Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(23) Соотношение (23) выражает погашение падающей вог!ны Еш Аше-ы! в любой точке внутри среды, возникающее вследствие внтерференцин с частью пола диполей Г!адаю!цая волна заменяется другоп, а именно волной вида Е' =-.— Р= —.(и' — 1)е%е '"'=- — (л'+2) йЯе ™ 1 1 (24) которая распространяется вн)три среды со скоростью сlп. Величина и выражается в (22) через концентрацию !У н поляриэуемосгь сг. В этом выражение мы узнаем фопидлд Лорел!пц — Лоренца, нзеденнун! предварительно н и. 2 3.3. Нужно отметить, что погашение падающей волны осуществляется исключительно диполями, расположеннымя на транш!с среды, а гюлчризация Р возникает только вследствие взаимодействия соседних диполей.
В принципе общее решение интегро-дифференциального уравнения (23) можно получить, привели его к системе двух связанных интегральных уравнений Фредгольма для ь) я 3(12)ч' нн поверхности. Тогда величину 0 в любой тачке внутри среды можно получать, решая уравнение (10) прн условии„ что (~ принимает указанные значения па границе. Это нетрудна сделать обычными методами, используя функции Грина или интегральную формулу Гельмгсшьца — Кирхгофа (см, уравнение (3.3Л)) электгомагиятвме потенциалы в вовке мания [тл, 2 НО Мы лолжны теперь связать эффективное поле Е' с обычным полем Е теории Максвелла.
Для этого запишем два определения электрического смещения О, а именно О= Е=-л'Е (25а) н 0 Е+ 4яР. (256) Исключая нз них О, найдем (26) Теперь из (3) и (22) получим чя л'+3 Е'= — Р= — — Р Лв З л' — 1 и, следовательно. используя (26), имеем вя Е'=Е+ — Р, з (27) что согласуется с (2.3.12). Наконец, из (26) и (9) следует, что поле Е внутри среды (л~1) задастом формулой Е = 4я/г[4)е '"'. (28) Для нахождения электрического поля ане среды мы должны вернуться к уравнению (4). Интегралы, входящие в уравнения (4) и (5), теперь берутся по всей среде, так что опсратор го1 го1 можно вынести из-под знака соотвещтвующего интеграла.
Далее, так как вне среды 0 — Е. то Р ==. О и, следовательно, согласно (27), мы формально получим Е'.— - Е. Вместо (6) теперь мы находим Е = Еп'.1- Е'", Ео~ 1 1 Р(г', г — йы) 11., =го го ) где (29) Для рассматриваемого здесь случая гармонической зависимости ог времени получим, подставляя сюда вырюкение (9) и используя (17) и теорему Грина, соотношение Е~л йше-г г Ак'= ~ 1[(Ч вЂ”,; — б ) у, (30) а (1 — та же функция на поверхности 2, что н раньше. До сих пор мы ззнимались только электрическим полем. Длн нахождения магнитного поля нужна лишь подставить Е' в (о) и взять интеграл.
Это можно сделать методом, ана югнчным приведенному выше, но такая операция сей ~ас несколько проще, так как оператор го1 н (5) можно вынести из-под знака интеграла, что следует из результатов, изложенных в приложении 5. При сравнении получающихся выражений для Н и для Е мы увидим, по найденные решения согласуются с уравнеянямн Максвелла. Мы ие будем приводить здесь этн расчсты, поскольку они давольно просты и не вносят какнх-либо важных новых особенностей. Чрезвычайно интересно отьмтить, что подход, основанный на физическом соображении о том, что поле в среде болсс сстестненно характеризовать поляризацией, чем вектором смещении, очень изяигно, через интегродифференциальгюс уравнение (4), приводит к строгому выводу формулы Лоректц — Лоренца и теоремы погашения.
Этот лющпый метод до сих ппр слабо использовался при. 5 2.41 ннтнгРАльныт уРАВнения дая РАспростРАнрннн чолн [П рзссмотрении более частных проблем "); пример его применения будет дан в гл. 13. 2.4.3. Рассмотрение преломления н отражения плоской волны с помощью теоремы погашения Эвальда — Озеена. Приченвм теперь теоремт погашения Эвальда — Озеена, выраисенную формулой (23), к случаю плоской монохроматнчсской волны. входящей в однородную среду, которая заполняет полупростран. л ство с( О.
Покажем, что из этой теоремы вытекают законы прелоыления и отражения, а также формулы Френеля. гл ЛОУ ПадающУю волнУ ззннипем з фоРме 3 д ' ' л Ен'= Ац'(г) е д, = Ае' ехр. (((йе(г зщ) — тз))), (31) УГ аист где й, = от]с, А'„" — постоянный вектор и зю — единичный вектор в няправлении расппостранения. Выберем ось г так, чтобы она про.
Рнс. 2.4, проннкнозенее нонны з одно, ходила через точку наблюдения р, кото- Родную срезу, Р'ссм"трннеемую нек си- стеме Аинолез. рую мы вначале считаем находящейся внутри среды на расстоянии г от границы В (рис. 2.4). Ось х выбираем так, чтобы вектор зо' лежал в плоскости хз. Следовательно, обозначая угол падения через О„мы получим з)о= — з1пб„Ею=О. 4'=- — созйг. (32) В соответствии с результатами предыдущего раздела, предположим.
что прошедшая волна имеет ту же частоту, что н падающая, но другую скорость с]п, где л выражается через по.чяризуемость и плотность с помощью формулы Лорентц — Лоренца. В качестве пробного решения для прошедшей волны выберем плоскую волну, распространяющуюся в направлении единичного вектора зн', который, по предположению, лежит в плоскости хх: з)о.= — з(п О„з!Рн =-О, зю = — сон ОР (33) Тогда выражение (28) примет вид Š— )лле0е-' '= 4пде0, ехр (! 1])оп(г.з">) — ю() ), (34) где О,— постоянныр вектор, который, согласно (11), ортогонален Фо. рещение интегро-дифференциального уравнения легко получить, если рас.
сматривать лишь точки ваблюдения д, отстоящие от границы а =О иа расстояниях, больспих по сравненизо с длиной волны, т. с. если 2лг!Х ==л„г)) 1. (35) Это условие наложено лишь для упрощения расчетов н не соответствует ограничению физической обоснованности ннтегро-дифференпиального уравнения. Производные, входящие в интеграл по 2, теперь имеют вид — = —,(2, ехр((лй,(г' з'о)) =(л/г, ( —, ° з'и) О, ехр ((л]те (г' зш)), (Зба) дп(Д] д АРАЛ, дй / — — — =(й —,6~1+ — ). ду' 'от' И еду' 'з Ее[(! ' (Збб) Последним членом в (Збб) можно пренебречь из-за условия (Зб), и интеграл, *] Этот метод был орнменен к исследоееняю распространении знектрамагннтных золя через слаястую среду з работе [231. злектгонлгнитюэч потанциллм н полягизлция [гл.
2 112 вхадяшнй в (23), записываетси следуюшим образом (37) Компоненты векторов г, г' н К равны (см. рис. 2 4) г: О, О, — г, ((: — х', — у', — г, следовательно )с=1 х +Ц +г, Г'.э = — х з!пйг д5( г дг' дч' дч' — ° гш = Ф ' = — соэ Оь Интеграл (37) после подстановки прцмег внд >=-54.0, ~ ) Н ! я+лсоэОс) ехр(!й,(5! — пх'эгп05))г(х'г(я'. ! Гг (38) (39) Удобно ввести угол е и соотвнгствуюпгнй единичный вектор з, определяемые выражениями л з(п Ог = з!п гр, э = — э!по, 3 =О, э»= — сггэяг (40) (41) — — — п(х), рг) ехр (О!ч((х'„рг)). (42) Здесь (хг, рг) — точки в области интегрирования В, для которых 1 постоянна, "г=( *) ' (5'=( *) ' уг=~дг,д ') (43а) -1-! когда огрг) т), а ) О, ) о =- — 1, когда ггг()г ) у',, аг с, О, \ — г', когда и (5 < у' / (43б) Если использовать соотношения (40) и (41), то в данном случае мы получим я= — ( — + — соя О,), )=но — х'з(по, г эгчэ Р (,н эша, (44) и, следовательно, д! к' — — — э!и гр, дх' )Г„г+„г+ г д) г' дк )Г г,г Так как, по предположению, Фм велико по сравненикг с единицей, показатель степени экспонешшальпого члена в (39! также велик оо сравнению с единицей и этот член бгудст быстро осциллировать н много раз менять эвак, когда точка (х', у') будет пробегать область интегрирования.
Прн таких условиях хорошее приближение к значению Л получается путем применения следующей формулы, которая является следствием принципа стационарной «азы [см. приложение 3): Ц йг(х', у') ехр [!Л,! (х', у')) г(х' г(д'— о элзктгоивгнитиыз поткпцивлы я поляюизвцня (гл. 2 114 (55а) (56) и ! мп (Н; — Ою) сюв(0,— Н,) 12(0,— О,) сюв Ою ю)п Ню " 1И (О;+Ою) (616) Соотпошеююия (61) совпадают с формулами Френеля'длл отравления (1,5,2! з). Уравнение (50) связывает амплитуды падающей волны (3!) и прошедшей волны (34). Обозначая амплитуду (векторную) прошедшей волны через Т„ Тю 4пйю(]ю (53) и раскрывая тройное векторное произведение, получим вместо (50) (о4) Пусть Ах, А ю и Тх, Тю — составляюащие А)Р и Т, в направлениях, перпендику- лярном и параллельном плоскости падения. Тогда, вспоминая, что вектор Ап' ортогонален з'ю', з Т„ортоганален зп' и что з'и и з'ю' составляют друг с другоюк угол (О,— 61), найдем из (54) Л = ' и""'+ — ""Т, 2 спв Ню ип Ню Л (55бг 2 саю Ню Мп Ою В этик соотношениях мы узнаем формулы Френеля длл преломления (см, (] а 20а)) Наконеп, рассмотрим случай, когда тачка наблюдения находится вне среды (в~ О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
