Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Выберем па одной из ортогональных поверхностей,У(», у, е) = сапа! систему криволинейных координат и, с Иеждои точке !3 (и, о) на этой повсрхности соотвстсгвтет адпа кривая конгруэнцнн, з именно о кривая, пересекаюп»ая дан- Нроеос соре»со»нос. ную поверхнопгь и точке б) сссгру »слои (лугу Пусть г — радиус-нектор точки — и =еоссг Р, расположенной ва такой о = сосет кривая Величин» г можно рассматривать как функци~о Пссергсостс о =-солоу координат(и, о) н данны!!)щи ркс. зв к вмдеккм покятия ноРмальной венгру. знаки ной вдоль кривои (рис 3 9). Рзссмотрим две соседние кривые нз конгруэиции, пересекающие поверхность еу —. соп ! н тгмках (и, о) н (и + йи, и -г йо), и выясним, имеются лп на этих кривых такие тачки, !»ассгаянис мсжлу которызпз второго нлн более высокого порядка малости (говорят, чго крнвыс в таких точках кяпаз пересечение первого порядка) Точки подобного типа называ~отся фокусачи и удовлетворяют уравнению г (и, о, 5) = — Г (и —,е!и, о+йо, 3+йз) (24) с точностью до членов второго порядка малости.
Разлагая (24) в ряд, получим г„йи+ г, йп+ в йх = О, (26) где г„ г — частные производные по и и о. Из условия (25) следует, что г„ гч н в компланарны. Это квнвалептно утверждению, что смешанное произведение этих трех векторов равно нута, т. е. 1г„, г, 5) = О. (26) Число фокусок на даяния кпевай ззкнснт от числа зпачспнй з, удовлетворяющих уравнению (26) Если г есть полкном по з степени т, та, посьолысу а = йггйз, (26) является уравнением относительно з степени Згп — 1. В чесгяости, если конгруэнпия пряьюлинейна. то г — линейная функция»(т.=. !), и, следовательно, на каждая луче прмм~ .шлейной конгрусля ли пищат ч дои грохала.
Если величины и и и принимаюг все возможные значения, то фокусы образу)от поверхность, которая опнсывасгся уравнение»» (26) и назьщеется фокильнсй лоьтр»носпию, в оптике ана навываегся киустическ~ой тмеркксетио Любая кпнвая данной конгруэнцнн касается фокальной поверхности в кюьдо» снося фоканов 1!лоскость, касающаяся фокольнои позер»ности в какой-лноо сс точкс, называется фокалтсзой плоскостью В дальнекчк ч чы б»дем к оснокнам изучать повеление лз чей в олнородной среде, т е рассматривать лишь прямолинейные копгруэнцнн В 6 1 6 при рассмотрении астигматическпх пучков лучеи мы обсудим и некоторые другие свойства таких конгруэндий. 6 3.3.
Другие основные теоремы геометрической оптики С помощью соотношений, полученных выше, выведем несколько теорем о поведен1ш з» ~ей г валновь х фровгов 3.3.1. Интегральный инвариант Лагранжа. Сначала предположим, что показатель преломления и является непрерывной функцией координат. Тогда, ) для Салье водроеаого озвакоклеиаа теаркеа ковгруэаций хравих ск, ваприкер, !22!. (гл. 3 Основы ГЯОметРическОЙ Оптики 13О если применить теорему Стокса к интегралу от нормальной компоненты го1 пз, взятому по любой открытой поверхности, получнм (как и при выводе (3.2.16)) ф й=3, (1) Интегрирование здесь проводится по заики)гому контуру С, ограничивающему укаьэнную поверхность. Полученное соотношение называется интегральным инвариантом Лагранжа ь) и означает, что интеграл Т э, ~ лз йг, (2) э, взятый между любыми двумя то псами полл Р, и Р„ нв зависит от пути интггрир>мини».
С помощью закона преломления легко показать, лг что формула (1) остается справедливой, если контур С пересекает поверхностьч разделяющую две однородные среды с разными показателями прелом- Р»п 3 !О К эь>ппт пкп:Г- !ы>ьпщ> п»эпрпэптэлптрпп- .>ения. Пля доказательства положим, что контур мп прп >ы»пчпп ! >)гпхппн С разделяется на части С, и С> расположенные по ппьэпт>щп преломления пп- разные стороны от преломлявшей повсрх!юсти Т асах»пеги разрыва.
(рис 3 рд, а точки пересечения контура С с по- верхностью Т соединены другой кривой К, лежащей па этой поверхности. Применяя (1) к обоим контураы С,К и СЕКИ складывая полученные уравнения, имее! '1 и з,.йг-(- 1 и з, йг+ ) (п>з> — и з ) йг = О. (3) Интеграл вдоль К равен нулю, поскольку вектор 3) = п,з,— п,з,. согласно закону преломления, нормален поверхности Т в любой точке крнвой К, и, следовгаельно выражение (3) сводится к (1). 3.3.2. Принцип Ферма Принцип Фгриа, ихвссгпый также как принэип миикратчаишего иптичгсыео пути "ь), утверж1>эиг, что этническая длина (4) реального луча между любыми двумя то~коми Р, и Р, короче ошпичгской длины любой другой кривой, соединя>ои(ей эти тюки и леэгаилейв некоторой регулярной окрестности луча Под регулярнои окрестностью понимается область, которую моя!по заполнить лучамн таким образоч, что через каждхю ее точху будет ороходить один (и только один) луч. Напр»чер, такой областью я»ляется та часть просэрансгна, кстгор!ю заполняют л) п> о! точечного исгочнпка Р„где этн лучи (нз-за пречомлення, отражения пэи из-з» своеи кривизны) пе пересекаются.
Пре»оте чем доказывать э>о, необходимо отметить, >то принцип Ферма можно сфорчулнрокать я несколько ннои, более слабой форме, прнменичой, Однако, н более широкой области. Согласна даинои формулировке реальный *) Иногда этп пыэ>жппх япэ»>пьют п щпрпюпппм »уппщэс Фп>тп>пьхн ппп пппяптпя жмь чапо>ьп> пдчпмерпым Г и! Чьем >прпэхп более общих пптп>рээьпых пэппрпэптэп, рассмотренных Пэппь т !28, 291 Кч тэпэ>е пгэпп:пеппе 1, урапаеппе (85). *") Ис>ьпльпу пп !3 ! 271 следует, чтп Р, л =.~щ, Р, сгп вазыаппп также прппкпппм пппмгпьщг>п пр>мппп, ф 323! диугни основные тдоедмы гкамктгичкскай оптики 133 Чтобы пватн кривые, дли которых ннтогрзл имсог стдцновзр~гос зивчепис, иеобхози«нт в обжгч глучве пРименить ьичоды езритпиопного исчяоясняя, оппсзнпыс е прн.южевии 1.
Тзм покзззно. что коордвнзты твкик кривых удовяетвприют днфферег«пизльпьг г урввпенняч Эйлера (см. (7) притожсив» 1). В кзшеч слуге* его просто урзвиекия лучеп' 13.2.21, что иокззино в и. П приложения 1. Кзрз~еодоргг !2! подгжркнввл, что ствционвриое значение ннкоглз не является ноткиным мзксичумом. Поэтому во второй, более слабой формулировке прмнципз Ферме пеобходимо гововть о стзцкоизрном, з не зкстремяльном «нзчевни.
бгхгьтыой же формулировке принпипз соответствует «снльвый ыииимум в смысле 51коби (сч. приложе- бм ние 1, п. 10). Для доказательства принципа Ферма рассмотрим пучок лучей н сравним оптические длины отрезка Р,Р, луча С и произвольной кривой С, саедипякгщей точки Р, и Р„(рис. 3.1!). Пусть два соседних волновых фронта пучка пересекают С в точках ()т и (ую а С вЂ” в точках 9, и 9ю Лалее обозначим через (), точку пересечения волнового рвц 3.1!.
К докзззтедьству ирннципв фРонга Оз() с ЛУчом С', пРоходишим . Ферми. через то тку (гт. Прнмекяя интегральное соотношение Лаграннса к маленькому треугольнику ()тОз();, получим (из ° туг) д, д + (зги ° г) г) д, д ' — (и г(з) д д ' = О. (б) Из определения скалярного произведения следует, что (ла сй)д,ш . "(пг(л)д,дм 7(злее, вектор з перпендикулярен к с(г на им!новом фронте, н поэтому (ла с)г)д,д',—.--О. Поскольку ()„()', и От, Оз являются соответствующими точками на днух волновых фронтах, находим, согласно (3.1.2б), (л г(з)д,д',= (п«(з)д,д,.
Применяя в соотношении (б) последние три выражения, получим (л г(з)д,д, ( (их(з)д,д, и после интегрирования— (б) ) из(з ~ (~ я г(з. (7) с Кроме тога, знак равенства можно ставить лишь в том случае, если направленая з и Щ совггадают в каждой тачкс кривой С, т. с.
если ока нвляегся реальным лучом. Однако такой случай исключен нашим предположением, что через казкдую точку окрестности проходит только один луч. Следоаателыю, оптическая длина луча меньше оптической длины произвольной кривой С, т. е. принпип Ферма доказан. Легко иоиазатвч что в случае невыполнения условия регулярности оптическая длина луча может оказаться не минимальной. Рассмотрим, например, поле лучей от точечного источника Р, в однородной среде, отраженных плоским зеркалом (рис. 3.12). Через любую точку Р, в этом случае проходят два луча; оптическая длина прямого луча Р,Р, является абсолютно минимальной, тогда луч отличается от остальных кривых (не обязательно лежащих н рсгулнрпой окрестности) тем, что соответствующий ему интегрз.! (4) имеет ппгачионпрное змо ми из.
(гл. 3 основы гном>тгнчесной онтнкп (ЗЗ ьак оптическая длина отраженного луча Р,МР, минимальна лишь по отиошеншо к оптическим,ччпнзч кривых, лежащих в некоторой ограниченной окрест>юстп луча. В общем случае, сели лучи от >очечно>о пс>оч >она Р, ~>рг.>отоппотся илн отражаются нз поверхностях раздела однородных сред, го регулярная область окюшпвается иа огибающей (катстике) совокупности лучей Точке Р;, в которой луч от точе пюго ксточника Р, касается огибающей, называется точкой, сопрлзтенлой точке Р, на данном луче.
Для того чтобы оптическая рес 3 >ц поде я>>ен. образующихся нрн отраже- длина луча Р,Рг — была мининнн сеетз точечного >еточннхз от плоского зернззз. мальвой точка Р должна ле жать между Р, н Р;, т. с. точки Р, н Р, должны лежать по одйу сторону ог каустикп. Например, н слу:ае нескорре>тгировзпной Линзы (рис, 3.13) центральный луч от Р, нл>ест чинил>альн>ю оптнческтю длину лишь до кончина каустикн Р; (гауссоно изображение >т>чки Р,) Длы .п»б>о> чоыкн Р„лежащей за огибающей, о>пнческан длина прсжого пттп Р,Р,Р, превышает оптнческун> л.>ни) ломаного пути Р>АВР,.
З.З.З. Теорема Рйалюса и Дюпина н некоторые другие связанные с ней теоремы. Сне>оные лучи были определены как траектории, ортогональные к волновым поверхностям 1)>(х, р, з) = = сопз1, где,У вЂ” решение урав- А д ненни эпконала (3 1 15) Такое апреле.>синс естественно при выводе законов >гоню >ической К > я оптики из уравнений >й>(аксвелла.
Однако исторически геомст- Зйцз>нхп ричсская оптика развивалась как Рне 3 >3 Кзустнез, обрззоозонея лучами от то- >сория световых .>)чей опредс- чечното источника, рзснояоженното нз осн, нонне лепных по-другому, з именно как нх прохОждения через линзу. кривых, для которых криволинейные интегралы 1 л>(з имеют стационарные значения. Геометрическую оптику, сформулированюю таким образом, можно развивать далее, только используя аппарат вариацнопного исчисления *). Варнзцнонный метод играет в физике очень важную роль, так как он часто раскрывает аналогии ткжду ее различными областями. В частности, су>цествует >лубоьая аналогкя тю кду геомс>рической оптикой и механикой движущейся частнпы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
