Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 181
Текст из файла (страница 181)
б83 пгнломвннк,2 выражением (2), т, е ше ам= 1'| — Рз ' При наличии магнитного поля необходимо использовать общее определение голшонгят ямпул| са (см. соотношение (74) приложения 1| кач производных от лагранжнана по ко»шопен|ам скорости. Для анной часп~пы с лагранжиаиом (!2) получим дс юс , е дх У | (Р с н т, д, В векторном виде имеем (16) Тзкз|л| о.
разом, общее вырнжеике дли электроннгюптичегкого показателя преломления имеет, с точностью до произволыюго постоянно|о множителя, следу|ощнй вид: л = — =-"- .1- — А з, ею е )' — ~~ (17) где А в — колиюнеита векторного иогенпизча в направлении движения. Необходимо еще раз подчеркнуть, что эту величину гледуег рагсматрнва|ь как фуше|по голое.ення электронов с заданной полной энергией. По-ш|дпмому, имеется существенное различие между общим случаем и частпыи случаем чиста злектр|шескпх полей.
В эл|ктрическоч |юле показатель преломлсяия пропорционален механическому импульсу, т. е, нзмерясыои фнзическои величине. В общем же выражении (17) второй член предсгавлгет собак кгщпоненту векторного поте|запела, являюп|егося нс физичсскои нслнщпой, а функцией, ротор которой равен магнитной индукш|и В.
'1аким образом, электроннооптическнй показатель преломления представляет собой в общем случае не физическую величину, а функпню Лагранжа ). Однако, как уже упоминалось, ов является физичсскои величиной в частном случае чисто электрического поля. В обоих случаях к этим выражениям л|ожно добави"ь компоненту градиента в направлении движения от произвольной функции координат, не изменяя прн этол| на одно|о физического следствия. Существует болсс важное различие между частным н общим | чучаями, которос ьршцс пояснят|о если провесю| дщньиейшие упрощения и систи чюырехпараметричсское (са') сет|ейство траекторий к двухпарал|е|рическому (са').
Для этого выберем такие траектории, которые начинаются на какой-то поверхности »У'(х, у, з) =сг'с и нор»|альпы к ней. В геометрической оптике эту поверхность можно счнгн|ь волноныи фронтом; и|"| руина покатать, что пучок траекторий остается ортогональным семейству поверхностей Х (х, у, е) — соп»1 (теорема Малюса и г(юп|гна, см. п. З.З.З). Как было показано выше (см.
пп. 2 и 3 приложения 1), какая-то «ортогоиа,чьиосгю существует и и общем случае, однако ее физический сыысл сложнее смысла теооемы рбалюса — Люлина. В этом случае семейству поверхностен Т вЂ” сопз| ортогоцален не единичный вектор з в йаправлении движения, а импульс р.
1!осколысу аекгорпый потенциал пс определен однозначно, с»дззестпуст бес гюсчнос мне жсство семгйс|в ор|огональиыл |юверхног|е||, о.|пако цри налип;и магнитного |юля нпкакимн калибровочными преобразован:ими их нельзя сделать перпендикулярными к траекториям. На языке геометрии двумерные пучки кривых, ортогональные семейству поверхностей, образуют «нормальную копгруэнпию», в противном случае онн "1 Эгс ссабс|ма аадссрхнен.
гсь н работе (З), гнс отчсчнлось т:нжс, чта есле нсг щтюз пале ас реева сулю еа есс | аросгрснстес, та ьсеа»монша с аочощью келнброеач юго арсаб(|леаеення тек атнсрмнроееть аоюнинал Л, чтобы ан обращался е арль вместе с магнитным аалчм, пеыложвяыя образуют «косую конгруэнцию» (см. и. 3.2.3). В обычной оптике и электро- статической электронной оптике траекторыч образуют ыорь зльные конгру- ышыи, а ортогональпыс вм поверхности «ггожществ«>яются с «волновьщи фро>ь таин». Прн наличия ма>нитного поля двумерные пучки траекторий образуют косые конгруэппыы, к коп>рым нельзя применить понятие оргогоиальных зал- повых франтов. В»>ом и сгк>п>ят довольно существенное разли ше между электроююй и обычной оптыкой.
3. Волновая механика свободных электронов. В 1905 г. Эйнштейн впервые выдяинул гип<пезу о двопствщшон природе света. Свет распрагтраиястсв кек электрамагиы пая волна, иа пря взаиь>адсйствии с веществом он вехе г себя так, как буша ега зиергня сконцентрирована в фотонах, каждый пз ко>арых несет кааш зперп>п Бскорс гипотеза Эйнштейна вспучила бле стяп>ее подтверждение иры нэбл к>хгыыях фотоэлектрических н фотохи> пческя« процессов, Предположение о двоиствсвнои природе материальных частиц ыры>шдле- >кыт Лу>з де Бройлю, который н 1923 г. показал, что частице с механическим импульсом р может соответствовать (рел>пивнстски шшариаптно) только длина волны д=й(р„, (13) где Л вЂ” универсальная постоянная с размерностью действия, которую де Бройль «ыаждест вил с постоянной Планка.
Вскоре после э>ого Гейзенберг, Борн и Иордан, ыезависнмо от де Бройля, предложнлз первую полную математическую формулировку квантовой меха- ники, однако их методы менее удобны для обсуждения паиедеяяя свободных частиц, чем методы волновой механики Шредингера, краткое описание которой и приводится ниже. Шредвнгер объединил идеи де Бройля и Гамильтона и пришел к задаче волнового описания движения частиц, которая так же связана с динамикой материальных частиц, как волновая оптика — с геометрической. Его подход, кшарый, как мы теперь знаем, справедлиы не всегда, содержал, конечно, це- лый ряд догадок; в свмом деле, хотя геометрическая оптика логически следует из волыовой, обратное утверждеыие ыгыерна. Предположим, чта суигеств у«т нщ,ое волновое поле, интенсивность которого харакгеризуст плотность электронов таькм же образом, как интенсивность злектролшгяитна>а поля — плотность фотонов.
Более того, предположим, что это поле скалярно и ега эмили>уда описывается скалярыои функцнсп Ч"(х, у, г, 1); чтобы учесть волновой характер поля, будем считать, чта Ч' удов- летворяет волновому уравнению у»Ч» Гу и» где и — скорость распространения волны, которая в общем случае является ф)ыкппей координат. Это, конечно, весьма жесткое предположение, так как обычное волновое уравяеиие с постоянной скоростью распространения можно абобгцять множествам раз«я п>ыт способов, а данпое обобщение явля«те>т наиболее простым. Выбирая Ч' в виде «монохроматической волны» Ч'(х, у, г, 1) =ф(х, у, г) ехр( — (мг), получим уравнение.
не аавнсящее от времени у'Ч' — — (м)и)' Ч>:-- — (2пу) )«ф (19) в которое входит не скорость, а только длина залпы ) . Предположим т«перь, что Х соыпадаег с длиной волны де Бройля, если вместо р,. подстави гь значение импульса, которым бы об»чахала ас>шш ы точке х, у, г согласно закопав> кчас- сичесьой»ехзы>зкн. Э>а тьаюыые чожиа зычяслыт> с паманшч> (б) „"1ля проста- ты рассмотрим движение медленного электрона в элсзмрастатическам иоле. пгиложаииа 2 688 Тогда из соотношения де Бройля (!8) и из формулы (6) имеем 3 "г з2м я(д — ед) Подсгавляя последнее соотношение в (19), получим у>ф+ — „, (Е' — мр) >)=0.
Зп>м (21) Это и есть волновое уравнение Шредингера для свободной истицы в скалярном потснпиз.>ьною и<>ле. Поскольку оно ие зависит от яремщш, гго можно интерпретировать как уравнение, описыпающее стационарное (например, периодическое) движение частицы в силовом поле. Однако это уравнение можно использовагь и в случае стационарных пучков, с которыцп»бычпо ичшот дело в электронной оптикс, когда расах>атрив)иог много частиц, иоянлшощчх я одна за другой, но находящихсн в одинаковых условиях. Кзк а первом, так и во втором случаях разумно предположить в согпзетствпи со статно>ическои иитерпрета>шей Ьориа, что квадрат модуля ~ф Б — "->)ф* пропорционален цлотности частиц в точке х, у, з, измеренной за длительный промежуток времени, либо, что я данном случае сазпадасг с этой плотностью, пропорционален вероятности нахождения частицы в данной области пространства в любой момент времени. Справедливость уравнения (21) была впервые доказана П!редингером.
ко>орьш объяснил с помощью этого уравнения закономерности атомных спе>ом ров, предположив, что электрон в атоме находится в таком же силовом поле, что и в старой модели атома Резерфорда — Ьора. Для иас болышш питерсе представляет доказательство справедливости (21) з случае свободных электронов; таким доказательством послужило открьггие дифрак>гии электронов Дэвнссоном и Джерюером н ншависимо от них Томсоном в 1927 — 1928 гг. Дтя медленных электронов, обладающих кинетической энергией, эквивалентной гу ю, соо>ношение де Ьройля (18) дает следующее приближенное значение длины волны: д = ~ух'— Л. Таким образом, длины волн электронов, с которыми обычно имеют дело в лабораторных экспериментах, составляют доли ангстрема, т.
е. имеют тот же порядок, что и длины волн рентгеновского излучения. Счедовагельно, волновой характер свободных электронов легче всего продемонстрировать с помощьк> экспериментов, сходных с опытами ио дифракцин рентгеновских лучей я кристаллах. Терминология, применяемая при рентгеновском анализе (которая использовалась также и в случас электронов), нссколько отличается от терминологии, ириия>ой и обычнои оптике. То, что называется днфрак>ц>ей рештеиовских лучей или электронов, является на сэмом деле интерференцией когерентных вторичных воли, пспущенпых более али менее регулярно расположсппымп атомами рсшстиш Дифракция злсктровоя в смысле световой оптики на отнес>ггел~ ио крупных материальных ирепя>тггииях, атомная структура которых и>.
>и рзгт никакой роли, происходит иа весьма малые углы; впервые ее наблюдал Берш в 1940 г. в элек>роииом микроскопе з) 141. 4. Применение оптических принци поз в злектроиой оптике. Представленный кып>е элемси>арный и неполный обзор волновой механики достаточен почти для всех практических нужд электронной оптики.
Нет лаже необходимости в испол>жоваиии обобщения волиовоя механики иа случай наличия л>агнитиого поля, поскольку в электрошюи о>пике для исследования дифракциопных проблем достаточно приближения Кирхгофа. Допущения, при которых оно *) Фото>рай>яя дзфракаяояяых картин Бегша воспроизведены ь 151. ПРИЛОЖЕНИИ справедливо, полностью выполняются в электронной оптике. Эа исключением полей внутри и в непосредственной близости от атомных ядер в электронной оптике пе встречакяся элеьл ричесьие поля, которые супцстнеана ичмеиюотся на расстоянии длины волны лспо..:зуемых электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
