Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 184
Текст из файла (страница 184)
Тогда (12) снова служит лишь хорошим приближением для случая болыпих й, и требуется найти выражение, с помощью которого можно перейти от (12) к другой форме, пригодной при совпадении полюса с седловой точкой. Последний случай исследовался многими авторами П2 — 161. Оказалось, что незкспанеяциальиую часть подынтегрального выражения следует представить в виде суммы двух членов, один из которых содержит только полюс, тогда как другой не имеет особенностей. С последним членом обходятся обычным образом, а первый сводится к интегралу Френеля (илн интегралу ошибок) в общем случае от ьаьшлекс>и>го аргумента. Наконец, предположим, что начальная точка пути наибыстрейшего спуска не совпадает с седловой, на приближается к ией весьма близка. Ясно, что в этом случае дпя перехода от одной асимптотической формы к другой снова можно воспользоваться интегралом ошибок П41.
2. Метод стационарной фазы. Метод стационарной фазы отлвчен от метода наибыстрейшего спуска, хотя они и весьма сходны между собой. Метод стационарной фазы менее общий, и его труднее доказать аналитически, но оп часто теснее связан с физической задачсй. Подлежащий исследованию интеграл удобнее записать в виде ~ 8»(г) ехр [Й((г)[ «(г, (14) чем в форме (1), поскольку экспонента обычно описывает бегущую волну. В обозначениях (9) кривая а(к, у) =сонэ( снова оцисываег путь интегрирования; однако в (14), в противоположность методу наибыстрейшего спуска, амплитудная часть экспоненты остается постоянной вдоль этого пути, тогда как фаза меняется с максимальной скоростью.
Можно, как и раньше, показать, что основные вклады в интеграл вносят отрезки пути, лежащие вблизи седловых и концевых точек, однако физическое тазконание этого результата проводится теперь не в терминах спадания амплитуды, а в терминах «фазовай иитерферспц>«и» (см. 2' 8.3). Метод сгацнанарной фазы был впервые использован Кельвином П71. Строгое математическое рассмотрение изложенных вылив утверждений принадле>кит Ватсону П81; аио основано на том, что если О.
ш 1. и — положительная постоянная и полная флуктуаиия функиин />(х) ограиичепа при х~)0, то ') при А-ьса « А ~х 'г" (х)ехр(1/гх)«(х г" (0) Г(гп)ехр( — (лгп), /1 Исследование Ватсова имеет, однако, весьма ограниченное применение. В частности, с его помощью, по-вндилюму, невозможно провести полное аскмптатическое разложение. По.«нас разложение была подробно исследовано в работе Фокке !201 лля случая, когда ((г) — вещественная функция, а путь интегрирования совпадаег с действительной осью. Фокке использовал метод ией>рази»у~ошей функции, предлал«е>шый ранее Вавдер-Карпутом !21!.
Следстаи я, вытекающие из метода стационарной фазы и из метода наибыстрейшегоо спуска, весьма сходны. Так, если путь интегрирования в (!4) начинается в седловай точке г„и уходит в бесконечность адать кривой а(х, и) = сапа!, не встречая другой ссдловай точки, то приближение, соответствующее (12), имеет вид — — й(г,)ехр ! — — (и ) ) 1 . 1ехр(/а/(г,)) 2/' (г») ' 1 4 ,) р— ') Эта« ре»ультат яраизалемзт брамзачу (щ).
пгнложвннв 3 Однако здесь необходимо оть>етнть одно различие между обонл>и методами. При использовании пагода наибыстрейшего спуска с путел> интегрирования, начинающимся в седловой точке и пе уходящим ца бесконечность, вклад в асимптотическое рвало>кение от концевой точки пути оказывается бесконечно малым по сравнению со вкладом от седловои точка, поскольку первый содержит дополнительный экепоненциаг>ь ый множа>ель. Вместе е тем нрн нс>юльзовании ме>ода сшпионарной фазы вклад от концевой точки пути интегрированна равен по порядку величппы вкладу от седловой точки, деленному на йр>ч поэтому он пе входя> в асимптотическое приближение только в том случае, если учитывается липп первьш член разложенпя.
Такам образом, методы наибыстрсйше>о спуска и сгапнонарной фазы (еслн отвлечься от их матемх>ич«ского представления) состоят в выборе такого путз интегрирования, вдоль которого подьштсгральное выражение, содержа>цее экспонепциальный мно>китсл>ь вносит пренебрежимо л>алый вклад в интеграл везде, чв нскл>оченясм окрсстиостсй некоторых кратичщлих тачек, являющихся либо седловымн, либо концевыми точками пути интегрированна. 3. Двойные интегралы. В б 8.3 н 9.
! было показано, что решение задача о дифракцнн электромагнитного поля на отверстии сводится к вычислению двойных интегралов типа )г )г л(х, р) ехр ((й) (х, р)] >(х>(д, (1б) где п(х, р) и г" (х, у) не зависят от й, а область интегрирования определяется отверстием. Ясно, что интеграл (16) сходен с (14), и его приближенное значение ври больших )е можно также получить с помощью аснмптотнческих разложений. Естественно, что теорие асямптотических разложенкй двойн>ех интегралов намного сложнее, чем в случае однократных пнтегралов.
Техника интсгрироаания на ке>мплексной плоскости непосредственно применима лишь дзк однократных интегралов, поэтому представляется, что для вычисления двойных интегралов следует воспользоваться методами, отличными от нзложенных выше. случай, когда г(х, у) является вещественной функцией, подробно исследовался Фокке с помощью нсйтралнзующей функции в работе !201 "); мы уже ссылались на нее в связи с применением этого метода к однократным интегралам. Анатпз показывает, что вклады в асньштотическое разложение вносят лишь области в окрестностях определенных критических лючвк и что прн различных типах таких >гаек ьь) в главных членах соответствующих вкладов появляются разные степени й. Существуют трн типа критических точек.
Исследуем кратко главные члены нх вкладов в асямптотнческое разложение, не учитывая случаев, когда критическая точка принадлежит одновременно к нескольким типам. Арлл>невской точкой первого рада является точка, лежащая в области интегрирования, в которОй — = — =О. д/ д) дл ду (17) Вблизи этой критической точки, скажем в точке (х„, уе), имеем 1(х. У)=~(хе Уь)+ 2 еь(х — х)'+ — 28(У вЂ” Р>Р+Т(х — Х)(Р— У)+..., (18) ! ь 1 где и =- дьг>дхе, () = д>1>дрь, у — -- дь>Чдхду, причем частные производные берутся в точке (ль у,).
Выберем теперь такие новые переменные интегрирования $, ть *) См, темке 122, 22, 23е1. "") кретечеекне те >хе лле двеавмх нм>егрелее уеемввметел в работе !2!1! вх кечеегвеввое ьввчевне для евдьч евтввв егмечеве в статье !241. пгилождння ((х, Р) — -((х., Р.)+ —,иР+ —,, Рч'+УЕЧ. !» ! (19) иянлажеииа з ДЕЛЬТА-ФУНКНИЯ ДИРАКА В настоящем приложении приводится сводка основных свойств дельта. функции " '), которая оказалась полезнон при описании точечных источников, точечных зарядов и т. д. Зщ фуию»яя, используемая особенно часто как в квантовой механике, так н в классической прикладной математике, определястсн с помощью следующих уравнений: б(х)=-0 при х~О, ) б(х)»]х — --!. (16) Очевидно, что б(х) не является функцией в обычном математическом смыс- ) Член, атаяшяй пад корчем, иМеет пресса» гааматрп наказ истолкование.
Ряс»ма»- рнм пазарзяас»ь з- ] !», у). Пусть и, и и» вЂ” глазные радиусы кривизны я К =- ]ЬД»й, — гзуссаяа кряяязяз я какой-либо тач!»с пзшаа паеардпас»я. Тагда (см., «з»»рямзр, 12б]! 0 .,!»з — !»з) (]+]з р]аз)" где ]„=драк, ~»я=»нй ах» и т. л. В крятячзскай тачке перзага,рада !з=(з — — б, ]за=-а я т. д., а папучеяаае выражение пркянмает зяд К =ай — т». ° ») Э»п фуякпзя шюгд» еззмззатся ямпязз»яай фряя»»»»зй. Опа палучяяз широкую яз. а»отпасть пасла апубпякапзяяя рпбшы Дярзяз 126]„~ а а асй зпздя мзтаматдкя я фязякя зпа чя»елька раньше, з аспазяам благодаря разютзм Хзз»юайда (см. 1271].
Тогда искомое асимптотическое приближение интеграла (16) примет внд й(х„у,)ехр (]й((х„у,)1 ') ') ехр ~ — »й(шй'+(]О»+2уй»]))»]й»(Ч= квадратный корень *) во второй строчке выражения (20) берется со знаком плюс, и (+1 прн ш(]>у», а)0, о — — ! прн ш(]>у», ш(0, (21) — при ш(] <у'. Выражение (20) является аналогом асимптотического приближения (!5) для однократного интеграла.
Крит»»чепкин!» топсели ятораго рода служат точки на кривой, ограничи- вающее область интегрирования, в которых ду дз "- О, где з есть элемент дуги гоой кривой. В отличие ет (20), степень й в пеэкспонснциальнов части главного члена соответствующего вклада в асимптотическое разложение равна пе — 1, а — 3(2. Наконец, критичгхкини лючкини третьего рода сл)»жат угловые точки на кривой, ограпнчнва»ошей область пнтегриронання, т. е.
точки, в которых угол наклона кривой терпит разрыв. В этом случае соответствующий множитгшь равен й-'. 595 приложение 4 ле *), поскольку, если функция равна нулю везде, за ггсключейием одной точки, а интеграл от нее существует, то этот интеграл обязательно должен равняться нулкь Рзссмотрим набор функций 6(х, р), которые прц увеличении р отличаются заметно ог нули лишь па все меньшем и меньшем х-и~гтсрвале около начала координат, а их иитеграл д«лугу ,для всех значений р ранев единице; т.
е. ) 6(х, р)дх — - !. (2) Такиьен функциями служат, например, следующие (рис. 8): 6(х, р) = Р - -„- ехй( — Р'хв). (31 -«у — уг -йд ~в р . рв дд «х ]ух Рпс. 8. К определенна дельта-функции Днрнна. гв фн в ауввнвв е(г, вт в в(-в' Ч в н=г. К е Ув и в мен пав нав в ав равна нвнвве. Соблазнитель»о гюпытаться определить дельта- функцию ](ирака как предсл функций (3) при р-ааа; однако следует иметь в виду, что такой предел существунг не прн всех х. Предел же (5) существенно зависит от значений «(х) в окрестности точки х = а, и погрешность, возниггающую прн замене «(х) на «(а), можно сделать прснеорежимо малой, взяв достаточно большое р. Используя загеч (15), получим (5).
Отсюда следует, что умножение непрерынной функции иа 6(х — а) и ггоглейующее ее интегрирование по всем значениям х эквивалентно замене ее аргумента на а. ") Геарцю аельтв-фуннннп нежна «делать нвтенвтннеенн строгай пуген нецанюаввннн нанвтнй рвгнренененнй (еп. книгу Швврцн (Узй. Вацее праетай вариант теарнн Шварца бцн пренгюн ен теппнан (тэ] ь.
анневн в 1гцвге (801. !пп ) 6(х, р)дх нсушествует всегда и равен единице. Буден интерпретировать любую операцию над 6(х) ках операцию лид хатгй-то 6(х, р) из воотввлютвуюи(вга пайяра, налриивр из (3), в ихлвдующп.н нахоасдсниел предела при и — ь аа в хаииг вычис. лепет. Очеввдно, что при такой интерпретации соотношение (!о) выполняется. 5!впый вид функпий 6(х, р) нссущесгвсн при условна, что нх колебания (есг, . оин существу~от) около инчала координат не слитком резки. Важным свойством дельта-функцнн Дирана является следующее: ) «(х) 6 (х — а) дх = «(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
