Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 187
Текст из файла (страница 187)
(р), (П) где Я вЂ” постоянная, зависящая только от нормировки полиномов Р,' н Я'„'. В частности, она может быть выбрана так, чтобы (т'„= 1 для всех значении 1 и и, и тогда )е„(рсоа гр, рьйп гр) = я'„'(р) ехр(~!тпф), где гп= (1) — пеотрипательнос полое число. 1 Система круговых полииомов содержит — (л-)-1)(п+2) линейно незавит симых полнномов степени (и. Следовательно, любой одночлсн л'ут(1 .О, 0 — пелые числа) и любой папином по х и р можно представить и виде ли- нейной комбипнппи конечного числа круговых полиномон )'„. Тогда н соеп- ветствия с теоремой Вейернпрвссз *) такая система будет полной.
2. Точные выражения для радиальных полиномов !7;, (р). Поскольку )1™(р) есть полипом по р степени п и он не содержит степени р, меньшей т, и является четным и.ш нечетным в зависимости от того, четно или нечнгио и, то его можно представить в виде !(нл"'(Р) =1 'ч2 — (!) где !=о' и () (1) — полипом по 1 степени — (и — и). Согласно (8) ! 2 ") См., например, (44), 705 пнияожение 7 где ы По — !)!1«(п — д+д1! Ь,(р, д)= (д — !-Нп(! (р — !-- и!! (р — , '2Я)' !7)ри таком вь!боре Ь„имеем 6е(р, 7, О) =-1 для всех Ф.) Сравнивая (18) н (14), получим, чтои) г — --.=— 6г(6 [г«6«(«и+1' «л+ !' !)' дг зе!«и —,1, т-(-!) Из (18) н (20) нытекае! следу!ошее соотношение я!ежду радиальными полиномамн и полиномаии Якоби; )7~м(р) =4 " .р 6е(т+1, т+ 1, р ), [д=- —,(л — т)~.
(21) 1' вийи! — , '1), (т+!)1 Сяедуя Цернике, выберем нормировку таким образом, чтобы при всех и и т оставалось справедливым соотношение 7(~~(1) = 1. (22) Тогда из (21) и (22) находим '"", ' ',"+" =6,(т+1, т+1, 1). (23) 2ае"' и Я ячгн ~е 6«(т+1, т+1, 1) можно получить с помощью производяшей ф;ихш!и полииомов Якоби [44]. 1(меем [г — 1+ Р ! — 2«(! — ире! !.г [ " ут+ З« — — — — — 6 (т+1, т+1, р')г', (24) 12грг! и )г! --2г (! — 2ре)-1-г« (20) ') ЗНаК КИИДРЕтИОГО КОРНЯ Е Пуяаеа Частя (20) ОПРЕДЕЛЯЕГЕЯ ИИ УРаВНЕНИЯ (2З), еле« оыто диасе.
23 г ионн, э. и ье полиномы 6 должны удовлетворятй соотношениям ! — яа! (ибг(г)(ге (г)г(!=а,'"Ь«г, где д= — (л — т), д'=- — (л' — т). (14) ! ! о Отсюда следует, что полипомы 6„(1), 6«(г), ..., 9и (1), ... можно получить ортогонализапией последовательное!и натуральных степеней ге ге (15) с весовым множителеч ю(Г) — ! в области 0~~1(1. Хорошо известные полиномы Якоби (илн гипергсометрические функции) (см. [44!) 6„(р, д, !)= — '-:Р еЦ вЂ” !)и и — [1д "я(1 — 1) д''[= (15) (д+г,— !)! дге И (д — 1! ! к !) (и+и-1-и — 1)! (17) (а+д — !!! ~.. !я,-г)! г!(д+г — !)! =е (4 ни О, д У«О, Р— дуя — 1) можно опйеделить как фУнкпии, полУчаютиесЯ при ортогонзлиззпии (15) с весовой функцией более общего вида гп(Г) = т '(1 — 1)" д в области 0(1(1, Свойства ортонормнруемости зтих полиномов выражаются следуюшим образом [45) ! ! $(е-«(1 Г)«-«6,(р д !)6и,(р д, Г)«(Г= — Ье(р, д)бы (18) о 706 ПРИЛОЖЕНИЯ При р =- 1 левая часть последнего соотношения равна Н + з) ', и разлагая ее в степеииой ряд и сравнивая с правой частью, получим 1 — од — м1 "(' — ""- )'("— .— )' В табл.
9.1 приведены в явном виде выражения для нескольких первых пол и помов. Для нормировочной постоянной а„- "получим из (26) и (!9) дт 1 и, 2л+2' Для нахождения производяшсй функции радиальных полиномоп пати- шем в (21) и (26) з амссто /г= (п — т)/2 и т+ 2з вместо и и подставим полу- ченные выражения в (24).
Тогда имеем (30) 12 ЯР )"* 1' 1 -1- 2е 1! — 2 Р В ж ед о=д Наконец, вычаслим и1пеграл ~ /7„(р) д' (оо) Пир, о которьш, как мы видели з гл. 9, играет важную роль н дифракциошюй теории аберраций Цернике — 11ижбсра. Подставим а этот интеграл выра- жение (27) для /('„"(р), а вместо функции Ьесселя / — ее разложение в ряд [44). В результате получим 1 ~/(2(р) ' (Ор)ро(р= (29) 2 где 1 /(з, р, д, г)=~ и'(„— ') (и'(и — И')йи, (32) а р, д, Р, з — неотрицательные целые числа. Интегрируя (32) по частям, имеем 1 /(з, р, 4, г)=~и'( — „) (ио(и — 1)'1~ — з) и' ' ( —,) (ио(и — 1)')о(и, (ЗЗ) о Из (25) и (23) следует, что ~,".. =- — (': — )- зла — /'1/1 (л рш)') ь„( -1-1, и+и ( ) (,1/,(и — т)/1 — о (26) используя (16), (17) и (26), найдем из (21) следующие окончательные выражеппя для радиальных голпиомов1 л-'"1 л 707 пгнложеииз 3 Если г~р и з+д+р ~0, то первый член в пряной части исчезает, так что 1(з, (т, 4, г) = — з) (з — 1, р — 1, (), г), (31) Рассмотрим по отдельности случаи з) р и з сб р.
Когда з) р, то, применяя (34) р раз, получим ) (з, р, (), г) = ( — 1)г о (з — !)(з — 2)...(з — р + !) ) (з — р, О, О, г) = — (и о-Р(1 и) ((и (30) ( — 1)Р+'Н Г (5 — рр о Интеграл в правой части есть интеграл Эйлера первого рода (бета. функнин), который равен (з+(1 — р)! г!/(з+д+г — р-1-1)! (см. 144]). Следовательно, прн з) р имеем (36) Рассмотрим теперь случай з (р. Применяя (34) з раз, получим 1(з, р, (), г) =-( — 1)'з(о — 1)...1(0, р — з„д„г) = =-( — 1)*з! )( — ) (ио(и — 1)')~ =О. (37) Подставим теперь (38) и (37) в (31) и введем такую новую перемен- 1 ную 1, что з= — (и — (и) ! 1.
Тогда 2 Ъ ( 1!о( Но (-о "+ + 1(' Ряд в правой части (38) есть разложение фуикпии /,ю(о). Поскольку и — т — четное число, то множитель ( — 1)* '" ""г' можно заменить на ( — 1)("-'о((о, в результате чего получим окончательно ( ') )(„(р) /,„(ор) р ((р =. ( — 1)("-"'(г' — "+' (39) о пгилол(анна о ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА, ПРИВЕДЕННОГО В Н.
10.7.3 Пусть 1(т) и В(т) — произвольные функпии, в общем случае комплексные, от вещественной персон иной т, и пусть ь — вещественный параметр. Тогда )Г ()+ля )'(( = ( (! Ья ) (1 +Ли)(( О, (1) или ) у (+), ~ (уд+) 3*) (т+Х ~ да*(т~с.. (2) Минимум етого выражения, квадратичного по !(, определяется дифференпированием, т. е. ~ (М+)'йго)((т+2). ~ 34(о((т=О. (3) 23' 708 пвиломсвиия Корень Л=Л,в„ уравнения (3) равен ) ()л-'-1*г')и ! Л иее й о ~ гг" гт Ясли подставить его в (2), то получим 14) .\ в 4($ Род '( $ аучд ~~(1 Чу+учао)с( ~. (6) Пусть (=.
ф( ) 8= гр'(т) гс (6) Тогда )У+(чйе.= т (ф"— „'+ф* г~ ) = т,' (фф*), (7) и (б) после интегрирования правой части по частям и в предположении. Чтр ") сфере — 0 Прн С Л со, ПрИНИМаЕт Внд в 4( ) т'фф*дт ~( д — гт гт с(т) ов( ) ффос(т). (8) Зто и есть требуемое неравенство. Раве~ ство в (8) пыеет место только в случае, когда выполняется равепсспо в [1), что возможно только при ) сс — Лгч, илн, используя (6), прн гр — = — — тф.
(2) Общее решение этого лифференшчального уравнения имеет вид тв ф(т) = А ехр ( —— 2Х г'' где А — постоянная, Пригодны только решения с Л:л О, пискалик~ в противноы случае чр(т) не будет обращаться в нуль на бесконечпост~. Следовательно, (8) становится равенством тогда и только яиогд, когда ф есть гоуииВии Глуха. (10) пиилолссннг в ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВУХ ИНТЕГРАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В П. 12.2.2 ев) В настоящем приложении мы вычислим интегралы (12.2.8) и 112.2.9). т. с. ( гс, = — Ег ') ') ') ~(рхр [~ (рх, +с)у,)) ( — /) с(г, ду,с(гп (2) ") Фактически вта условие всегдя выполняется, катав иитегрвлы в левай чести (а) сиоляеся (си.
14611. '") 11а Дврвия) (йт). пгндоэквжж 9 709 ГД1 я- чнхс»:ч*: (3) н ы* > с'р', Рассыотрим два случая, э именно: (а) 0<у<о', где д и с( — постоянные, а область интегрирования Ух представляет собой слой — <х, < — д<лд1 <б — д, — со .н, <оо, из которого исключена небольшая сфера исчезаюше малого радиуса с центром в начале координат х, ==д, =.г, =О. (б) д > 1( или д < 0; область интегрирования )», совпадаес со всем слоеы — ао <Х, <оо, — д.ыдт~д — д, со <»1 < ао. з(ля вычисления,», прпыеним теорему Гаусса.
эаиисанную в виде Б гйн О Л', = ) ( 0 Ю, (4) где б — произвольная векторная функция координат, п(п, и„. и,) — ах1- пичный вектор впешпеи ноомзли к поверхности сз„огрэняч1»нэющг11 объем Уы Положим и оЮ) ч ехр ~с(р»,+ер,+ — 1 0„=0 =О, 0„= —— »1 (б) тогда из (1) и (4) получим ый) ( ехр') (дк, + 4»сй ) "' д» и )»"'. 4п )) ) ( — ': схр (((рхт+ддз+ — )~ ( —,,— — )с(от з при а О. (7) Следовательно.
»», = —,, когда 0 < д < с(, ф1=0, когда д<0 или д>с(. Пре1чде чем вычислять Р„отметим, чпз интегрирование по исчезаюшс малой шссрс с центром в начале координат не дает никакого вклада. 1юскольху поды пггральное нь:рэженпе содержит только особенность порядка !))т. По.попу в случае (а), как и в сльчае (б), и) жпо интегрировать ') шрога1ана~ я, полсрляос;ь д, додж11»»ыть»ммкнбтоь; го»точу необхадзн" а рвссмэтряавть тн сс ак»эды от ы1»»снныч краев слоя. Однеко чтгнн вк»гдэмк мо1юю ~ рснгбрсчь по Эпм, еслнм сообргэхсняю1, та ьэк ях эффекты проявятся в исследуемых точках через Гн,1а~ ечпо болыгаг прочы1утол ерсчсня, Поско.1ьку и„— О на обеих сторонах (д, = — д и д, с( — д) слоя, то в слу.
чае (б) интеграл д»=Оч). В случае (а) мы дплжны также учесть вклад ог несюльшой сферй и, с центром в начале координат. Если и — радиус сферы, то и,= — »1/о, н этот вклад равен По пгя.чожкняя по всему объему слоя, т. е. У,= — „, ') ехр((уу,)-2'(у,)ду ° где ехр (1(рх,+ — )1 У (у,) = ~ ) — — с(х, с(зг. (10) (дыбсрем в (10) новые независимыс переменные р и )(, определяемые соотиоп1ен и я ми рх + с )с) (11а) (1! б) г1 = 1' р~ угг 5!п д с (г где д (х„г,] дх, дег дхг ~Ф, д(р, д] др дд дт др является якобианом нашего преобразования. Из (3) и (! 1а) находим др в х, У+ —— с Р (13) (14 а) а из (1(о] кмеем 51п у, дг, р ср р рг р. = ! (Р— Угг соз 2 = 1 Р— У» — гг. дт Кроме того, справедливо тождество (рй+ — х,) — (рх,+ — Р) = ~ ( — ) — рг~ )х! — дг], пли, используя (3) и (11а), (рр+ — ",,1= 1,У ®' — р )' — у*,—.( Из (13], (!4] и (15) следует, что д(с,, гг1 д(р, т] (146) 11 3] (10] Подставим теперь (1б) в (12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
