Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 176
Текст из файла (страница 176)
Основная задача аариационного исчисления состоит в следующем. Найти такой участок хриеой С мехсду двумя заданными щочхама Р, 1х, = х (г,), у, —.— у (г,), г,1 и Р„(х, --. х (г,), у, =- у (г2), г,1, чаюбы интеграл (1) имел эютнремальиос значение (минимальное изи максимальнгм). Необходимыс условия, которым должна удовлетворять такая кривая С, называемая зхстрсмахыщ выводятся с помощью простого линейного варьиро- вания.
Выберем для этого функцию «(г) с непрерывной первой производной, которая обрашаетсн в нуль в консчиых точках. т, е, «(гг) .= «(гч) — О, (й) 664 пгиложкяия и проведем новую кривую С', заменив координату х экстремали величиной х + з6, где е — малый параметр. Тогда уравнсние (1) станет функцией з, т. е. 1(з)= ~ г (х'+з6', у', х-(-е6, у, г)йг. <, Величина < (6 (з7> ~ ~зр, зр иазывается пгргои зариапией по х.
Обращение в ауль первой вариации, т, е, справедливость соотношения (61)„= 0 (6) является, очевидно, необходимым условием экстремума. Проинтегрировав первый член в (4) по частям и воспользовавшись граиичаыми условиями (2), получим м (61)„= ~ ] ń— „— Р„.) 6йг, (ба) (614; ~ (р„— — ' р„,~ „й . (Об) Песка,>ы У 6 и >1 можно выбиРать пРоизвольпо в интеРвале г, ' гк" гь то из (ба) и (66) вытекает, что условия (6!) „=- О и (6!) „= О эквизалепп<ы следуюш>кк двум дпфференпяальаым уравнениям, наэыааел<ым уразнгяиями Эйлера ӄ— — ум О, (7а) а (76) Соотношения (7а) и (76) представляют собой дифференциальные уравнения второго <юрядка относительно х(г) и у(г).
Оставим члены, содержащие производныс наивысшего порядка, а именно: У «'+ У г У" + ... =. О, (За) ум «+у„ку" +...: —.о. (86) Эти уравнения можно разрешить относительно х" и у", если соответствующий определитель ве рааса нулю, т. е.
у..у,„— р* чь О. (9) 11редположим, что это условие выполняется во всей рассматриваемой нами пятимсрпой области. Решение двух дифференцвальиых уравнений второго порядка содержит че>ыре произвольные постояяиые; следовательно, экстремалп образуют четырсхпарам<пряческос семейство кривых (со< экстремалей). 2.
Интеграл Гильбе(па и уравнение Гамильтоиа — Якоби. Чтобы исследовать свойства экстремалей, )лоби<> рассмотреть сначала другую, яо связанную с этим исследованием задачу. Будем считать, что перемени>лс и и а зависят от х,, г, т. е. у и=и(х, у, г), а=о(х, у, г). (!0) Тогда г"(и(х, у, г), а(х, у, г),х, у, г] и ее частные производные г"„, г", зависят только от х, у, г. Далее выберем кривую С(х=-х(г), у=у(г)] и образуем. где р, обозпачает дг(дх и т. д. Заменяя теперь у из у+ зт), аналогичным об- разом получим 666 пеиложяаив 1 интеграл г, 5= ~(Р-с(х' — и) Р +(у' — о)Р !3г (!1) Задача состоит в следусо~гсеы: нарнии ишхие функции и, е, для ко~порыл ингггеграл 5 не зазисит от ферлаг кривой С, а определяется лини, положсшюм концевых точек Рг и Рг, где Р~ имеет коордннзттг х~ =х(гг) уг =у(гг) н гб Р— координаты хе =-х(г ), у„=у(г), г,.
Величина 5 называется иняыгрилолг Гиль- берта. гцля определения и и о перепишем (11) в виде 5= 1 (Ус(х+)ес(у+)й ага), (12) где (33) дз /дЯ дэ (21) (У=Гни У=Р„(У==у — ир,— ер„. (13) Хорошо известно, что незбходимылг и достаточным условием того, чтобы (12) не зависел от формы кривой нптсгрирования С, служит обрашение в нуль компонент ротора от вектора А, с ироскпиями (У, У, йг, т.
е. ди ду де д!Е ди дег — — =О, — — "— =О, — — — =О. (14) дя дг ' дг дг ' дг ду Мы получили систему из трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно и(х, у, г) и с(х, у, г); эти ъравнепгся, однако, не вполне независимы, поскольку для;исбых (У, )е, йг справедливо тождество (б!у го( А = О для любого вектора А] Если уравнения (14) удовлетворяются, то У ух+ )'г(у+ %'иг является полным дифференциалом, т. е. 35=(уах+убу+и дг, [16) н 5 навесит з олька ог Р, (хь ун гД и Р, (хь уь г,), Написав для простоты х, у, г вместо хь у„ г„ иол)чим и= —, у= —, (у= —. ах дз дл (17) дг ' дд ' дг Возьмем теперь проиавольную поверхность Т(х„у, г) = О и в каждой ее точке Р, проведем нормальный к ней вектор ((), !А йг).
Таща, согласно (16), г!5=0, и, следовательно, величина 5 (х, у, г) — 5, (18) постоянна на этой поверхности. Из двух (совместных) уравнений (13) можно определить и и и как функции координат поверхности; имеем г=и((у, у, х, у, ), .= ((у, р, х, у, г), (! 9) Если теперь решить днфференцаальные уравнения (11) с такими граничными условиями, то мы польшш частное решение рассматриваемой задачи, з именно решение, приннмаюшсе постоянное значение 5, нз аыбраннон поверхности Т(с, у, г) =О. Его можно получить из одного дифференциального уравнения в частных производных смносительно функции 5. 11одсгавляя (19) в оставшееся ' уравнение (13), находим ))т =()г(у, )е, х, у, г), (20) или, кспользуя (17), пгиложгння Это уравнение называется уравнгнигм Гамилыпона — Якоби данной задачи.
Функция 5(х, у, г), принимающая постоянное значение иа поверхности Т(х, у, г) =-О н удовлетворяющая уравнению [21), служит регпенне>«рассматриваемой задача. Функции и, о, обусловливающие независимость интеграла от пути интегрирования, находят из решения любых двух из (совместных) уравнений Г= —, Р= —, Р— ир — пр= —, дз дз дБ дх' «дг' " > дг' (22) полученных комбинированием (13) и (17). Поле экстремалей. Установим теперь связь между двумя задачами, рассмотренными в пп.
1 н 2. Она сосчоит з следующем. Если и (х, у, г) и о(х, у, г) — функции, делами(иг интцграл Гнльбгрп>а 5, ог«у«деленна>с! в ((1), нг зависли(им от пути, «по решением дифференциальных уравнений х'=и(х, у, г), у'=-о(х, у. г) (23) служит двухиарагмтрс«ческог сгмгйспмо (со9 экстрсмалей, «ортоональных» тыерхности 5(х, у, г) = 5,. Под «ортогональиостью> мы здесь подразумеваем выполнение условии (У «1х+ !' ду+ В' с(г = О, (24) из которого следует, что вектор ((1, у, В'), определенный в (!3) через и и о, перпендикулярен к любому элеченту с(х, с(у, с(г поверхности.
Р.' Рассмотрим обласггь в пространстве х, у, г и по- ставим в соответствие каждой точке области вектор Л(глйг)=рг улуг«.4 (и, о), непрерывный и имеющий непрерывные част- ные производные первого порядка. Система таких Рис. 1. К ой«бы««ив юа»гнй »с»но>ыг фронтов и лучей в векторов, определенных н заданной области про- ~сом«срач«ской «стикс. стравства, называется полем. Здогь мы будсм гово.
в«> «сс ы сп !и»>- рить о поле экстремалей, величины же и(х, у, г) и """„",",; ""„""",'„'"р ы",,".р.~" о(х, у, г) назовем фунт!илии наклона поля. Справедлива также теорема, обратная приведенной выше. Если лоле со" зкстргмалей орпюгонильнопоссрхности Т(х, у, г) =О и и, о — гго функции наклона, олредглент«г в (23), то интеграл Гильбгрта 5 (11) нг зависит от пути итлггрирования. Прежде чем доказывать этв теоремы, отметим следующее с,чедствие из них.
Пусть кривая С в (11) является одной из экстремалей поля; тогда интеграл ! ильберта (11) сводится к вариационному интегралу 1 ) Рда. Следовательно, значения этого интеграла, взятого между парами «соответствующих> точек на поверхностях 5(х, у, г) = 5, и 5(х, у, г) ==-5> (т. с. между точками, расположенными на одной экстремалы, ортогональной 5„и 5>), одинаковы для всех таких пар точек (рис. 1). Поверхности 5(х, у, г) — соп«1, и семевство сс' экстре- малей можно рассматривать как обобщения волновых фронтов н лучей в гение«рича«кой оптике.
Для доказательства первой тозремы рассмотрим фиксированную кривую С, которая удовлетворяет соотношению (23) и ортогональна поверхности 5(х, у, г) — -5ы а затем применим к ней линейную вариацию, т. е. заменим х на х+ ай н у на у+ Ьц, где а и Ь вЂ” малые параметры, а с и ц — произвольные, но фиксированные днффсрснцируемьн" функции г, обращающиеся в нуль при вгняожвиив 1 г =- г, и г = г„. По условию теоремы 5 не зависит от пути интегрирования, т. е. (~ ~ О (дЬ) (26) где индекс О обозначает, что паоле дифференцирования мы положили а = Ь = О.
Дифферсипиравагие У1п(х, у, г), а(х, у, г), х, у, г) дает — ,'" — (Тчих+ р.ах+ Ег) 8 (26! Из (11) с помощью (26) получим (28а) ~дз т~ =3 (~г д ~ ) Пиг. (286) Правые части уравнений (28а) и (286) являются первыми варнациялги г*(см. (ба) и (66)), и согласно (26) они обращаются в нуль. Следовательно, кривая С удовлетворяет уравнениям Эйлера, т. е. она является экстремалью, и паша теорема доказайа.
Для дохазательства обратной теоремы построим поле Д ао' экстремалей. ортогоиальных данной поверхности Т(х, у, г) =-О и сравним его с другим полем 1., оа' экстремалей, Последнее поле строится следующньгобразом. Решаем уравнение Гамильтона.-- 51кобп (2!) с граничным условием, состоящим в том, что 5(х, у, г) должна быть постоянной величиной на поверхности Т(х, у, г) = О. Если и н а определены соотношениями (22], то решение выражается интегралом (!1). Тогда в соответствии с только что доказанной теоремой уравнения (231 определяют поле экстремалей гь артогональлгых поверхности Т=-О. Однако поля ), и Д дотжны совпадатгь гюскольку ови удовлетворяют одним и тем же дифференциальяым уравнениям и одним и тем же граничным условиям па поверхности Т -О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
