Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 177
Текст из файла (страница 177)
Гледаватгьчьно, для дашюго поля 1, величина интеграла 5 пе зависит ат пути интегрирования. 4. Нахохгдеиие всех экстремалей из решения уравнения Гамильтона — Якоби. До сих пор мы рассмагривалн только однапарамегрнческое (ао') семейс-во решений 5(х, и, г) =. сапа! уравнения Гамильтона — Якоби, которое сооы ветствует двухпараметрическому (оай семейству артогопальпых экстремалей. Для получения полного чегырсхпарамстрического (оо') семейства экс~ремалсй необходимо рассматривать четырехпараметрическое (ао') семейство решений 5; последнее можно получить, если поворачивать поверхность Т вЂ” О вокруг какой-нибудь точки и полагать в каждом случае 5(х, у, г) --= 5ь 11редположнм, что мы нашли аполноеь решение 5(х, у, г, а, (5) уравнения (211, содержащее два параметра а и ().
Функцию 5, соответствующую любой пара +(и — и и) г — ахиг -, '(Х вЂ” и) — и+(у' — а) -д —," ~ г(' 127) дя„, дя„) Члены, содержащие (х' — и) и (у' — а), обращаются в нуль, поскольку предпо- лагается, что кривая удовлетворяет соотношению (23). Кроме того, часть чте- нов сокращается, и мы находим (,— ",') -~(т„6+У„8')пг, (28) или, интегрируя по частям, и (.-"),=1( - — -"') "' авалогично можем написать 868 пгиложаикя н из (11) получим с„ дяс, , дп„ да да дяд, , дг 3 5,= Д( — ) ~. +(р — ) —.'3,, д дй) (30) где дг с>дс — '=Р .и„+Р о„—.'=Р и,—;Р о,.
д„с «сс «да сс тс (31) Аналогичные выражения справедливы и для других двух производных. Тасс как величины интегралов (30) пе зависят от пути интегрирования, выражения с(5, = (х' — и) †' + (у' — о) ь, с(5с ††-(х' — и) -~ + (у' — о) †' (32) дя' ддь д' и да являются полными дифференпизламн; таким оГ>разом, величины 5. и 5,— функции только концевых точек Р, н Р„т. е. существуют поверхности, скажем в г а, р) А дд(хон г,а, р> В (33) дсс ' дй опредсляемые постоянными значениями 5, н 5с, здесь А и  — постоянные. Слеаоззтьа>ь>со, соотношения (33) должны быть решениями дифференциальных УРавнений х =-а(х, у г а иа) (34) Отсюда следует, что на поверхностях (33) с(5, = О, с(5 = О, и тогда из (32) вытекает (34)„если соответствующий определитель не равев нулю.
Согласно (31) этот определитель можно записать в впдс дя„ддс дР„дя (Р Р ! )о Первый множитель в правой части равен выражсняю (9), которое, по прелполо>кению, отлично ог нуля. Второй множитель обращается з пуль только в >ех точках, где уравнения (34) не имеют решения для а и (3, другими словами,— з точках, где экстремалн псресекшотся. Если исьлючпть такие случаи, то выражения (34) будут прсдстаплять собой двухпараметрнческпе соо') системы днфференпизльныс уравнений, каждое из которых имеет ос * решений; полная совокупность решений должна совпадать с полным четырехпараметрическим (оо') семейством экстремален. Мы доказалн, чт решения уравнений (33) х=х(г, сс, (3, А, В), у=-у(г, а, (3, А, В) (36) образуют полное четырехпараметрвческое (оо') семейство экстремалей; следовательно, для полученвя полной системы о' экстремалей нз полного решения уравнения Гамильтона — Якоби 5(х, у, г, а, (3) необходимо только, согласно (33) и (36), продифферс нцировать йго и привести подобные члены, аначений а и )3, лсожно представить в виде интеграла (11), не зависящего от п)ти интегрирования при правильном выборе функций и и о, а именно Прн И вЂ” и(Х, у, с, а,(3) П О вЂ” О(Х, у, г, а, (3).
СЛЕдОВатЕЛЬНО, НЕ ТОЛЬКО 5, по и д5>да п д5>д>> не зависят от пути интегрирования. Поскольку Р— .- Р(и(х, у, г, а, )3),о(х, у, г, а. 8), х, у, г), мы вправе написать — =-Рси,+Р,,в„ дд (29) 669 пгилажаниг 1 5. Канонические уравнения Гамильтона. Каждое из уравнений Эйлера (7) является дифференциальным уравнением второго порядка. Ипшпа оказывается удобным заменить ик четырьмя дифференциальными уравнениями первого порядка. Такую замену можно провести многилш снос>абамн. Наиболее симметричный способ лает так называемые канонические уравнения Гамильтона, которые выводятся следукяцим образом. Соотношения (13) рассматриваются как преобразования Лежандра (см.
стр. 139), заменяющие переменаые и, а на (г, 1' (сохраняя х, у, г) и функцию Р(и, а, х, у, г) па В'((7, У, х, У, г), Последнее уравнение (13) мол<на пренс>аиить в виде й =Р— (7 — У, ЯР = г(Р— и г((/ — а сй» вЂ” () г(и — Уг(и (37) тогда 1= ~ (Ф' ((7, У, х, у, г)+х(7+уу)г(г. (41) Если считать теперь (>, У, х, у четырьмя неизвестными функциями г и написать для каждого нз нях уравягкне Эйлера, >о я результате мы пол»чин (4О).
6. Частный случай, когда независимая переменная ие входит явно в но)>интегральное выражение. Случай, когда Р не зависит явно от г, требует отдель- нога расска>трсння. В общем случае для Р(х', у', х, у, г) сдраведливо соотношение лр Ь " 'Рих + Р»»у + Рлх + Р»у + Р»' Предположим теперь, что Р„= О, и подставим в>яражения для Р„и Р„из уравнений Эйлера (7) Тогда ЛР и, л и — =Р„х"-(-Р,У'+х' — Р;+у' — Ру=3-(хР +УР»).
Следовательно, ,~ (Р— х Рч — У Р>') = О и дг т. е. Р— х'Р„ — у'Р„ . сопз1, . (42) Далее г(Р = Рл >й> + Р, г(п+ Р, >(х+ Р» >(У + Р, >(г = (7 г(и + 1' да+ Р» >(х + Р» >(У+ Р, г(г. Следовательно,. >(Я» =- — и г((l — а ~Л/+ Р„а>х 4. Р„г(у Р, г(г. Поскольку )У нужно считать функцией (7, 1', х, у, г, то й»а —.= — и, (У» = — а, й»„= Р„, (Р» = Р», ')Р» = Р,. (38) Если рассматривать теперь кривую х=х(г), у=у(г), котаран удовлетворяет уравнениям х' = и(х, у, г), у' = а(х, у, г), (39) то зтн уравнения совместно с уравнениями Эйлера (7) можно записать в виде х =- — Е ю У'= — )У,, и'=(Р„, (40) Соотношения (4О) представляют собой четыре дифференциальных уравнения первого порядка относительно х, у, Ь', У как функций г и называются каноничгскили ур>ми»ли»ми Гиля»Лик>ни.
Их можно рассматривать как уравнения Эйлера для варяационного интеграла, выраженные через функц.ш> йг((/, У, х, у, г). Если подставить (37) и (39) в (1), то вариацианный интеграл запишется в виде 670 пгилаигвяня Лолученное выражение, равное значению йг на экстремали, не яависит от з; следовательно, )Тг есть постоянная интегрирования. Тот же результат можно непосредственно получить из канонических уравнений (40), так как, есл< Е пе зависит явно от з, величина Гу татке не зависит от г, Тг', = О и — = йрау'+ Ф'г)г'+ йрхх'+ йргу') У = ~ (Š— ЯР) г(з = ~ (х "Е . + У'Е„.) г(з = ~ (Е;+ ~" „Ег )~ г(х.
г, г Если ввести обозначение Е '+ Ег'=г лу лх (45) и исключить х', у' с помощью (44), то 7 станет функпией г(уlг(х, х, у, йт, и мы можсм написать 7=~(ф, х,у,й)б. (46) м Таким образом, для каждого значения )Тг получаегея варнапнонный интеграл с числам параметров, уменьшенным на единицу. (Такой переход соответствует в механике переходу от принпнпа Гамильтона к припишу Мопертюи: см. л (88) ннже).
Если нз уравнения Эйлера, соответствующего (46), определить у(х), то полное семейство энстлг р, ретш.н й получается путем интегрирования (44). 7. Разрывы. Может случаться, что л функшгя Е (и, р, х, у, г) не везде нспрерьгзна. Наиболее важен случай (часта встречающийся в оптикс), кгнзутух)=В да Е претерпевает конечный разрыв на поверхности а(х, у, з) = 0 при всех значениях и н а. Очевидно, что вне втой поверхности экстремали находятся как обычно из решения уравнений Эйлера (7); однако если экстремаль пересекает поверхность, ее направление рсзко меняется (происходит преломление). Будем различать области слева н справа от поверхности, снабжая их соответственно индексами 1 и 2 (рис, 2),.
Рис. В. Иллюсграяяя варяаяяояяого аналога овтяческого закона ярелояленяя. последнее эке выражение обращается в нуль в соответствии с (40). В рассматриваемом счучае трехмерную вариаиианную задачу мшкно свести к двумерной. Будем считать у фупкнией х; тогда у' — - (г)угпх) х' и Е(х', у', х, у)= == Е(х', г(угг)х, х, у). Аналогггчно величины Е,, Ег, и Š— х'Е„, — у'Е„, тоже можно считать функниями х', г)у(бх, х, у. Решение ураинения Š— х'Е; — у'Егг = йг (43) относительно х' имеет вид (44) Рассмотрим теперь все кривые, для которых йг равно некоторому заданному значению; тогда интеграл (1) можно заменить на разность двух интегралов, а именно ПРИЛОЖЕНИЕ 1 671 Для нахождения «закова преломлению выведем условие, при выполнении которого интеграл Гильбсрта В (11), взятый от точки Р„находящейся слева от этой поверхности, до точи~«Р, справа от нес, не зависит от нуги интегрирования.
Рассмотрим дна пути Р,АР, и Р,ВР„гд«А н  — точки на поверхности. Потребуем (обозначения очевидны), чтобы Я(Р,АР,) =- В(Р«ВР«) или В«(Р,А)+ В«(АР ) =-В«(Р В)+В«(ВР ). (47) Для замкнутого контура Р,ЛВРь расположенного слева от поверхности, имееы В«(Р,А)+5«(АВ)+В«(ВР ) =О, (48) а для замкнутого контура Р,ВАР, справа от пеев 5«(РВ)4 В«(ВА)+3«(АР„)=О. (49) Складывая уранненпя (48) и (49) и используя (47) и соотношение Б(Хг) =- — — Б(1'Х), получим В«(АВ) = В, (АВ). (50) Иными словами, интеграл (1!), взятый по любому пути на поверхности о =О, имеет одао н то же значение независимо от того, возьмем ли мы н качестве и, о нечичнны а„о, слева от нашей поверхности или а.„о, справа от нее, Следовательно, в обоих случзях подынтегральные выражения равны между собой, и закан лр«лаллгняя эививалентеи утверждению, что выражснис Р+(х' — ц) Р,+(у' — о) Р, (51) нспрерьшио па поверхности о =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
