Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 185
Текст из файла (страница 185)
Вдесь «(х) — любая непрерывная функция х. Справедливость (5) сразу >ке становится очевндной, сслн заменить 6(х — а) на 6(х — и, р) и исследовать поведение интеграла при больших аначеииях !ь. Ясно, что прн и-е-оо ~ 7(х) 6(х — а, р) дх (5) ПРИЛОЖЕНИЯ хб(х) =-О. (8) Аналогичным образом легко показать справедливость следуюших выражений: 6( — х) =6(х), (9) 6(ах) = — 6(х), (10) 6(х' — а') = — (6(х — а) + 6 (х+а)), 2)а) (11) .\.
) б(а — х) 6(х — Ь)г(к= 6(а — Ь). Для доказательства справедливости, например, (10) сравним интегралы от 7(х) 6(ах) и )(х) — 6(ах). Имеем ! )а( ) 7(х) б(ах)г(х=-~ ') 7~ «) б(у) — бу= л 1(0), где второй интеграл берется со знаком плюс или минус в зависимости от того, положительно лн а, отрицательно или равно О. Из (5) следует, что ~ 7(.) —,. '6(х) ==т)-НОЛ Как мы видим, эти интегралы совпадают, что я означает справедливость (10). диалогично соотношение (12) означает, что сслн умножить обе его части на непрерывную функцию от а или б н проинтегрировать соответственно по всем значениям а илн б, то мы получим тождество. Выясним далее, как можно интерпретировать производные от дельта-функ- ции. Используя «аппроксимирующие функции» 6(х, р) и интегрируя по частям, получим $ 7(х)6'(х, р)г(х=у(со)6(со, р) — 1( — со)6( — со, р) — $ Г(х)6(х, )»)е(х.
При переходе к пределу при р-Р-оо первые два члеиа в правой части исчезают, н мы имеем ) 7(х) Ь'(х)лх= — 1'(О). Повторяя этот процесс, найдем ~ 7(х)бнн(х)дх=( — 1)")г"е(0). Легко доказать справсдлнаость следующих соотношений: б' ( — х) = — 6' (х), хб' (х) = — б (х). (И) (15) (16) Фактически тот жс результат получится, если интегрировать функцию не от — сс до +ос. а по любой области, содержащей точку х=а. Пол) генный результат можно символически записать еше и в виде 7(х) 6(х — а) = 7(а) 6(х — а); (7) при такой записи мы видим, что правая и левая части (7) дают одинаковый результат после интегрирования. В частности, при 7(х) = х, а = О соопюшение (7) дает пвиломеввв 4 Часто оназывается удобным (см., например, приложение 8) выразить дельта-функцию Днрака через а)инигыуго функцшо Хслисаада (называемую иногда сглупеюиипой функг!ией) (l(х), определяемую соотношениями У(х) =0 при х <О, У(х) =1 при х) О.
~ (!7) Если, как и раньше, обозначить штрихом производную по х, то, интегрируя по частям (при хг)0, хе) О), формально получим ] ((х)(7'(х)ах=(~(х) У(х)]"*„— ] ('(х)У(х)г(х —— (18» Дельта-функцию можно также ввести с помошыо интеграла Фурье 1(а) = 2'„ ] Ю 1 1(х) екр ( †(й (х — а)] (х. (19) Полагая К(х — а, р) = — ~ ехр ( — гй(х — а)] ай=- (20) и изменяя порядок интегрирования, соотношение (19) можно формально представить в виде г(а) = ] г'(х) К(х — а)г(х, где К(х — а) есть предел К(х — а, р) при р-~ос. Строго говоря, такой предел в обычном смысле не существует *) при х — аФО, однако (21) имеет такой же смысл, как и ранее рассмотренные интегралы, т.
е. у(а)= 1пп ] 1(х) К(х — а, р)л(х. (22) л Таким образом, К обладает свойством (5). Полагая !'(х) = 1 в (2!), находим, что интеграл от К(х), взятый по всем значениям х, равен единице. Следоаа- ') ревой вредел сущмтвуег в ревев вулм, если его рвссмвтрвввтв в сммсае Чеверо (см. 1270. = г (х,) — ) !' (х) с(х= г (х,) — ~(х,)+((0) =г (О). е Полагая х = у — а, г'(х) = г(у — а) = Г(у) и переходя к пределу х,-ьоо, хе-ьоо, имеем ] Р(у) (Г'(у — а)с(у=г" (а), т, е. (» обладает свойством (5).
В частности, прн г" вы 1 и а=О находим ] ()' (у) г(у = 1; следователыю, (/' удовлетворяет соотношению (1б). Более того. (/'(х) =О, . когда к~ О. Таким образом, производную от единичной функции можно иден- тифицировать с дельта-функцией, т. е. б (х) = — У (х). л 698 пгиложеяия ~ б(х)ехр(йх)г(х —.!. До снх пор мы рассматривали лишь одномерное простравство, но все най- денные соотио!пения легко обобецить на случай нескольких измерений.
В част- ности, рассмотрим трехмерное пространство. Тогда функция 6(х, у, г) =б(х)6(у) 6(г), (25) обозначаемая часто через 6(г), где г — вектор с компонентами х, у, г, удов- летворяет, очевидно, соотношениям, аналогичным (!), т. с. 6(х, у, г)= — О при Х~О, уФО, г~б, [ [ ) 6 (х, у, г) Ах !(у бг = 1. (2бб) Свойство (5) можно представить теперь в виде )г)г)г)(х, у, г) 6(х — а, у — д, г — с) !(х!(уг(г =[(а, д, с), и б (х, у, г) удовлетворяет обратным преобразованиям Фурье 6(х У г)= (гяр д!дгд! схр [ ! (Лиг+ АЕУ+Лгг)] льх !(Хулах (28) (2ба) (27) ) ) ) б(х, у, г) ехр [! (й„х — , '!! у-!. лхг)[ г(х с(у!(г = 1, (29) лги тожеиие б МАТЕМАТИЕ1 НСКАЯ ЛЕММА, ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ПРИ СТРОТОЫ ВЫВОДЕ ЗАКОНА ЛОРЕНТЦ вЂ” ЛОРЕНЦА В настоящем приложении мы докажем лемму, используемую в п.
2.4.2, .согласно которой го(го1 ~0(г')6()1)А)" ~го(го1О(г')6(Л)аЧ"-! —,О(г) у О при а-ИО. Здесь О (г) — произвольная векторная функция координат и 6(г!) =- = ехр(Ы!с)(тт. Интегралы берутся по объему, ограниченному снаружи поверхностью Е и внутри поверхностью сферы о радиуса а, цснтр которой находится в точке Р с радиусом-век!оном г(х, у, г). )! обозначает расстояние )г — г'[, где г'(х', у', г') — радиус-яектор элемента объема А!Р'. Пусть А — произвольная векторная функцпя координат. Компоненты го(го1 А имеют вид дзАР дзА дгА дэл (го1 го1 А) = ду дх дг гах ду" дг"' тельно, мы получили еще одно представление дельта-функции Дирака, а именно б(х) = — „) ехр( — !лх)4Й, ! Р (23) ч.
е. 6(х) можно рассматривать как фурье-образ от единицы. Существует и обратное соотношение, получающееся из (21), если положить [(х) = ехр(!ех) и а — О, а именно пгнложеник 5 и т. д., так что го1 го1 ) йбе$' = — ~ я 6е))г -1- — ~ (~,6е()т — ( — „-1- —,) ') г)„6д)т'. ( ') —;.. а а (2) Тогда для произвольной диффсренцнруемой скалярной функции Р(г, г') имеем — „~Гдт" = ') —.е()" + Иш — „~ ) Еейг' — ~РеЛ'1, а а ьа' У (3) 1 Р д щ ед вательно, Рнс.
З. К вычислению предела ,11 х' х И. — ~РД -~Р П' . о' центр а реенолонен е точ Г М. л. М, е центр а'- е точке Г (л ' Ь». Г. ех Положив Р=-67(г)6Щ, где Цт() =-х, у или х) — любая декартова компонента вектора ц), получим из (3) и (4) нд д-'„(Ж,6)() =~д-.(6,~)~ -~(6,~)р.бб.
а о а Рассмотрим далее частные производные второго порядка. Продиффереп- цировав последнее соотношение по х и снова аспользуи его, находим д е д( (0т6) д) ' =ад( ахт ((з76) е"у' ~д Мт6) Рог(с' д ~()чзт6) Рке(Я (Б) а а а Поскольку дц дб дй е1 ехр (Гай) 7 1 . 1 ехр(йЛ) (7) еЮ' =о'еЫ, где А) — элемент телесного угла, имеем при а-об ~д Я,.6)р„е(5'=~рл()тах г)3 =~ РМтр ра' (1 тп)г)е(р) 3 07(~), (8) а а и здесь Й вЂ” поверхность единичной сферы. Последний интеграл в (Б) обращается в нуль при а-оО, в результате чего получим х ухт ~ (О 6) Л" ~ „— е Я,6) е))7' — () ( ), (9) а о (5) где о' — поверхность небольшой сферы радиуса а с центром в точке Т(х+бх, у, г). Для определения предела н (3) заметим, что разность двух интегралов характеризует вклады от двух областей, Г' ар: заштрихованных на рис.
9. Зависят объема можно эацнсзть в виде , А~'. б)т' =- — Ы'бхр„, где 55' — элемент поверхности и ров х-компонента елина тного радиального век- ,,ум. гота выхо я его из точхи Р, Сп о- 700 пгнложвнна Смешанные вторые частные производные можно вычислить таким же образом. Напрнмср, имеем ~ ~(6.6)Л"-~ " (Ог6)Л . ал Член — 6. (г) теперь отсутсгвуег, поскольку интеграл, соответствующий (8), 3 т равен ~- (!)у6)р 33' = ') р„р От(1 †(ай)г((), а а т. е. стремится к нулю прн а- О. Подставлня уравнения вида (9) н (10) в (2), получим прн а-ьО г х го!го! ) (06)гй~'~ ~~го!го!(06)3)"1 + — 6„. а Л Аналогичные выражения яаходнм и для у- и г-компонент. Комбинируя этя тря соотношения, получим векторную формулу (1).
плиложэнив г РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАЗРЫВОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В п. 3.1.1 отмечалось, что уравнение эйконала в геомегрнческой оптике идентично уравнению, строго описывающему распространенно разрывов электромагнитного поля, В более общем виде можно показать, что четыре уравненяя (3.!.Па) — (3.!.14а), харзктерязующие поведенне электромагнитного полн, создаваемого геометрическими световыми лучами, совпадают с уравнениями, связывающимн векторы поля на двяжупгейся поверхнопгн разрыва. Цель настоящего приложения состоит в математическом доказательстве этой эквивалентности. !. Соотношення, связывагощне разрывы непрерывности векторов поля, В п.
1.1,3 мы рассматривалн разрывы векторов поля, возникающие из-за резкого изменения матсриальных параметров е и р, скажем, на поверхности ляпзы. Раарывы в полях могут также возвикать и но совершешю иным причиняя, например вследствне того, что источник внезапно начнет излучать. Тогда поле распространяегся в простраяство, окружающее источник, и с теченвем времени заполняет все большую и большую область.
На границе этой области пояс терял рэарыа, причеч внутри обласги векторы поля в оба!ем случае конечны, а вне ее онн равны нулю. Установим сначала некоторые общие соотношения, справедливые иа .чюбой поверхности, на которой поле терпит разрыв. Предположим для простаты, что для лнхюго момента времени !)О существует только одна такая поверхностгп обобщение на случай нескольких поверхностей разрыва (воаннкающнх, например, при отражеяннх от препятствий, находящаяся в среде) не представляет труда. Пусть Р(х, у, г, !) — произвольная поверхность, на которой по крайней мере однц нз векторов поля терпит разрыв. Если она фикснрована в пространстве, то Р, конечно, не завнснт оз Д Точки ио разные стороны от этой поверхностн характеризуются неравенствами Р(0 н Р)О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
