Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 182
Текст из файла (страница 182)
Это утверждение тем более справедливо длл магнитаыл полей, и дифрзкционпыс эффекты, обусловлеппыс палочном пмспно «гагннтного поля (которых «ю«кис ожидать, исходя из волновых ураняеяий Клейна — ! ардова лл» у«ирака), настолько е«аль» по их невозможно обнаружить в экспериментах са своболньцш электроиамн. Таким образом, в алек~раиной оптике можно, правда, с известными оговорками, о которых будет сказано ниже, нспочьзопать дяфракционную баварию Кпрхгафн (см. й 8.8), смысл которой (в пескагщка обобщенной форме) состоят в глсдующем: 1.
Отмеряя равные оптические пути вдоль лучей, построенных по правилам геометрической оптики, строят волновой фронт ат источника до предмета или прели«сгнил. 11. Если препятствием служит светонепроницаемый эиран, то часть волнового фронта, не совпадающал с ним, считается иевозмущеиной как по фазе, так и по ннтсиспзпосги, а остальная часть — несущсствующсй.
В случае жс частично пропусяаюпгего;жлучеипс препятствия строят па законам геометр»- ческой оптнкп т»асктории лучей, проходящих через него, причем нх изменения по фазе и интепспвпастн определяются комплексным показателем преломления препятствия. Во всех практических приложениях такой подход оказывасгсл справедли»ма, поскольку предметы. с которыми приходимся нь«я» дело, напрнмер в микроскопии. Имеют столь малую толщину, что дифракционными эффектами внутри них можно спокойно пренебречь.
П!. Чтобы вычислить дифракпионныс эффекты в некоторой удаленной тачке, например н оптическом изображении, необходимо яяйг» с ломопгьн~ правил геометрической оптики вклад в эту точку ат каждого элемента волнового фронта, выходящего из предмета или препятствия, и просуммировать иомплекспыс амплитуды с учетом нх коэффициентов наклона. Оппсапяый та»ям обраюм метод Кирхгофа можно без всяких изменений применить к вопросам электронной оптики, если имеются талька электрические поля, в том числе сильные микроскопические паля, обугловленяые юомной структурой твсрдого тела, которые яплшотся в основном электрическими.
Однако прн наличии магнитных полей уже нельзя строить волновые фронты, , отмеряя вдоль траекторий равное число длин волн де Бройля. Как отмечалось выше, волновые фронты прн наличии магнитного поля ортогоналг.ны ие траекториям, а линиям равного полного импульса, или «р-линия«г», которые в рамках геометрической оптики пе имеют простого истолковаюи. В приппипс волновые фронты можно построить, если начать с какога-нибудь за«энного волнового фролта и от«герлз оптические пути вдоль «р л;шшм.
Однако такт лафетах практшческгг почти бесполезен, поскольку оп позволяет поз«учить пе ае«».»«ту»ьк я толы о фазы. Зту трудность можно изб«мазь, если мысленно заменить магнитные линзы эквивалейтиымп пм электрическими, кото!>Же дают такое же изображение, за исключением вращения его как целого и игкоторои вращатсльнои днсторспн изображения. Р!гнорируя подобные специф»чески магнитныс эффекты в лропессе распраст!Пнсния и учптып»п пх ~олька а самом ко»ие, ««ои«»о с почощью метода Кппхгафа получигь результатьк которые справедливы во всех практически встречающихся случаях.
Хотя у электронной и у обы пюй опта ки одинаковое ма тема гп ~еское обоспование, их тсхп»чсские средстня вссьмз различны. В основе развития практической сне~азой о~пики лежала техника ~ила!ргеки и полировки позерхпосгей необходимой формы нз различных прозра шых и отрзжанн~гих т»ердых материалов. В электронной же оптике ке~еетсл только одна среда — электромагнитное ноле. Поэтому в ней всегда возникают трудности прп попытках исправ- пгило»кение 3 ления аберраций, особенно тогда, когда практически невозможно использовать пространственные заряды и токи. В самон начале развития электронной оптики было установлено, что с помощью одних лишь врэщательпо-симметричных полей нельзя создать расссивак»шпс линзы и системы, свободиью от сферической плн хроматической аберраций.
Это привело к созданию систем, не обладкихпих ираигательной сичмегриси, а также систем с искривленнымк оптическимгг осями, почти неизвестных в обычной оптикс. Следовательно, зианпс теории оптических инструментов и принципов их конструкций полезно в электронной оптике только при постановке задач; их практические реп»ения будут силы о отличи~кон от решеннй сгютвегствующих оптических проблем. Тем пе менее очевидно, что «оптическое мышление», основанное па фундаментальной аналогии этих двух областсй физики, оудет так же полезно в будущем, как и в первом двадцатипятилетии зггсктронног»1 оптики. ЛРИЛаяэ»ГГГЕ» МЕТОД АСИМИТОТИЧЕСКИХ ОЦЕИОК ИКТЕ("РАЛОВ Цель нэстояпгего приложения состоит в изложении математического обоснования до известной степени общих методов, используемых в осцоппой части кн ~гг.
п позволяющих получи п асихпжогячсские оценки интсгралои некоторых типои, часто встречающихся при решении гиггическкх задач. 1. Метод наибыстрейшего спуска. Згот метод" ) позволяет получатьасимптотические приближения комплексных интегралов типа ~ й (э) ехр (й1 (е)] г(г (1) при больших значениях К где д(.) и 1(г) ие закисят от й. Сейчас и в дальнейшем мы будем счятатгч что й — вещественная и поло»кнтельная величина. Полученные результаты, вообще говоря, справедливы я при комплексных значениях гг, предварительно скажем несколько слое об асимптотичсских разложениях ф,нкцип комплскснои псременной, например „". Во-первых, согласно Пуанкаре (71, асимптотическое разложение можно определить следующим образом: еглн Е(И=.»., 1 +)(»(ь) (3) =э где при всех п величина ь»Н«(3) стремится к 0 при и — Роо для значений агй ь, лежащих в затаннохг интервале, а а„ио ..., а„— константы, го Р (ь) ик и, -1- — '+ —,' +...; (3) правая чисть (3) называется асимптотическим разложением Е(ь) для заданной области значений агйь.
Если Е(Ь) являетсн частным от деления двух функций, скажем, 6(Ь) и Н(Ь то О(»")ямН(ь) (и«+ —,'+»-1- ° -). Е)еобходихго подчеркнуть, что в дальнейшем будут рассматриваться только такие разложения, которые имеют вид правой части (4) с Н(ь). равной ехр (ай), где и — нская постоянная, ОтцстИМ т«ПЕРЬ НЕКО»ОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ГацйСтяа аенынтОтИЧЕСКИХ РаВЛО, »С- иий **К Если ряд в (3) конечен или сходится прп достаточно больших значе") Разектмя в есновиэм Деээем 161.
"") см., вапремер, 18! еле (з!. птияожеиия ~ Ь (р) ехр ( — )зрз) с(р. (5) а Асимптотическое разложение (5) легко получить; дтя этого функцию Й(р) нужно разложи!ь г, ряд по степеням )ь, з затем почленпо проинтегрировать его. В последней фразе здкщочена сущность.чяддгы Ватт!сони '" ) Пц), которую можно сформулировать следутошим образом. Пусть )г(р)= -„~ с,рбя, ! з=о причел! радиус сходимости этого ряда равен р, величина () вещественна и больше пуля, а зезцсственная часть а меньше единицы. Пусть существует такое исщсствсннос число с(, что вели вша р" ехр( — 4Р))г(р) ограничена при исех вгпсщ ~щ ииыл значениях р, болыпнл р. Тгнль (букиой Г обозпзчаегсй гаыыафункция) выра!кение узр — и+)) ! +сяГ(, ) ар +...) (7) является асимптотическим разложеинсы (5).
*) Длз оозщи чясяия с чстод.ми пычигяеиия яогрсщиостсй гч (б) *') Выбор р' о ажпоисягс, стощасй год иьтг~ри ющ я .ото пг!щои иаи ящбай другой степени р иссущсстаьж чатяая степень уг удобна и том отпо(псгщгь по тозда иптсгряд тяпг Ц) с прсдеааыи ог — го до со можаи преобразовать я интеграл сина (б) с нижним приделом, разным — со *") См. тяпая (З!. (б) виях )~'„ то он является асимптотнческим; однако часто подобные ояды сходятся пе прп всех значениях (ь..'.
)) обшст! случае для задапиои функции Г 'ь) рассматриваемое разложение спрапедлпво только з каком-то определенном диипазоне значений ягц ь, если такое ризложсшзе возможно прн всех значениях агйэ, то оно сходится. Крстьзе того, асимиютичгског разложение загса~и!огз фуикшги Т (ь) в соотпстствующеы диапазоне значении згйг 1 является ел!гнета.иным в том смысле, что коэффициенты в (3) тоже являются едкчсгвенпыт ~!, вместе с тем зк нмпцпичсское разложение литбои функции прсдстанлиет собои, кроме того, разложение дли бесконечного числа функций; например, разло! жение Г(Ь) +е ' соввадает с асимптотическим разложением и" (ь) при т н» 2 ' ! » агд~ < —,л. Асимптотическое разложение произведения двух функций 2 равно произведению пх асимзттотических разложений.
Наконец, интегрируя (3) почлеьпо, можно получить аспуштотичесьоо разложение интеграла от Р(.), а днффгренцпруя почлснно — аснмптотическос разложение производной от Р(';), шли оии суиуегтиуег. В общем случае пон заданном (достаточно большом) значении ) ь ( абсолютные вели шны членов разложения (3) сначала спадают до минимума, а затем нзчнвакут возрастать. Грубо говоря, если суммировать разложение до какогоньбуль чтгна, стоящего перед минимальным, то возни!тающая прн этом ошпбьз ока ке"ся порядка первого неучтенного члена ").
Очевидно, по чсы больше (5 ), .геа! больше достигнутая точность. )3 физических приложениях часто оказывается достаточным учитывать только первый член; например, в теории элсктроыапи гизма ноле излучения источника конечных размеров описывается пгриым членом агимптотнческого разложения полного поля по отрицательныы степеням расстояния до нсточнплз.
Основа тктодз получения асиыптотнческого разложения (1) по отрицательньгя степеням й заключашси и установлении связи ~юлобного разло кения с интегралами вида '") пгиложзниз 3 Для физических приложений желательно, чтобы ж =- О и () =- 1. Как уже отмечалось раисе, первый член в (7) тоже часто дает хорошее приближение. )(ля того чтобы с помощью замены переменной интегрирования интеграл (!) можно было представить в виде одного или нескольких интегралов типа (6), шюбходимо, чтобы путь интегрирования в (1) состоял из отрезков, вдоль к~ггорьгх мнимая часть )(г) остается постоииной, а вещественнан монотонно убывает до — со. Если путь интегрирования ие удовлетворяет этому требованию. его необходимо соответствующим образом деформировать.
Такая процедура подчгшяется, конечно, основным законам интегрирования в комплексной плоскости; здесь будет только показано, каким образом можно замкнуть путь интегрирования с помощью отрезков, обладающих требуемыми свойствами, если предположить, что вычисление любого осчагощегося контурного интеграла можно провести обычным способом.
Сделаем несколько вполне общих замечаний относительно путей интегрирования, вдоль которых мнимая часть функции Г(г) постоянна независимо ог вида самой функции. Иными словамя. укажем способ соединения двух точек па комплексной плоскости. обладающни отмеченным свойством, хотя тгот метод может оказаться нсприголиым, если ((з) имеет особенности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
