Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 180
Текст из файла (страница 180)
>!ля этого напишем у = аз, р = рз, где з — единичный вектор в направлении движения. Тогда й> др д» ар д» д» ' др й — = — а+ р — = — а+С> — — = — а+ра —. й й й й йй лс й' Из диффереяцвальной геометрнн известно, что вектор »ЫсЬ иапраплен вдаль главной нормали ч, а его абсол;опсая величина равна ьрьаизие 1Ср траекторви. Следовательно, — = — -3 1- — ч. др ир , р» й=ис р нгиложвння (4а) -=- — е(т нгад)е).
(у) Р Выражая о и )е с помощью (2) н (6) через р, получим простой закон — =т йгаб(!пр). 1 т.неве Р (8) Р Р Уравнение (8) (и7ентична уравнению (3.2.14) дея кривизны луней в среде е пакизащевем яре юмленнл и, если считать, что последний пропорционален Р; таким образам, мы получаем формальную аналогию между траекториями лучей н электрощнь 11еобхалнмо подчеркнуть, что абсолютная величина импульса р зависят только от коордгнп лишь для электронов с фиксированной полной энергией; для электронов с различныв н энерюшми значеяие Р будет другой функпией, епределяемой 16), '!'эким образом, показатель преломления зависит от энергии вчеьтропов.
Это также кисет аналогию в обычнон оптике, где показатель поеломлення среды .вне ~сит от длины волны сне~а Позднее буде~ показано существование зонально глубокой аналогии. посьолэ к) в обоих случаях показатель пре.юмления оказывается функцией длины волны Для медленных электронов значение р пропорционально скорости, а последняя в свою очередь пропорциональна ) 'г'. Использовавшиеся нами реля- Отаода и из уравнения (!) следует, что мгновенный центр кривизны лежит н плоскости, проходншсй через касательную з к траектории и вектор электри- ческого поля Е - — йгад ф. Разлагая нгадф по двум направлениям, имеем — а+ — т = — е ((з.
йга4 ф) а ф (т. йгад ф) т) . Ш (3) Прправнивая первые члены в левой и правой частях (3), получим скалярное уравнение, ко~орое можэю назвать «времснньш расписанием», поскольку оно определяет полоэксние эзсктропв на траектор1ш н зависимы.ти от времени. 1(осле умножения па и — дзадг его хюжно пропьпегрнровать, полает = — эр -1- сопз(. Ут — !1 (4) Вто есть эйпштейповский интеграл энергии. Лля медленно движущихся частиц 1 (!)(( 1) он переходит в иьютоновсхий интеграл — пю' -г еф = сопя!.
Ограничимся теперь для удобства рассмотрением электронов„для которых постоянные ннтегрнрованяя одинаковы, т. е. обладающих одинаковой полной энергией. Этот случай соответстнует электронам, вылетающим нз определенной нотсппиальиой поверхности ф, с нулевой скоростью. Во многих практических задачах такэя поверхность совпадает с поверхностью катода.
1!олагая ф — ф,, т. е. считая поверхность ф, яачалом отсчета Потенциала )е, интеграл энергии можно представить в виде пэе* ~ — 1~ = — е)т. 1 1 1:-Рг Ко бзннруя (2) и (4а), 1вожно написать одно двойное уравнение ('- — ")'=-'+(=')'=~' (6) Тогда абсолютная величина имцульса р этих частиц, выраженнан через коор- динаты х, у, е, примет вид ° ~ 1/ !+ (' Р )' — 1~ — — р(х, у,' е).
(6) Рассмотрим теперь втору!о часть (3), т. е. компоненту, перпендикулярную к направлении> двнжщшя, пгвзомвяии 2 бб! тивистские уравнения имеют следующее преимущество; они ясно показывают„ что характеристической величиной служит пе скорость, а импульс. Более того, найденные результаты допуска>от псь;едлеппое обобщение па случай общего статического поли, электрического и магнитного. Нз тсорпп отногнггльност>! хорошо известно, что при налп пш маг>>атно~о поли механический импульс р, который будет теперь обозначаться через р„м заменяется на «полный» импульс р„„,„ = р -! еА, (9) где А — векторный потенциал ').
Ого>ода можно заключить, гш к обпгем случае показатель преломления, который в электростатике прапорц:юиален коьь попенте р в направлении яви>кения, должен заменяться ва компоненту р„,".„ в том же направлении. Такое предположение оказывается справедливым, однако прн риссмотрснии законов электронной оптики прн наля и и электромагнитных полей мы иге же прибегнем к более строгому и общем) обосповавию. 2. Аналогия Гамильтона в вариационной форме.
Законы геометрической оптики можно вывестн из прин>шла Ферма (см. п. 3.3.2), согласно котором) путь света между двумя какими-ниб)дь ючками Р, н Р, обсспечиваег ьпшимум оптической данны, т. е. 1 яка =минимум. (10] Необходимо напомнить, что такая гщрогия >)юрь>),знроика принципа Ферма справедлива лишь в том случае, когда две концевые точки расположе» досгаточно близко друг ог друга нли, что то жс самое, когда па отрезке луча, соелиняк»пего эти точки, нег ~>зог>рижская ня точки Р„ия точки Р,.
Гели Рь служит изображением Рь то уравненне (!О) опрсдезяет не луч, а бесконечно топкий п)чок пучек, соеднншошнх эти две точки и проходяптих равные оптические пути. Если расстояние между Р, и Р, настолько веляко, что между пимн имсешя изображение, то луч определяется из слабой формулировки принципа Ферма б) пйз=0; (!Оа) такой формулировке соответствует не мзкспмазьное, как иногда ошибочно утверждают, а стационарное значенье интеграла, которое пе является ни максимальныл>, ни минил>альныьт. Некоторые следствия из принципа Ферма обсуждались в п. 11 приложения ! при вычислении вариаций.
В и. 12 того же приложения было показано, что движение снстемы материальных точек гаь же можно запяса гь в варпапиопкой форме, используя прпншш Гамильтона, который в частном случае одной материальной точки имеет вид 7 (х, у, г, х, у, г)й( — минимум. (!1) Такая формулировка справедлива в любой системе координат, но мы ограннч>шея для простоты декартовыми координатами х, у, г. Здесь х, д, г — компоненты скорости, 7. — лагрзнжпан. 1!вложение начальной и конечной точек ря гматрнвагтся а чем~И>хчерноч просграястве — арсис>зн я считается пспзмекныь> и варнационном процессе.
В приложении ! (гм. (77) н (78)) было показано, как из (11) получить уравнения движения в форме Лагранжа и в форме Гамильтона, ") Неостовимо отмегвть, зто мто фуиввмеитвльиый резуимвт Оыа иолузеи Шварцямиьиом (З) зв три голе до воявлевии теории отиоситеиьиоогв. 682 пгнложзиия Лля релятииистского алектронз с зарядом с и массой покоя гч лагранжиан имеет вид Е=- — гаев)г'1 — ))я — е( р — г А). (!2) с Здесь г=-з — вектор скорости, ср — электростатический ссогегсссссзвс. А— вшгиитиый или векторный потенциал *).
Лагранжиан 1121 мо кио прозерип. если подставить его в уравнения движения Лагранжа (см. (77) приложения 1) и использовать электромагнитные ссютношення (2.1.5) и (2,1,7) Е= — — А — пгабср, В=го! А. 1 е Уравнения Лагранжа принимают тогда вид аз — = — е ( Е+- з х В), лев т. с. совпадают с уравнениями движения в форме Ньютона — Лоренца. Прсснпип Гамильтона (11) являс ся слишком общим для электронной оптики. Во-первых, в сосстветстяуюсссук> варнапионисссс задачу входит зрсыя, которое не оредгтаз,скет никакого интереса, гклсс сссосся шапионярны Во-вто- рых, решение этой задачи содержит нятипаравсесрнчесьос (оввс ссменство зссст- рсмалсй; четыре параметра обусловлены тем, что прн данном значении полной энергии точки Рь Ря можно свободно выбирать на любых двух заданных по- верхностях, а пятый тем, что значение полиои энергии с п:тается пронсво.сь- пым. В электронной оптике, как и в обычной оптике, стремятся по возможности уменьшить число измерений.
Рассмотрим сначала фиксированную энергию, другими словами, огра- ничимся обсунсдеиием монохроматического света или моиозиергетическнх электронов. Как следует из (87) приложения 1, число измерений задачи умень- сгается при этом пз единицу. 1!ринцип Гамильтона (!1) заменяется принципом с,знмепьшего лейстпия Р, Г, 7 = ~ (Е+Е)с(г =-минимум, (14) где Š— полная энергия, т, е. Е = ~ хр„— !..
Время 1 входит в соотношение (14) лишь формально, так как после подстановки в него выражения для Е получим Р,,С, Р, ~р яс(1 = ~ Е',р„с(х = 1 р с1г=минимум. гз Во второы и третьем вьсражеинях опунсеиы 1, и (о так каь мьс рассматриваем солс ко искзояиныс во врсмсни поля (и противном случае юлияя .нсс)н пя нс оставалась бы постояигой), з которых начальный момент 1, не играет роли, а время 1,— 1, псшношью опрс,ю.гнется траекторией и величиной эие, гкн.
Тамии образом, принцип наименьшего действия (14) полностью аналогичен принципу Ферма (101. Изучение згижсння электрона сводится к опсической задаче, если опредетитс злектраннснлшсичгсюий аагсазаслслв арслан лния лая колснгненту и.тгулыи л направлении деияеения. Лля чисто электростатического поля зтог оезультат эквивалентен результату, пол,ченному выше из более простых соображений. В ятом сгтучае импульс оказывается чисто механическим и параллельным траектории, а его абсолютная величина дается '1 11ерелятквястскяя фуякссясс Лягрепжв (12) была получеев Швярчшялвлоя 191 в 1903 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
