Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 179
Текст из файла (страница 179)
Уравнения Эйлера (7), соответствующие (66), имеют вгщ Л их' — Р х' +у' +1 — — — — =О, ду "' Р" Оу'+1 илн (70а) Третье уравнение Эйлера (706) Геометрия Евклида основана на теореме Пифагора, согласно которой элемент длины бз связав со свончи проекпиямн их, бу, нг на оси прямоугольной системы коорлинат соотношением пзх = г(хи + пу~ + па 2. (64) Тогда кратчайшие линии между двумя точками определяются из гшиимума вариационного интеграла 676 пеиложпння следонательно .э п' Р„„Р„„— Р„„=, „, > 0. (1+ к'*+ вы)' Таким образом, каждой экстремали соответствует слабый минимум (см. стр. Г>74), если выполняется условие Якоби (63). Однако, поскольку выпуклость функшгн Р для данных значений к, р, з, т, е, для данного л, напранлена вниз при всех к', р', то из геометрического истолкования условия Вейерштрасса следует, что минимум является сильным. Остается рассмотреть критерий Якоби.
При л =сонэ), т. с. в обычной евклгшовой геометрии, экстрсмали, очевидно, имеют ьид прямых. Так как ПУЧОК ПРЯМЫХ, ПРОХОДНП1НХ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ Ро НЕ ЛЮжвт ИЫЕгЬ гжвбаЮШУЮ, тО кагкдой прямой ляпин соответствует сильный минимум расстояния между любыми двумя точками на этой прямой. В геометрической же оптике, когдз л является в общем случае функцяей к, р, к (непрсрынной нлп разрывной), ггучок лучеи пз точки Р, может иметь огибаюшую (каустическую поверхность). Поэтому при исследовании характера экстремума необходимо в каждом случае отдельно рассматривать такие поверхности.
1уп Првыер 1!. Механика материальных точек. В качестве второго примерз рассмотрим мекнипгу системы иатерггшгьнык точек. Пезавггсггэгой переменной плесь высгупаег время г, а в качестве неизвестных функций — лат)гапжевы хоордииаты д, (а =- 1, 2, ..., л) и их производные, т. е, скорости, и„= йы Варизциоиный' характер задачи определяется принципал Газшльтола ) Е(иы'иы ..., г?„г?э, ..., 1)гу?=-экстремум, (73) (72) ') Урпвггегггге (?бб) мпмггп чплуыш боксе свммэтпччвыгз спаспбом. пгжпнп ппя этого прввсгсп нспазьэпппть зпгшыс урпэпсппс Эйжрп, Кппэхггггэты к, у, г с пггггпггсп фупкппямп ггпгпггэтпп Х; тпгха пслу ыытся трп уравнен ы Запер;г,: пж эппып мсмлу собой гпылпсгвпм, и пэр«(сту Х вдпвтпфпгжруетсп в хенце вппцпь с пере сшшп э, является тождеством, так как оно следует ив соотношения Сй)'+(-"-")'+®'=1 ( ) Для получения (706) можно поступить слсзгую:цим образогн сначата проднф- фереппнруем (7П по з.
Затем уыножим (?1) иа г)гдгЬ, а проднффсренпировапное урапн пие — па л, после чего сложим полученные выражения. И, наконец, используем ') (70а). Три скалярных дифференциальных урзэнсния (70) согла- суются с векгорныи уравнением (3.2.21 для световых лучей, Поскольку (г, )г и )й' характеризуют теперь компоненты лу гевого вектора (см. п. 4.1.4), нз (12) следует, что фуншшя 3, соответствуюшая полю геоыег- рпчсской оптики, является гггогечноп кариюлсрисгликпп Ралпиыгюиа (см.
(4 1, 1) ). Более гого, с помодью процедуры, нспользовавшсися при выводе (21), можно показать, что уравнение Гамильтона — Якоби дтя данной вариационной ва- да ги совпадает с урпвнени,и э1гюналт Для изучения условия У)елгаггдрз (60), необходимо найти производные Р,,„,и т.д. В 'данном случае имеем (1+ хм т Вм) 1+ Ре,д — — л (1-1-к"-1-дм)Ы' ' х'в' 677 приложений 1 Если Е = Т вЂ” Ф, то последнее соотношение принимает внд Н.— э .— '"-Т+Ф. Иэ теоремы Эйлера для однородных функций ') следует.
что "=~" — "~=-~" .— ") и Н сводится к выражению для полной энергии, т. е. Н =Т+Ф. Уравнения Эйлера (7) дают уравпеаия движения Лагранжа и ханонические уравнения (40) принимают ннд де, дн ар„дЕ га др„' Щ дд, ' (78) где Н считается функцией' р, и фи Если Н не зависит от времени й то формула (42) выражает закон сохранения энергии Н=хеи р,— А=сонэ(=Е. (79) В этом случае дифференциальное >равнение Гамильтона — Якоби (81) записывается следующим образом: (78) (77) 'дг+Н(( „— '', у.) =0 Интегрируя его, получим (80! Ь'= — Е(, 5, (д„), где 3, удовлетворяет уравнению Из решения уравнения Гамильтона — Якоби получаем рагкепне для импульсов в ниде дк дл, де, де, ' Ото|ода следует, что линейный интеграл (81) (82) в согласии с (!?) вм.
(83) ) Хр«ей). Р, (84) *) См., зеарммер, 1Гй где Š— лагранжнан. В обычной нерелятивистской механике Е =- Т вЂ” Ф, где Т вЂ” кинетическая энергия, т. с. квадратичная форма цо и„ н Ф вЂ” потснцнальпая энергия; однако условие(?д) справедливо и в более общем случае, когда действует магнитная сила и учитывается релятивистское изменение массы. Функпии Р(и, о, х, у, г) соответствует теперь Ь(и, д, (), и следовательно, (см. (!3)) величинам (?, )) — импульсы р дг. (?4) а величине )Р соответствует — Н, где Н вЂ” гамильтоииал вида Н -- ~ и. — — Е = д~, и „р„— Ь.
дс (75) 878 пеиложкииз (85) Это есть принцип наияеныиеео дейстаоя 7((оперггнои, обобщенный для произиольного лаграижиана (:, его нужно поаимзть слщгуккцим образом: уряннсиие (79) позволяет исключить производные по времени и„дм выражая их через производные, скажем г(4,Щ (о = — 2, .... л), если считать 41 пезанисимой перемшшой, Уравнение (87) выраксает чисто геометрический принцип, который описывает траектории, но не движенпя. Последние можно найти из соотношения (78).
Если Е Т вЂ” гР, то Е Т+Ф, и мы получим первоначальную гуормулу Мопертюи (88) которую следует трактовать таким же образом. Рассмотрение вопросов электрошюй оптики (см. п. 2 приложения 2) служит примером подобного сведения задачи о лвижспии к задаче о траекториях посредством перехода ог принципа Гамильтона к ориипииу Мопертюи. Условие Лежандра можно рассматривать только в слччзе заданного Если Е =- Т вЂ” Ф и Т вЂ” квадратичная форма по и„ то это условие, очевидно, эквивалентно утверждению. что Т вЂ” положительно определенная величина. Тогда условие Вейерщп асса тоже кылолиишся, и имеется сильный мпиим)эь если удовлетворяется условие Якоби. Последнее позволяиг исследовать динамические фоь)сы и каустики, что не представляет большого практического зпачспня. Условие Лежандра для релятивистского электрона с лагранжнаном ~Г 7 )е Еэ~".
,) (.с 'г с (89) (см. приложение 2) дает форму (е)к~ать )р ~, с")+~ с ) (90) квадратичную по компопентаь1 вектора р(5, ть ь), и поэтому оно всегда удов- лспюрястся. ие зависит от пути, соединявшего Р, н Р„и поэтому он равен нулю, если путь интегрирования — замкнутый в односвязной области, т. е.
фр.бд,-О. (85) Если функции р многозначны, то интеграл по замкнутому контуру может не обратиться в нуль, а равняться числу, кратному какомуч(вбъдь постоянному периоду. Най.(ениое соотношение является обобщением оптического ипвариаита Лагранжа (см. и. 3.3,)] и соноадаег с одним из инварианшоа Пуанкаре. Его хюжно также представить в виде др„дрз — =О. дз д9.= ' Если Н не зависит от времени, то переменную ( мозьио исключить из выражения для принш1па минимума с помощью формул (45) и (46).
В результа~е получим и е, 1 = ) (7 +Е)Ш=) ~З ~д„р,г(Г- ) ~~Р~р,г(д„=-экстреыум. (87) 1 Р пгиложвяие 2 679 пгило>хан>се г ОБЫЧНАЯ ОПТИКЛ, ЭЛБКТРОННЛЯ ОПТИКА Н ВОЛНОВАЯ й!ВХЛННКЛ В 1831 г. Вильям Гамильтон обнаружил аиалогвю между траекториями материальных частиц в потенциальных полях н траекториями световых лучсй в средах с непрерывно измепясощпмся показателем притомленна. Благодаря своему матсматячсскому изяществу шяал»>ги»~ Гамильтона» напасалась в те- чение почти г га лет в учебниках по д пса» ике.
но практически ее никто ие при- менял до 1925 г., когда Буш впервые об> ясикл фокусируюшес действие элект- рических и магнитных полей па элсктроппыс пучки, пользуясь оптической терминологией. Примерно в то же время В1редиигер воспользовался аналогией Гамильтона для полу >ения своего уравнения, позволившего перейти от гео- ыстрической оптики к волновой оптике частиц; при этом он использовал по- нятие длины волны частиц, впервые предложенное в 1923 г.
де Бройлем. Практическая гшектронная оптика начала бурна развиваться с !928 г. В это время аналогия !'ал»ильтоиа Г>ыла уже широко известна и ее использо- вание позволило изобреспс целый ряд электроннооптичсских приборов(таких, как элегмронный мякроскои>, являющихся апячога»п> оптических Катя ма- шматическая аналогия носит общий характер, оппшеская н электронная зехники различая>гся между собой. Такие электраннооптические приборы, как электроннолучевые трубки и системы с нскрнплеппов оптической осью, ие имеют аналогов в обычной оптике, Мы будем рассматривать только такие проблемы электронной оптяки, оптические аналоги кагорых подробно обсуж- дались в иргиыдупшх главах книги, и поэтому и олучасощиеся резулы аты после небольшой модификации почти яоляапспью переходят в уже иавсстиыо.
Отме- тим, что это относится. в частности, к наиболее труднои для понимании главе электронной оптики. а именно к вг>иковой теории аберраций линз. 1. Аналогия Гамильтона в элементарной форме. Мы сначала покажем, что задачу определения траектории заряженной частицы можно свести к опти- ческой задаче путем введения подходящего показатсти чрсломления, слмеияю- шсгося от точки к точке.
Пасемся рнм частицу с зарядом и я массой сп и для простоты будем считать ее электроном, двшкущ>пя я в посто»ином электростатическом поле с потен- циалом ср(х, у, г). Из уравиениь двюкения 11ькггопа имеем — =еЕ = — е йгабср, др й (1) гдс р — вектор импульса. Зто уравнение справедливо для любых скоростей и, еглп ньютоновское определение импульса р . — шг заменить иа эйпштейиовшгое (2) где с — скорость света в иакууме. Уравнение движения (1) удобно разбить на два; первое является уравне- нием траектории, а второс характеризует «>»ре»се>с >бе расписание», согласно которому электрон дзижшся вдоль траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
