Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 56
Текст из файла (страница 56)
и,), (Р. 4.)), (Р +(ь,) =Н го (Е,— (К-Т.)1;1+дар»К — 2/»Нко(., ,,1 Подставляя зти соотношения в (6) и используя (1), получим окончательное выражение для фн' =-г Н вЂ” (и,— л )+Е ( — —,)— о о(Ь / ! ! / з (лоь л»г') 1. лоь л Гл » е '1И + — ННд 1! — (р, )+4, / )~+ / 1 ! 2 (, Чз Л»З') + — г ь Н й 1 — (л — л ) -1-Кй / ) 1» аз / 1 ! 2 )аз о ,лоз ) ( — ))» — — р'к'Н/ь'~ — (11 — л )+К5 ( '~ (12) ! В / ! (,л,! л и))' 'Таз о 1 ~Л.— Л„».З) (гл. 5 214 ГЕОМЕТРИЧЕСКЛЯ ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ Эта формула, если ее сравнить с общим выражением (5.3.3), дает коэффициенты разложения четвертого порядка А, В, ...;г возмущенного эйконала преломляющей поверхности вращения. Теперь нетрудно обобщить этот результат на случай произвольной центрированной системы, состоящей на любого числа преломляющнх поверхаостей.
Отметим индексом !' величины, относящиеся к х-й иоеерхиостн, и пусть л,— показатель преломления среды, расположенной за з-й поверхностью. Тогда, используя теорему сложения из 3 5.4 н сравнивая (12) с формулой (5.3.3), находим (л! — лг,)+/.ьс ~ —.— „—,)) (л,— лг,) + К(ч ( —,— 1— «/ ! ~ ! (л,— и,,)+/.ес( —,— ' — 1— / ! — йх(К! — й!) ( — ! 7)~ (,лгг; лх-з!х/ / ! ! (л,— л,,)+К!1! ( — Р—— ЛН, лг-хе!/) В = —,~,й) ! — ',(л! гь; С ! Еней)1ь! ,„,!)ь, (13) Е = — ~~' Н';й! ~ — ' 1 Это н есть формуле! Зайделл для коэффициентов первичных аберраций произвольной центрнровянной системы прсломляющнх поиерхностей е), Саотношепия (13) выражают коэффициенты первичных аберраций через величины, характеризующие прохождение двух параксиальных лучей через систему, а именно одного луча, выходящего нз осевой точки предмета, и другого — выходящего из центра входного зрачка.
Полезно сделать снодку соответствующих формул Гаусса. Пусть с(с — расстояние между поляжами )-й в (! + 1)-й поверхностей. Поскольку параксиальиое изображение первыин ! поверхностялзн системы служит предметом для (! + 1)-й поверхности, можно написать следующие формулы перехода: ах+я = з! — с(! !х+з = !) — б!. (14) л,, (!/Рх — 1/з) =-л, О/г! — 1/з!) = Кх, л;, (1/г, — !/Н) =- л! (1/г! — 1//;) =-/! (15) и формулы (14) последовательно вычислить расстояние з,', !ы л„!„з'„!;, ... и соответствующие значения К„ /.ь Кя, (я, ... Необходимое также определять величины Ьз и Нь Вели положить лля простоты длину Рч в плоскости входного зрачка раиной единице и использовать соотношения /у,= !; — з', = !...— Бг, „ то из (9) следует, что величины /х! и Н, можно последовательно пычислить с ] феетячесхе Ззйхьчь ясследазел сестепы, состоядпе только яз сферических поверхяостей.
Эффекты яесферячяостп (херяюерезумщиеся постояппыпп Ь!) были учтены паздзее (сы. 1!71). При заданных расстояниях з, и й от плоскости предмета и плоскости входного зрачка до полюса первой поверхности можно с помощью соотношений Аббе помощью уравнений е) сг ° е Ос ссег асег Рсч-1 (16) л' пг С,— вг' О с; а Из формул (9) и из соотношений Аббе (4) н (5) находим следующее выражение, которое может служить для проверка вычислений и понадобится нам позже: гссс 1 «снс- с (17) "с-г<сс 'с) пс(<с — вс) Ьс 5.5.2.
Формулы Зайделя, выраженные через параметры одного параксиального луча. Часто представляется жслаюльным выразить коэффициенты первичной абсррзпяи в такой форме, которая нанболсс отчетлнво показывает их зависимость от параметров оптической системы; г)юрмульг (13) непригодны для этой цели. Чтобы воспользоваться ими необходимо, в соответствии с законами парзкснальной оптики, построить хол двух лучей, один нз которых выходит нз осевой точка предмета, а другой — из центра входного зрачка. Заыдессь, однако, показал, что параметры второго луча люжно исключить, т.
е. выразить козффнцвснты первичных аберраций только через параметры первого луча. Естественно, в формулах останется величина, зависящзя от положения входного зрачка, поскольку ясно, что измененве положения соответствующей диафрагмы влияет на аберрации. Для исключснвя величин, относящихся к лучу из центра входного зрачка, необходимо прежде всего выразить расстоянии от оси !с'с через «г. Из (14), (16) и (!7) имеем а;., а, а,а,, г с... с «;всю «с, „; гсу =лсагсгсьг' Если положить (19) то из (18) следует, что «ге,— -«,+ Р. а где, согласно (16), ас =— л с<с — д) аг сгагс (13), характеризующие параксиальный луч из центра легко выразить через парзмстры другого луча. Из (171 Другие величины в входного зрачка, также н (19) имеем (2Ц (.с = Ко+ — ', ага) (15) и (22) мы можем написать '-. ~.': —.,)'- Далее в соответствии с 1 пссу и, гсс всг, вс =-'('-'+ — '- ( — '-'+-')-(-'; —,',И'+й) = псес' вс гиг ас«1 'ьпгв и) г/' «) Ив соотиошеиии Сггьт<ас=хс+г<г, гтедует, что ас прапорцвоиильио расстоиииш от оси, ли котором пвракгиеиьиый луч, выхойвгций ии осевой то гки пресметв, пересыгзет г-ш поверх.
вость. Соотпошегсие РС, тгСССс — Сс „г<гс иитерггретируегея твким же образом ллв иврвкгивльпого луча, выходящего вв центра входиого зрачка, ,9 5,51 гшрвмчиыв лввРРащпг ллз пинтрнРоавнной сжствмм линз 215 [гл. 5 ГЕОИЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АЕЕРРАПИЙ 216 Подставляя (19), (22) и (23) в (13), окончательно получим В = —. / 54 — !(и,— и1,) + йгК', [ —,— С = — —, ,'~~ай)й!! — '(и,— и! !) +(1 лей!!й!К!)! ( —.—— хл 5! л! 16/ В= — ~~5';й', -- (и! — и,,)+ ! г! /1 1 Х /1 1 +йй!К!(2+5)й!К!)1 ' ) К [ ! ! ~.: .:,) Е = - ~ й!й!! — ', (и ! — л ! !) + й! (1 + й!й/К1) (2 + й)й/К/) х хл !' ш,Р! /' '[24) Это и есть требуемая форма соотношений Зайаеля.
Координаты входного зрачка содержатся только в коэффициенте йм который связав с расстоянием /! от плоскости входного зрачка ло полн!са первой поверхнос!и выражением (2!). Величины з;, з,', К; и й; вычисляются, как и раньше, с помощью соответствуюших форыул (14] — (16), а величины й! - с помощьо (20). 5.5.3. Теорема Петцвши. Из выражений лля коэффициентов зстигматизма и кривизны поля можно вывести интересное соотношение, полученное впервые Пегцвалем.
Учитывая (15), имеем С вЂ” 0= — ~', / [(! + ЕРЕ,К!)! — 2йуй/К/ — йяК[) [ 1,— 2 ! Е,з! "!-!й 1 (25) Согласно 5 5.3 коэффициенты С и )7 определяют сагнтгальную и тангенпиальпую кривизны поли. Если обозначить через п, показатель преломления последней среды, то из уравнений (5.3.18) и (5.3.19) получим 1 / 1 1 1 1 С= — ( — — ~~, ()= — —. (26) 4Е, [ Л! ЛР) Яе й! (28) Следовательно, (25) можно представить и виде 1 3 1/1 1 — — — =2п„з — [ — — 1. (27) К "2л!! ! л! л! т/ Таким образом, мы получили соотноп1еине, связывающее кривизны двух фокальных поверхностей, которое годер/кит только радиусы кривизны преломляющих поверхностен системы н соответствующие показателе преломления. Если система свободна от сферической аберрации, комы и астягматизма, то на поверхности радиуса /7,,= //!= /7 пол) чается резкое изображение; радиус этой поверхности, согласно (27), можно найти из соотношения 1 %" 1/1 ! — — в,~,— ! — — 1.
// и 'хл! а!-!) Полученный результат называется лыррелод /угш!)валя. 8 5.6! пгяиег: пегзячныз Ааегглцни тонкой линзы Условие (29) з ! з лв й,=н $.5.6. Пример: первичные аберрации тонкой линзы Используем теперь формулы дайделя для нахождения коэффициентов первичных аберрапий тонкой лннаы с показателем преломления а, расположенной в воздухе (вакууме).
В этом случае и, = и, = 1, л, = а. (1) Поскольку толщиной линзы д можно пренебречь, то, согласно (5.5.14), имеем зв (2) и (5.5.15) дает !/г* — 1/зв= (1/.— !/з,')=Ко а(1/г,— 1/з,) =(1/г,— !/з,') Км Далее, учитывая (2), получим из (5.5.16) и (5.5.20) йв=йв=й, й,=й,=й, вв З !в (гв — вв) Гв — вв вв Линзу удобно характеризовать несколькими простыми параметрами. Пусть У вЂ” оптическая сила линзы (см.
уравнения (4.4.35) и (4.4.36)), т. е. Ю= !//=( — П(!/ — 1/гв) (5) (4) и пусть а = (а — 1) (1/в, +! /г,). (6) Из (3) имеем ! л 1 (а — 1) -= — —, гв вв вв л (л — 1) — = —; — —, вв вв вв ' так что с учетом (2! (7) !/зв — 1/зв = Р. Перепишем это соотношение в виде — 1/зв — ви/2 = — 1/з,'+ з""/2 = рб; (97 здесь Х играет для линзь. ту же роль, что н К для одной поверхности. Соответственно величину М мы будем называть ввазарааатозв Аббе линзы. Позднее будет показано, что кгнффипиенты деформации Ьв и Ь, двух поверхностей линзы входят в формулы лишь в комбинации р=(а — 1) ( — ' — — '); (! О) в в/ ° эту величину можно назвать коэффиииенаол дефорллв(аи лилии.
(8) называется условием /7елвивалл. Оно служит необходимым условием того, что аол будеш алослил. Однако следует помнитгь что оно спрзведливо лишь в рамках тсорнн Заяделя: вне зтнх рамок оно теряет свое значение. Сферическая поверхность, касавшаяся двух фохальных поверхностей в их обшей осевой точке н имеющая радиус /вв. определенпьш (28], называется лоззргностьвв /7етизалл независимо от наличия аберраций. Согласно (27) и (28) радиусы кривизны сзпвтгальной фокальной поверхности, тангепциальной фокальной поверхности и поверхности Пстцваля связаны между собой соотно- пвением [гл. б 213 гьоиетгнчзскля твогия лвегелцвй Выразим теперь величины, входящие в формулы Зайделя (5Л.24), через параметры Р, а, [) и у('. Первые трн параметра характеризуют линзу, з последний — полажение предмета.
Сначала получим нз [3) К =ул+ +, К,=-Ж+ —. 2(л — Ц' г 2(» — 11' (11) ))алев 1» — !»,У' з у(+ зт »,5, »1 л' — 1 г з" — — = — — М вЂ” — + — ° ли. л 2л" 2 (12) Подставляя эти соатяощения в формулы Зайделя (3.5.24), находим следующие выражения для козффициеитов нервнч»ых аберраций тонкой линзы: В =Ьл(), -Р = Ьлй(! + Ьгг', ь С=я Ь и+2Ь Ь Р+ — 'У, 2 П = Ь Ь ()+ 2Ь Ь Р+ л+ ! У, 2» Е = Ь'Ь'() + ЗЬ!'Ьлр + Ь вЂ” Р, (13) где ! и' л 2 [ + З(л — 1)з 2(л-(-21 ' + 1 1 Г л+2 1» )Г= — У[ " )а+(2»+1)УР1. (14) Здесь мы рассмотрим только случай совпадения входного зрачка с лимюй ((,= 0).
Согласно (4) имеем Ь= — 1, Ь=О, л формулы (13) принимают внл В=(г, Р )г, 1 — [С-(- В) =- — Уг, — (С вЂ” О) = — — Р, 2»+ ! ! ()б) Е=О. таким образом, величины у и (г, определенные (14), характеризуют сфе- рическую аберра1ц ю & кому линзы с диафрагмой, расположенной в ее плоско- сти. В такой линзе отсутствует дпсторсия [Е =- 0), однако всегда имеются ас- тигматвзм н кривизна поля (С ~ О, 0 ~ 0).
Выясним, суц!есча)га ли для такой лнязы пара аплааатнческих »очек [В=В=О). Согласно (1б) кома будет отсутствовать, если 1'==О, или 2 (л — 1) а+(2»+ 1) уь'=-О. 'Тогда из (9) найден расстояние до предмета а, п+! 2 +2(» — 1) Оп+11 (17) При таком выборе з, сферическая аберрапвя линзы полностью определена. Следовательно, в общси случае лля линзы с лиафрагмай, лежащей в плоскости линзы, пе существует нары ацланатичсскях тачек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
