Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 178
Текст из файла (страница 178)
Согласно (13) яш, условие можно записать в виде (ил +Уу +й ),=((ух'+Уу'+)р)„ (52) где х', у' — произподные от к(г), у(г) для произвольной кривой на поверхности. Условие (52) соогнстствует такжс утверждению, что вектор В,— Вь У, — Рь )Р'« — ()««нормален поверхности разрыва, т. е. ((7,— и,) х+(и,— и,)«)у+(йг,— йг,)А =О. (58) Вывод закона отражения для зкстремалей очень баизок к рассмотренномт выше.
Д.ш этого нужно соединить точка Р, и Рь расположенные по одну сторону от задан- А ной поверхяости а(х, у, Р) — О (рис. 3] в области, где Р является непрерывной функпией х, у, г, кривой Р,АР„ которая терпит разрыв (меняет свое направление) в точке А нз данной поверхности. Рв Ясно, что отрезки Р,Л н ЛР, являются зкстремалямн; го«да из рассуждений, сходных с теми, которые а(лу«у=у использовались при'выводе закона преломления (63), следуем что условием справедливости амар«мы ««сз«ыи- рнс. 3. илло«тначяя н«гнаннонного ан«ляг« гажагта для падакюгего (индекс 1) и отраженного (ин- „Р„,„рш,„ декс 2) полей является закал оп~раж«лил раженнн.
((7«+В,)пх+(У«+)««)«(у-(-(йу«+йг«)«(Е=О. (54) Теорема незаняснмостн выполняется также для любых полей, имеющих конечное число разрывов непрерывности (как преломления, так и отраженья). Как будет показано ннжс, во нссх таких случаях интеграл (1) имеет «шнимальное значение независимо от того, является ли экстремаль, сосдипнющая точки Р, и 'Р„непрерывной или терпит разрыи (изменяет свое направление) при условии, что функппя Р удовлечворяет некоторым простым условиям вдоль э!ой кривой, 672 пнилажания Рнс.
4. К ссненелс нм 6»функ<ни Непсрнщыссн. Рнс З К ннн н< ус<сне< сель<с<а нннннуне Иенерштрнссн в концевых точках Р, и Р, и тоже целиком лежащая в поле и, и (рис. 4). Экстремум является истинным минимумом, если ) Р (х', р', х, р, г) с(г — с) Р (х', р', х, и, г) с(г ь О. (55) с Согласно пп.
2 и 3 второй интеграл в последнем соотношении можно заменить на интеграл вдоль кривой С, т. е. на ) (Р(и, а, х, у, г)+ (х' — и) Р„+ (р' — о) Р„) с(г; с этот интеграл не зависит от пути и сводится к ) Рс(г, если путь интегрирования с совладает с С. Следовательно, (55) принимает вид Р Фг — ~ Р Нг = ) 6'(х', у', и, о, х, р, г) с(г ) О, с (56) где д'(х', у', и, о,х, у, г) = .= Р (х', у', х, у, г) — Р (и, а, х, р, г) †(х' — и) Р, †(у' — о) Р„ (57) а аргументы функций Р„, Рн совпадают с аргументами функции Р(и, и, х, И, г). Фувкцяя, опрсделшшан (57), называегси б'+ункцигй (или фрнхчией ссзбытка) Вейерииприсси; аргументы х, р, г, х', у' характеризуют тачку на кривой С и иэправленпс последней, тогда как и, н — исправление экстремали поля, проходящей через точку х, р, г.
Как мы нплпъь 6» обращается в нуль яа любом отрезке кривой С, совпадающем с экстречал ьнз ~н»лн. Выберсн теперь н качестве паля днухпараметрическос (аа») семейсгво всех экстремазей, проходящих через точку Р,. Затем проведем специальную кривую С так, чтобы она совпадала с экстремалью поля между пжкамн Р, и А, являлась прююй между точкой А и точкой В, лежащен на заданной экс< ремали, и совпадала с заданной зкстремалью мелгду В и Р, (рис.
5). Тогда б' на отрезках Р,А и ВР, обращается в нуль и (56) принимает вид в ~ 8 с(г ) О, л 6. Условна Вейер~птрасса и Лежандра (достаточиые условия экстремума). Да сих пор мы не делали ранличкя между максимумом н минимумами рассмотренные зкстремали (гладкие нли с <петлями») магуг даже соответствовать стационарным случаям, иогда истинного экстремума вообще не сушсствуст.
Выведем теперь назбходимыс условст истинного минимума. Пусть х(г), д(г) — фиксированная экстрсмаль С в поле и(х, у, г), о(х, у, г)„и пусть х(г), у(г) — любая соседняя кривая С, совпадающая с С 673 ПРИ ЛОЫЮ)кт Устрслшяя А к В, получим, что зто неравенство выполняется только в том случае, если 4'(х', у',х', у', х, у, г) ) О, (58) где х, у, г — координаты праизволыюй точки (В) па даяной зкстремали С, а х', у' атпосятся к соверш)щ 1> произвольному иаправленаа АВ. Формула (58) служит усдосием сильного пи!нинулю Всйсриилрисси; разумеется, она является псоб>хадиыыы условием. Однако сели пРсдпаложнттч чго фУнкциЯ Р непуеРыкна по всем сваял: пяти переыенньц)(следавательна, функция б' непрерывна го сваям семи пе- л ременным), то при )славин, чта (58) удоплет- гг варяется для всех точек задаянай экстремалы и прн прачэпальнолг направлении х', у', нера.
ве) гтио (56) должно иыпалпяться для любой соседнеи кривой С, плюющей произволыюе направление и 2!с)глашей в некотаргп) окрестности кривой С. Сшедователыю, условие '(58) является также даствта шь чке ьепоекч сального икпччупк наго минимума. Эта, конечно, относнтель- Вейерштрасск. ный мнинпуы, гпк как может найтись несколько зкстреллалей. дня которых !штеграл (1) минимален по сравнению с нптегралоы по всем соседним кривим; ращ ыотренпыы способам нельчя устанавнтлч какой из этпт ли)н!)чупов абсо.!ютный. Нерагснстпо (58) допускает простую геометрическую интерпретацию.
Для фиксированной тачки пространства х, у, г величина Р зависит только от х', у", эту функцию Р(х', у') можно представить поверхностью в трехмерном пространстве х', у', Р. (На рис. б изображен двумерный разрез х'Р). '!'огда б". (х', у', х', у ) = у(х', у ) — [Р(х', у ) ф (х' — х )Рр+(у' — у )Р-,[ (59) есть. очевидно, расстояние )С)с вдоль ордпнаты в пространстве х', у' между точкой (с на поверхности Р— Р гх', у!т) и точкой ус (см.
рис. 6), в которой плоскость, касающаяся в,точке Р(х', у') поверхности Р, пересекает эту орштл!у. Следовательно, )У(х', у', х', 7!щ)) О, когда поверхность Р находится над этой касательной плоскостью. Еслк эта справедливо для всех х', у', то !шссгся си,гьнмд м!)нимри. Если же условие (58) пыполняегся лишь в небольшой области 5 = х' — х', т) . у' — у', то яыеется слабый минимум; в снам случае величину 4' можно разложить по степеням В, ть и тогда (снова опуская аргументы х, у, г) получим ел лх', у', х', ут) = й-В(х',у ) — Р(х', у ) — ".Р„-,— йрр+ й [~;-, ив'+йрчч-„Зптс Рр;, Ч[+ При малых зчачеппях 5 и ч квадратичные члены играют реп аюшую роль, и для с)шествования лпним)'ма Они должны быть палагкнтсльныыи.
Таким Об. разом, условию 27ехсиндри (необходимое и достаточное) для слабого минимума *) имеет вид (66) ) У>то услочч шг о обобщкть пп е, у)пй большего числа перечевпык (ечч;кеч, ч). д,)п сущестчопачпч чкнччуче кппдрптк щпч ))орые е ч переведение допыче быть поло ).чтегипо определеп п)ч; о щодп егш цот, что соотеететву1ощпй определитель к еее его главные напоры доо;ккь: О.х попо ккточьпыиа. 674 ПРИЛОЖЕНИЯ 9. Минимум вариационнаго интчшра.ча, когда один конец кривой связан с поверхностью. Г: по «адью «софуикции легка определить минимум парпацнааиаго шпеграла (!) относительно нссх кривых с одной обшей концевой точкой Рм а другимп, свнчаннымн с заданной поверхностью а(х.
у, г) =-О. Крш«вл, сгчс зн снск должна совпадать с анной нз эксгремалей двухпараметрическаго сю«гечействз, проходящей через точку Ра и нужно гсиснь узнать, «с какой из нихч. Среди всех гк зкстрсмнлсй си еегся только одна '), которая оргоганалспа повсрхнасти о = О, и .тетка иоказаты гго именно она служит решением данной задачи. Лля этого обозначим черсз Р, тачку псргсечения такой зкстремали с поверхностью а - О гг окружим ее полем всех экстремалей, пгрпснекеб=з ° дпкулярных к поверхности. Г!усть Рсо — лю- бая экстрсмаль, проходящая чсрсз Ра а ф— Рес.
7. К игрекглшшо чинноуие еарьюскоякого нзт«голл«лля егех тачка ее пересечения с поверхностью (рпс, 7), «р* еик, одни коню« котора«(кгк( Тогда интегрнл ГильГ>грга 5 (Р«, О) Обрашаегскроеан, л с«русо«с еюи«к еооеерх- сл з нуль. Гледоватсльна, интеграл 3 вдоль пути Р ссР«равен вариацпопгюму интегралу ((Р„(!). Разность ((Є٠— ((Ра Р,) можно выразнть точно таким же образом, как и выше, через б'-фунссссию; тогда, если условие (58) вьшолпяессн, ана пс«лсцкительссз для всех С), спличных ат Ро 1О. Критерий Якоби для минимума. Если экстремаль можно целиком поместить в поле и условие Лезкандра выполнясгсл для всех ее точек между Р, и Ра та интеграл (, определенный (!), имеет (с,сабый) минимум.
Остается паитп критерии сунсесгвонэния ~ акага поля. Пусть двухпарзметрнческое (оо«) семейство экстремален, проходящих через Ра описывастсл ураапешшмн х=х(г, и, р), у=у(г, и, 6), (61 г и пусть заданная эксгремзль С характеризуется и =-О, р =-О, т. е. х=-х(г, О, О), у=.у(г, О, О). (62) Кривые (6П образ):от поле, если существует одна крпзал, прохоллщая через заданную тачку Р(с, у) на прон.вольна блцзком расстоянии от Г, т. е.
есля уравнения (6!) имеют единственное решение лля и, р как функций х, у; это условис имеет нпд (63) Полученное соотношение является критеригл«Якоби суи(естлолания минимума. Определитель б есть функция г вдоль зшсаннай экстремцзн (62). Первая точка Р, в которой б обращается в нуль, называется точкой, сопрчженнои точке Рб длп любого интервала Р,ра где Р, лежит межд) Р, и Р, существует истинный минимум. В тачке Р 'сздзнную экс гремаль иересскзс г саггдинк сбгсчаиечна 6~накал к заданной); эта точка лежит на от«~ба«оп!ей семейства (6!).
Следозз~еггьссо, поле ограничено огибающей сгисйсшла зкстргмалей (61). В оптике такие огибающие лнляются кзусгнчсскпмп ногсрхностями. 11. Пример 1. Оптика. Пранллн«стрируем теперь общую теорию несколькнмп примераьш. В первом примере рассматрпваютсн наикратчайшая линия в обычной геометрии и кратчайшнн ан:нгцскнй п)ть в геомсгрпческой описке. ") Прелполягеетея, что Рс нахохкгся ло«ге«очно близко к нояерхно«ги, т. е. случай нескольких тккнх Як«трем«лей исключен, 676 пРилОжение 1 Р, г )г(у=~ Р х (-у, 1пг. Р1 Геометрическую оптику можно построить с помощью обобщения этого интегра- ла, а именно с помощью принципа наикратчайшего оптического пути Ферма (см.
п. 3.3.2), т. с, Р г 1 у =-1 ь . и гл у'Рте. (66) глс и(х, у, г) — показател~ преиоиленин. РН х буден рассматривать только второй случай, так как соотношение (65) является частным случаем (66) прн и= 1. Имеем (66) у (х', у', х, у, г] = и (х, у, г) ) х" + у" + 1. Поскольку г(з = )' х" +у' +1 бг, имеем их' дх У=ГР= . =П вЂ” =ИЗ, )Р хи+ у' +1 и, р=г"Р = . ' =и — =лгу, иу лу )Р я) у1 лг и уг )Р'=г — Рмх' — РРУ' = —,. =и — „пз„ У х"+у"+1 (67) (об) где з„, зз, з, — компоненты едгпп чиого вектора з, касательного к кривой х — х(г), у =-у(г). Закон преломления на поверхности разрыва и(х, у, г) можно, согласно (53), записать в виде (л,з,— и,з,) ЕЙ=О, (69а) где г11 (г(х,г(у, бг) — произвольный элемент длины на поверхности. Из послед- него соотношения следует, что векторы зь з, и нормаль к поверхности разрыва комплапарны и что углы О, н О„ образованные в, из, с нормалью к поверхности соответственно, связаны соотношением и, з1п О, = и, з1п В„ (696) что соглас; ется с законом преломлепня (3.2.19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
