Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если предмет находится ка бесконечности, то условие синусов имеет другой внд. Предположим сначала, что осевая точка предм<ма расположена на большом расстоянии от первой поверхности. Если Ло- — абсцисса ягой точкк в системе координат с центром в первом фокусе в !<. -- расстояние от оси точки пересечения луча, выходящего из осевой точки, с первой поверхностью, то У., з!п 7„16;е — ! при 3,— есо и постоянном йм Следовательно, если Я<достаточно велико, то (6) принимает вид — ""й =- — "— 'г 7' (7) Но согласно (4.3.10) у<Ха/у<= 7'„а согласно (4.4.53) п<1п<= — 1<11<, так что в пределе Я;осе выражение (6) сводится к (рис.
4.!9) (8) '" г< 'в +.б) стигиатичвекок отовглжкяит пги вблыной апсеттга 167 Отсюда следует, что любой луч, падавший параллельно оси, пересечет сопряженный ему луч на сфере радиуса ), с центром в фокусе г',. Говорят, что две осевые точки образуют а!!ланалгическую пару, если, во-первых, они являются стигматическнми изображениями одна другой н, во-вторых, сопряжснные лучи, проходящие через них, удовлетворяют условию синусов. Мы уже истречалнсь с такими точкамн при изучении прелол!пения лу.
чей из сферической поверхности (см. и. 4.2.0). В черниках теории аберраций (см. гл. 5) осевой стигматизм означает, что в разло кении характеристической фушсции отсутствуют члены, пе зависящие от расстояния предмета до оси, т. е. отсутствует сферическая аберрация всех порядков. Если же вьшочияегся еще и условие синусов, то пропадакзт члены, (ркс. 4.!9. Условие синусов в случае, когда яреаиег находятся в аесконечкостя. содержащие расстояние до оси в первой степени; эти члены описывают аберрацию, которая назыааеп.я крйаоаий кол!ой.
Условие синусов играет важную роль прн конструировании различных оптических систем, поскольку опо данг информацию о качестве изображения точек, не распологкеиных иа оси, выраженную через свойства аксиальных пучков. 4.5.2. Условие Гершеля. Рассмотрим теперь случай, когда Р„и Р, находятся на оси системы (хг == уз= О, кг= рг= 0).
Условие резкого отобрагкепия !2) примет тогда вид (О) или через уч и у,— гИгзг гозУ,— п„зч созУ„=г (О, О, зч! О, О, з,). В частном случае осевого .чуча получим г"(О, О, з,; О, О, з)-...лг,— пг,. Следовательно, (10) можно представить в виде Это соотношение является одной из форм записг( условия Гершеля. Поскольку предгюлагается, что расстояния ог начала координат малы, то на основании формулы Максвелла (4хй52) найдем н тогда условие Гершеля можно аапнсать следующим образом: л,Нз(п з — -л,у,згп з .
тэ (14) (10) Если это успение выполнено, то любой элемент оси, расположенный вблизи Ом будет резко отобрюкаться пу'!ком лучей независимо от величины его углового расхождения. Необходимо отметить, что условие синусов и условие Гершеля могут удовлетворя!ься одновременно лишь в слу ше у,— уч. Тогда р,/у,= грг„=- =лУл„т.
е. продольное и поперечное увеличения равны опюшецню показателей преломления среды в пространствс прсдмста н в пространство изображения. 168 СЕОМЕТРИЧЕСККЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ЯЗОЕРАЖЩ»яй 6 4.6. Астнгматические пучки лучей Прямолинейные лучи, имеющие общую точку, образуют тйк называемый еамоцентричеекий пучок. Волновые фронты в этом случае имеют внд сферических поверхностей, центры которых находятся в тачке пересечения лучей. В предыдьщих разделах мы изучали именно такие пучки.
Обычно после преломления или отражения лучей их гомоцентричность нарушается. Пгжтому целесообразно исследовать свойства пучков прямолинейных лучей более общего типа. 4.6.1. Фокалысые свонства тонкого пучка. Пусть 8-. один из волновык фронтов пучка прямолинейных лучей, а Р— произвольная точка на ием (рсзо. 4.20). Рассмотрим плоскость, праходяс»чуя! через луч н точке Р, н обозначпм крывую пересечения этой плоснастп с 5 через С.
Поскольку лучи пучка РР Рне. 4.2а Тонннй пучок лучей. нормальны к поверхности В, центр круга кривизны в точке Р расположен на луче, проходящем через эту точку. Если теперь поворачивать рассматриваемую плоскость вокруг луча, то кривая С, а следовательно, и радиус кривизны будут изменяться испрсрывным образом.
При повороте плоскости на !80' величина радиуса кривизны пройдет через сваи максимальное и мннималыюе значения. С помощью простых геометрических рассуждений можно показать *), что две плоскости, в которых лежат ыаксимальный н минимальный радиусы кривизны, взаимно перпендикулярны. Эгн плоскости называются главными пласкостяли *') для точка Р, а соответствующие радиусы — гланиыии радиусами кривич«»сы. Кривые на поверхности 5, касающиеся во всех своих точках главных плоскостей, образуют два взаиьсно ортюгональных семейства кривых, называемых лилиями кривизне«. В нервом п)пчблнжении две нормали к поверхности в смежных ее точках, вообще говоря, не пересекаются.
Однако если эти точки находится на линии кривизны, то нормали пересекаются н тачка их персссчсния сну>кит фокусом кангрузнцин, образованной нормалями (лучамп). Следовательно, и согласии с общими вывадамн п. 3.2.3 на кажа«»й нормали имеются два фокуса, которые являются главными центрами кривизны.
!1оэтому каустическая поверхность пучка прямолинейных лучей состоит в общем случае из двух листов и служит зоол»отой вол наных ф!щитов; волновые фронты в сваю очередь являю гся эволоеенпчи»«и каустической паверхнащн, Есин ившавые фронты представляя»т собой поверхности вращения, то один лист каустической павсрхности вырождается в отрезок оси вращения, а другой становится поверхностью вращения, меридианальное сечеияе которой являещя эволютой меридианального сечения волнового фронта. Рассмотрим тонкий пучок лучей, пересекающих элемент д3 волнового фронта, В качестве границы элемента д3 удобно выбрать две пары линни кривизны, которые можно считать отрезками дуг окружностей.
Два из аих ') нм., наорнчег, )ЗЯ!. "') Термнны «главные нз«скостя» н «факельные нлоекоотн» нмезот злесь другой смысл, чеы арн нзучеанн нроектнвных нреобрззоввннй, рассмотренных в 4 4.3. 9 4.6) еатягмнтнческин пучки лучей 169 (Р Р, и Р Р ) направлены по вертикали, а два других (Р Р, н Р Р ) — пагориэонтали (см. рис. 4.20).
Все лучи, прохадяшис через дугу Р,Р„, пересекутся (с точностью до членов первого порядка малости) в фокусе Рсь н лучи, проходящие через РЄ— в фокУсе Рео Линна )', саединаюшаа Рм и Рьч, называетсл фака,и пои линией пУчка и, как видно из чертежа, лежит в горизонтальной пласкаста. Лучам, проходящим через Р,Р.
н Р,Р„соответствует вертикальная фокальиая линия 1. Если провести линии кривизны через любую точку на д5, то саслтвегствующие им фокусы окажутся на двух фокальных линиях, и наоборот. Таким образом, ирибллтлссннал модель тонкого лучка лучей ею щчаеаил лулгелс соединения всех лар лычек на доул: взи. инно оргггагональиьлх отрезках линий. 1 Луч 1, проходящий через центральную точку Р, называется йгнт)латньыч (или глианмм) лучин пучка, а расстояние между фокальными лнннязни измеренное вдоль этого луча,— агтиг,иатичггкои ривнсмнгьга иуч- т кн. Две плоскости.
проходящие через 1', 1 н Р, 1, называются факальнини илоскостями пучка: эгп плоскости перпендикулярны друг к другу. Однако фокальные линии пе обязательно перпендикулярны к цен. тральному лучу (как часто нснсрпо утиерждается в р' ргь гримггич литературе).
Рассмотрим, например, семейстио полно- Рос. 4 з~ Факельные левых фро~гтов, обладающих цилиндрической с иммет. нне ео:оюеого фооете с рней относительна общей оси (рис. 4.21). Пусть й5— элемент поверхности (не садгржанпгп осев)ю точку) одного из волновых фронтов, а йз — участок кривой пересечения дЬ' с плоскостью, проходящей через ась. Тогда ясно, что фокальпая линия )а центре кривизны К элемента кривой даортогональна этой плоскости. Другая факельная линия 1' соападаег с отрезком оси, ограниченным нормалями.к концам дз. В общем случае эта фекальная линни не ортогональна 1. 4.6.2.
Преломление тонкого пучка. Было показано, что тонкий пучок лучей полностью характеризуется своим центральным лучом и двумя свонмн 1, гг л ге Рнс. 4 дц Преломление тонкого астнгмегнчеснто аучна лучей. фокальными линиямн. Предположим, что такой пу юк падает на преломляющую поверхность. Определим центральный луч н бюкальные линии преломленного пучка. Рассмотрим случай, имеющей большое практическое значение, с именно случай совпадения одной нз гланных плоскостей падающего пучка а главной плоскостью кривизны преломляющей поверхности в точке О, в которой се пересекает центральный луч (рис. 4.22).
Выберем декартову систему ксюрдинат с началом в точке О, осью г, направленной по нормали к поверхности Т, и осими х и у, иапрапленнымн цо главным линиям кривизны поперхности Т. Далее, пусть О, н О, — углы, образованные центральными лучами 1, и 1е двух пучков и осью г, Р„и Г,— фокусы падающего пучка, расположенные со- (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
