, Ф зависит от г„г, Оо — О н О. Предположим теперь, что оси Х и У систем с началами в О. и О, нояорич иникпси нв алин и тот же угол н в одном н том же направ- *) Вольф !51 ввел более общую функпию вберрвпиа, удобную для неелековвввя отображении прщ чгленньж орехиетов.
"'1 Несколько отлнчнва пара точных урвввения, евноыовющих лучевые в волновые аберрации, была оолученв о 191. 201 эйк онлл швагцшяльдя (1ба) (! 7а) й 5.2. Эйконва Шваршлильда Прв исследовании геоыетрвчсских абсррапии Шварцшильд использовал метод, сходный с ыео доы, применяемым в небесной механике при расчетах элементов орбит. Б таких расчетах вводятся переменные, остаюпгнеся постоял.
ными при нсвозмущснпом двизкении, а небольшие их изменения прн действительном движеияв опрсделяются с помощью функпии возмущения. По аналоз ") Эги вбзррвлвв влогдв называют абгррячввзги всзюззю вврвдяо, твх квк связввяыв с явил зяв.взы вазррияви соаврзввт координаты в трвгзса стслвви. ленив относительно оси системы.
Прн этом г„г и ΄— О не изменяются, а угол О увеличивается на угол поворота. Поскольку функция Ф инвариантна относительно таких паворогов, она яе должяа зависеть от последней переменной, г. с. зависит только ат гю г и 6„— О. Следовательно, функция аберраций Ф является функцией трех скалярных произведений г, "= Х,',- у'„гз = Х'+ 1" и г„г = Х,Х+ у,у (12) двух векторов г,(Хы У,) н г(Х, 1'). Отсюда вытекает, что лри разложения Ф в рял по степеням четырех координат нечетяые огещ ни будут отсутствовать. !Таскальку Ф (О, О; О, О) = О, та членов пулевой степени тоже пе будет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
