Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Дисиюрсия (Е ~ 0). Если в соотношениях (8) отличен от нуля лишь ко ипиент Е, то Ьлтл х =.- О, Ьттл у = — Еу,'. (22) Поскольку сюда не входят координаты р и 8, отображение получится стигма~ нчсским и не будет зависеть от радиуса выходного зрачка; однако рзсстояялля то1ек изображения да осн не будут пропорциональны соответствующим расстояниям для точек предмета. Эта аберрапия называется диглпарсигд. При наличии тако аберрации и.,обралкснис любой прямой и плоскости предмета, проходящей через осли булет прямой линней, иа иэображение любой другой прямой будет искривленным, !!а рис. 5.8, о показан предмет в виде ) ) .) Р«с. ля.
Вэстпрспя. с-пртппст, б-бст юбр * и ю лг и рл, т-«слуш с бр тптп ппстррспс \в с б). сетки прл иых, параллельяых осям х и у в распалщкеппых на одинаковом расстоянии круг от друга Рллс. 5.8, 6 и.ч«юстрирует ~ «к называемую бгпищоблиэиую дисщорсию (Е О), а рис. 5 8, б — иодуликсюбрпзную длитпэргию (Е . О).
Ранее укаэыоалась, что иэ пяти аберраций Зайделя трв (сферическая, кома и астигч«тизм) няруюакп резкость нзабражсния. Две другие (кряпнзна поля п д«сторон«) «эие«яют его полажение и форму. В обплсм случае невозможно сконструировать систему, свободную как ат всех перви лных «беррзпнй, так и си абсррапий более высокого порядка; поэтому всегда приходится искать к«кае-та падходящсс компромиссное рсплснис, учптывжощсс пх отпосителылые величины.
Р некоторых случаях ябт рр щк«В«йллеля лллтжнлл ту«;ествсино умсньшить за счет аберрз~плй более высокого порядка В других случаях необходимо полностью уничтожить некаторыс аберрашли, несмотря иа то, что при этом по. явл«клтся «беррапии других типов. Нюлрииер, в телескопах должна быть полностью устранена капа, потому что при палнчии ее изображение будет несимметричным и все прецизионные астрономические измерения положения поте- 14 м.
ь р, э. вспсб 210 1гл. б геоиутгичвская твогяя лвегглцвй ряют смысл. С другой стороны, наличие некоторой кривизны поля и дисторсии относительно безвредно, поскольку от них можно избавиться с помощью соответствующих вычислений. 1(о сих пор мы звучали абсррапип только в рамках геометрической оптики. Однако если аберрации малы гволновые аберрации порядка длины волны или меньше), то становятся существенными дифракциоиные эффекты, Б зточ случае геометрическая теория должна быть дополнена более тонкими исследованиями, что н будет сделано в гл.
9. 2 3.4. Теорема сложения для случая первичных аберраций Продемонстрировав важность первичных зберрапий, мы должны приступить к решению гораздо более трудной задачи, состоящей в вычислении коэффициентов первичных аберраций для случая произвольной цеитрированзой системы. Кзк было показано, это эквивалентно определению 1леноз четвертого порялка в разложении возмущенного эйкоиала 1Цварцшнльда. Чтобы не пре. рывать основных вычислений, удобно вначале рассмотреть зависимость возмущенного ай кона за системы от возмущенных зйконалов, связанных с отдельными поверхностями системы.
Рассмотрим цептрированную систему, состоящую из двух поверхностей вращения, и пусть О,— о< свая точка предмета, а О, и О,— се параксиальпые изображения, создаваемые соответственно первой и обеимн поверхностями. Пусть далее Т,=Т,(Р Уы Ро А) — угловая характеристика для преломления первой поверхностью, а Т,-Т,(р„дб Р„д,) (2) — угловая характеристика для преломления второй поверхностью, првчем Т» рассматривается относительно координатных систем с началами в О, п О„ а Т,— относительно координатных систем с нзчаламп в О, н Об оси Х и Уы этих систем взаимно параллельны, а оси 2 направлены вдоль оси системы. Поскольку орели считается однородной, угловая характеристика представляег собой оптическую длину пути между основаниями перпендикуляров, опущенных из обоих начал координат на начальный и конечный отрезки луча (см. рис.
4.3). Следовательно, угловая характеристика системы Т, отнесенная к системам с началамн в О, и О„, равна сумме Т, и Т„т. е. Т=-Т,+Т,. (3) Переменные Р„д, в этом выражении, относящиеся к лучу в промежуточном пространстве, нужно исключитгч пользуясь формулами, которые описывают отображения каждой из поверхностей. Это удобно сделать в явном виде в соответствующих выражениях для возмупгенного зйконала. Согласно (6.2.13), возмущенные эйкоиалы ф, и ф, имеют вид ф,= Т, + — ", (4+У,') — — ', (х1+У1)+х,(ь — $,)+У (тц — Ч ) и ф,=Т, + ~", (х*,+ У1)- э (х1+У1)+х,($.— 1,)+У,(Ч.— Ч ). влгЛ1 2л,хч а нозмущенный эйконал ф системы — внд ф=Т + — ', (х1+У1) — — ', (х1+У1)+х,($ — $.)+У (Ч* — Ч.). 2чэЛ) 2зэх1э Следовательно, иа основании (3) имеем ф=-ф,-(-ф,+(х,— хг) (2,— 2)-)-(У,— У,) (ׄ— Ч,), 5 5.51 пгевичныз лвхгглппи длз цзитгиювлнной систзмы линз 211 или, используя (5.2.!7), д»!»! дф, дй, д»г» ф=ф»+ф»+ — — — — — ° д»» дх ' дщ ду» (4) Подставив в (4) разложения в стейенные ряды величин ф, и »р„получим (напомним, что, согласно (5.3.!), члены второю порядка отсутствуют) ф»0! + ф»01 ! ф!4» ! (,»4! !.
(5) где точки означают члены шестого и более высокого порядков. Очевидно, чю в выражениях для ф»»4! и ф»24! мы имеем право заменить аргументы нх гауссовымя значенипмя, Таким образом, переменные, относящиеся к промежуточному пространству„можно исключить с помо»цью следующего правила: заменить йь Ч, на 52, гн в»р!4! (х„уы $„Ч») и ха у, нз кь, у, з»р»а (хь у„$„Ч,) и полученные выражсния сложить. В результате получим фп' как функцию четырех переменных хз, у„и 5„ч„что н требовалась.
проведем теперь июисключение более подробно. Согласно (5.305) ф»»4» и ф',4» имеют вцд 2 4 4 ф»4! = — — А 㻠— — В»Р4» — С»к04! ь»»г1Р1+ Е»г»2»402»+ Р»Р(к» »0 =к!+у) Р» = $1+ Ч» к0» =х0$»+ у»Ч» ф»в = — з А»г2 »вЂ” 4 Вчр» — С»к»м — з 2)»г»Р»+ Ег»км+ Рй»»км, г', = х( — ', у»„р»2 = Д+ Ч»2, ° к(2 = х»52+ у»2)2. ' (7) где Заме»»яя $», »!» на $2; ги и х„у, на х„у„т, е, р» на р„г, на г, и й„ца к02" х012+ У Ч2 (В) находим после сложения фи' = — — (А, + А,) г», — — (В, + В,) р„»вЂ” (С, + С,) к'„— — — (и»+ ВВ гьр»+ (В»+ е,) г(к», + (Р, + Р,) к,' . ' Сходный результат, конечно, получится н для произвольной центрнрованной сис»емь», состоящси пз любого числа поверхностей.
Таким образом, мы доказали следующую теорему. Каждый коэффициент первичной аберрации для любой цснтрированной системы равен сумме сапа»»мтствукпцих коэффициентов для отдельных вв по. верхностей. Име»шо здесь особенно отчетливо видна практическая полезность переменных Зайделя, поскольку этот просюй, но важный результат можно получить при использовании укаэанных пер»'пенных н ои не имеет аналога для обычных переменных, 5 5.5. Козфф»»циенты первичных аберраций произвольной центрироваииой системы линз »40 Сформулированная в предыдущем параграфе теорема позволяет свести задачу о нахождении коэффициентов псрвичных аберраций произвольной цснтрнроваппой системы к вычислению соответствующих кож)фициентов ддн ав дельных се поверхностей.
Проведем теперь зги вычисления. гвомятгичкскля ткогия лвегглцнй [гл. б 6.8.1. Формулы Зайделя, выраженные через параметры двух параксиальиых лучей. Напомним, что ком(ф»»цые»г»ь» аберраций Зайчетя равны (с точностью до постоянных множителей) козффициентзм при члю»зх»етвсртого порядка в разложении возмущенного эйкопала Шварц»»»»»льда»р. Согласно .(3.2.13) эта фупкппя получается, если к угчовой характеристике Т прибавить некоторые квадратичные члены, а результирующее вырзженгя запис»пь н переменных Зайделя. Поскольку перел»енине Ззйделя и лу»евые компоненты связаны линейными соотношения»ш, порядок членов при такой замене переменных не изменится.
Следовательно, »Р'о(хе Ре', 3». П»)=У™(Р. 4»', Р» рд (1) Разложение угловой характеристики для преломляющсй поверхности вра. щения до членов четвертого порядка малости включительно было проведено в 2 4.1. Согласно (4.!,42) члены четвертого порядка можно записать в виде ") 4 (⻠— ве)» 8(» ") 81 8 Удобно расположить осевые точки предмета и их паракснального изображения в г = а, и з = а, и положить 1 (рис.
3.9) з = аю з' = а„ / = а, + В„, ( -г г' = а» + /у». (3) Обозначим через К и й соот- 1" [ ветствуюшие инварианты Лббс дгр гвю) дгюгвсяз уггггггаре лягаю»ю (св»» (4 4 У)) яр»мыва югйггю ' гю»аггее пг»юг»вггюяю а (1 /г 1/з) — и, (1/г 1/з') — /( гунны аыг»в юи угюгяяг (4) Рве. 5.9. К вычнслевню»»сейфнннентсв первичной вберреннн. (б) Прюкде чем подставлять выражен»ия для лучевых компонент, записанные в переменных Зайдсля, и (1), удобно переписать зто соотношение в несколько иной форме. Согласно (4) имеем „,„' „,.
((Р. —, )'+ (4.— Ч )'Р = щ„„р ~-,"' —, —,"1 Ь вЂ” Р )'+ (4 — 4.)'Р. 8 (в, — и»)» 8(я» — ве)»»' Подставляя зто выражение в (2), получим т» = — ', (. " ° [(Р.— Р,)"+(4.— Ч,') — '(Р.'+4~)(/— » — '„' „РИр.— р )'+(4.— Ч,)е)* (б) Переменные в (б) можно заменить на пх пзрзксязльные знзчен»и; в частности, переменные Зайдсля, относящиеся к точкам на падающем и преломленном лу их, можно поменять местами.
Тогда для получения фы' как функции ') Квк я в 4 4.Ц г обовнечеет рвдвус крненвны прелсмляющей поверхвсств. Его не сзе. "дует путать с снююлом г, который обозначает пнвврявнт врвщеняя )»гв,'+„', введенный в (5.8.2), 2 5 51 ЕВРВнчные АВВРРАпни для центРНРОВАнной снстемы линз хо уо $1 и г!» можно использовать вместо (5.2.9) соотношения Лазо ! Л,ь1 1 О А ' 1 О -1 о (7) Полезно пронести епщ одну моднфикапию. Гауссовы поперечные увеличепзя предмет — изображение (/1/!о) н входной — выходной зрачки ()л/)ао! мшш!о определить нз И.4.14) н (4 4.10! или просто пз тех соображеьы!й, что отображевие сб»прической поверхностью является проекпней из нентра соотвегствуьощей сьрсры. Тоща с учетом (4) получим г — з' лои Х» а — /' л„/' — з,з ' Хо .— ь л,г' (6) Вводя обозначения !о» Ь = — = — ', Н.=- Ро Г»1 ' '=Д»л„=ьш, ° (9) где бычи использованы соотношения (8) и (5.2.7), перепишем (7) в виде Ро='ьо (, $» ь ло) ° Р»=л» (зте» вЂ” г': ло) ° (10) Если, как и раньше, обозначить через г*, р' н к'три инварианта вращения г' = х)+ Р~, Рз Е»+ 114, ььз = косо»+ рог!„ (11) то члены в фкгурных скобках в соотношении (6) примут внд (Р,— Р )а+(а)о — "а) )'= ( ' о) (Н'Г'+й»Р' — 2!ЬНК»1, (л, ' ) ПР.— и)'+(4.— 4)'1 — „,(Р1+з() =- Н'г' )Š— (К вЂ” () г ~ +й'р'К вЂ” 2ДННЧ., ((Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
