Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 183
Текст из файла (страница 183)
Важную роль будут играть точки, в которых ~1г л! (8) Они называются седлозмлгл точками, потпму что в ннх вещественная и мнимая части )(г) стационврны иа комплексной плоскости, не будучи нн абсолютными максимумами, ии абсолютпымн минимумами *). Если теперь представить 1"(з) в виде 1(з) =и(х, у)+!о(х, р), (9» то лез ко показать с помощью соотношений Коши — Ргэмана, что вдоль любого пути о(х, у) =- с<эпз! скорость изменения м(х, р) обращается в нуль лишь в седловой точке.
)Тругими словами, и(х, р) строго монотонна пдоль пути о(х, я) = =. сопя(, не проходящего через седловую точку, а вдоль пути о(х, у) =-сопз(, проходящсго через одну или несю>лько ссдловых точек, и(х, р) строго монотонна между сосекнилш селлозымя точками, а также между крайнимя седловыми точками и соответствующими концами пути интегрирования. Лля любой точки направлеяис, вдоль которого и(х„у) спадает быстрее всего, совпадает с направлением, вдоль которого о(х, у) = сопз(, и в этом смысле такие пути называклся путями наибыстргбиызо спуски.
Если функция ('(з) однозначна или превращена в однозначную с помощью разреза, то нз произвольной точка (х„ рй всегда можво выбрать такой путь шпегрироваиия о(х, у) = о(хм у,), который вспрерывсп в направлении уменьшения и(х, у) я заканчивается либо на бесконечности, либо н особой точке. Легко показать, что единственными точками (не счиэ ая особых точек), где путь о(г, у) —. гопз1 может разветвляться, явля!отса точки, в которых юг=О; таким образо"л, сели путь о(х, р) =- =. о(хм л,), вдоль которого и (х, р) спадает. был начат правильно, то в дальнейшем можно ис беспокоиться о наличии другого пути, пока ие встретится седловая точка, из которой имен~си по крайнев мере одно направление спадания и(», «) Г!редположнм теперь, что иоицевымн точками заданного пути интегрирования в (1) слулгат А и В и что можно найти пути наибыстрейшего спуска ст А и В до бесконечности.
Если оба пути оканчиваются на бесконечностн в од. ной н тпй же области сходкмости интеграла, то процедуру можно считать завершенной; олнзко если они оканчиваются в разных областях сходимостк, то ") Вегдествеввзв а мвамзя части аиалятяческай фуякцвя ве имеют абсолютвых максимумов я мяявмтмсв аа камвлевевой аласкаств. 690 пгиложкнкя Тогда (1) примет вид — 2ехр (йу'(г<)1 ') л< реха(' — йр')<(р. э Лля получении первого члена асимптагячеспого разложения (П) надо знать величину рй(г)У('(г) нрн р =0 (г =г,).
Легко показать, что эта величина равна Л(г<)Д' — 27" (г„), если д(г<) не стремится к бесконечности, а 7" (- )ч 0< анак корня выб>прае>си в каждан о>пел<,иом случае особо. Тогда искомый первый член разложения имеет вид я ехр (йу (г„>1 й (г<) 27 <г„) < у < (12) Необходимо сделать несколько замечаний относительно случаев, когда приближение (12) исжхжаточна или несправедливо. Полное асимптотическое разложение получается, конечно, еслн разложить )<у(г)<)'(.) в степенной ряд по р. а затем почленио проинтегрировать (11). Как видно из (7), степень й в первоы члене асныптотического разложения определяется гтспешю р, с кот<>рай начинаетси разлажюгле о ряд рп(г)у<" (г). Если первый член такого ряда равен Ар г, гдв р(1, что обеспечивает сходимасть интеграла, то первый ") Вазмоз<зы, конечно, случаэ, когда и(х, у) достигает вэибольюю'о змачецая ка кэсколькцх гугцч знтегрцровзцця.
*') «: рого говоря, цдцбочее рэсврсстрдиеммым является слу <ай', когда цугь мнтегрмраэзцкэ изчкцаетсэ м окгдчмэзе<сц ца бесцоэзюасти, д и(г, у) сначала моно<эцио нарастает от — <ч до мзксамучч в сед<омой тцчкс, э юмы кмис>цццц <падает до — м. В этом случы зыражэцме (<2) мс<лкодцмо уицэз<мгь цэ 2, одццкч ддм цдюзд целей удобвсц еыбрэть дуть, вачкцаююнйсц в с<лловой точке.
Пцскодьку случаи, э которых путь иэтегрирацзццэ эачанас<ся в седлавой точке цлц црохадцт мерю иег, сто<в расцрссграйенкы, из<ел кзцбысгрейюг<а сцу<кэ ммогда называют мгэюдэм <гдлэвэа юэчкц. последние нужно соединить ил<г путем о(х, у) = сопз), вдоль которого скариот изменения и(х, й) меняет знак толька адин раз (в седлоиой точке), или в случае необходимости несколькими путями, прохалящимн через промежуточные области на бесконе>ности. Асимптотическое разложение в обобщенном смысле (4) можно получить для каждого из этих различных путей интегрирования, однако правильное асимптотическое разложение походного и<тетрада соответствует пути, яа катарам и(х, у) лос>игает своего наибольшего значения м). Аналогичные замечания спраиедлпвь< и в том случае, когда пути наибыстрейшего спуска оканчпза<отся в особых точках.
Необходима огмстятгч чта в ряде случаев описанный метод ве годится, ио вх исследование <щанов<ггсч возможным при неболыпоы ега видоизменении. Прежде всего отметим, что замена верхнего предела и (5) любым положительным и<слом (ие зависящим ат й) не приводит к изменению аснмптотичсского разложения (7). Слеловательпо. этот случай можно нсследовать, используя путь наибыстрейшего спуска, вдаль которого и(х, у) стремится не к — аа, а к конечному значению. Как и раньше, можно использовать путь а(х, у) = сопз1, иа котором лежит несколько точек, где скорость изменения и(х, й) меняет знак.
Наиболес распространенным случаем, к которому применим ыетод наибыстрейшего спуска, ивляется тот, где путь интсгрирования о(х, у) =.-. сапа( идет от седлово« точки до бесконечности, причем вдоль пего и(х, у) всс время монотонно спадает **). В этом случае легко получается хороню изиестнан Формула для первого члена асимптогического разложения. Положим, что седчовая точка находитсн в г„и произведем в (1) следующую замену пере. пенных: 7(г) =7(г,) — р<. (10) 694 пгнложвиив 3 член асимптотического разложения имеет вид — АГ( ",+ )~ э 2 / дп -зпз 1!3) где — — [! (з )+ ((з )[ — !)зуь = — [((з ) — )(а )! Эго преобразование представляет з и качестве регулярзпзй функппп р, в окрест- ности з, н г, и приводит к асныптотюгескому разложепню, выраженному через интеграл Эйри "') и его первую производную по арг)менту !г().
') ~о сути дела такое поаедеииз обусловлено эзразэомзрэоп схоэиизьтьм. Например, 1 при Э вЂ” ь о величина — стремится либо к 1!Ьа при а Ф О, аиба к 1 при а=о. 1, Эа * ) Роз ьптзпшаз Эяра з оэпорозпьш шшразсьчзэизх тавзен о зиэз бызз абззруягеиз уз з дазио (сч., ззппиыьр, !В)), зо лишь срззпитсльпз иеаззпо был разработав удои.штзорзпзльпмэ метод его использования (см. !Н1). Таким образоль если й(гь) — «оо нли ! (гз) =-О, то ныраженяем (12) ооиьзоваться нельзя и его следует заменить па !13).
В этом случае при я — «оо множитель перед ехр (чг(гз) ) стремится к пулзо ъзедленнее, челю й пь Если д(гь) — -О или !" (гь)- со, то (12) вел1зя считать пригодным, но при й — «со множитель перед ехр (й)(гь)) стремится к нулю быстрее, чем й П . Легко показать, что когда путь интегрирования, являющийся путем наибыстрейшего сп)ока, оканчипается, как и раньше, па бесконечности, по начинаегси ие и сьдловой точке, то в общем случае пеэкспонснпиальная часть н первом члене ж иь«~пггического риз.щжении пропордяоналпна не й и, как в (12), а )г ". Если же величина п(з)'~'(г] имеет особенность или равна нулю в концевой точке, то, как и ранее, степень й зависит от порядка особенности или нуля.
Ло сих пор бызш приведены результаты, получающиеся методом паибыстрейшвго Спуска, для асимптотических разложений в строгом математическом смысле, причем считалось, что величшш й может становиться бесконе шо большой, а остальные парамстры имеют определенные значения, не зависящие от д, Однако бьщо показано, что вяд асимптотпческого разложения зависит от некоторых условий, в частности от того, начинается ли дузь наибыстрейшего спуска в седловой точке или нет.
Иными сдовамп, впд рэзло кения моигет завнссть не только от й, но и от других параметроп, и может резио мепятьсг, когда эти параметры принимают определенные критические зяаченпя ь). Таким образом, для любого данного значения й независимо от того, насколько оно велико, принеденное выше выражение пе дает хорошего шюленного приближения, если значения остальных параметров достаточно близки ь критическим, Следовательно, практически необходимо получить выражении, обеспечивающие плэиный перето Г от однога аснчптотического разложения к другому.
Естественно, что этп выражения представляют собой более сложные функпии й, чем (13), однако имеет слзысл рассмотреть трп случая, которые можно исследовать довольно строго. В кратком обзоре, излагаемом ниже, везде неявно предполагается, по комплеьсност~ всех величин такая же, как и раньше. Предположим сначала, что !" (гз) обращается в нуль. Тогда (!2) служит хорошим приближением лишь для случая больших й, н необходимо оыражепие, с помощью которого можно перейти от 112) к другой форме, пригодной при !" (г,) = О. Погкпльку величина !'*'(г,) близка к нулю, около з„должна существовать вторая седловая то ~ка, скалгем, гь Тогда искомое выражение получается с помощью преобразования 1(з) =- ))р+Т)ь'* «>гиложзния Предположим далее, что разложение рй(г)(>«' (г) в степенной ряд по р имеет радиус сходимости, стремящийся к нулю, так как и(г) обладает простым полюсом, находящимся вблизи седловой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
