Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 186
Текст из файла (страница 186)
Пусть Š— вектор электрического поля, н пусть Е(х, у, з, !)=-Е'о(к, у, а, Г), когда Р(х, у, г, Г) <О, ( Е(х, у, з, !) .= Егм (х, у, г, !), когда Р (х, у. г, !) ) О. ) (1) Тогда Е можно записать в ваде Е = Е"'(Г ( — Р) + Е'"Ф (Р), (2) где (г' единнчная функция' Хевисайда (см. уравнение (!7) прнложения 4), пеиложвник 6 (6) (8) (9) йгаб Р.А —. 4яр(йгаб Е(, йгэд Е - ЛВ = О, Интересно отметить, что эти уравнения получаются формально Максвелла, если зачсннть векторы поля Е, Н, Г], В па разности ЛВ, величины ! и р на ! и р и дифференциальные операторы —, а дх ' операторы (! 4) (15) из уравнений бе, с)н, сы), д д д да' дс* дг —, —, — на дг 1 д. ! дР ! др ]егздл! дх ' )я с)Р! дс ' !я дР! гр !Падр! дс ' Пусть и„— единичный вектор, нормальный к поверхности разрыва и направленный из области Е'(О (индекс 1) в область Е:еО (индекс 2): к)ад Р (16) !агав Ё! С помощью (2) получим выражения для го1 Е, сйч Е, д Ест]С и т.
д., входя)пих в уравнения Макснелла. При дифференцировании суммы или произведения, содержащих разрывный множптсл!ь применим обычные правила дифференци- рования и соотношение (18) приложения 4 д — У(х) =б(х), где б — дельта-функция Дирака. Так, например, из (2) получим го1Е= У( — Е)го(Ен'+ У(Е) го! Еи' ' -г'[йгабУ( — Е)) хЕн'+(йгаб У(Е)~ хЕ"), (4) Далее имеем йгас( У( — Е) = — йгаб У (Р).= — — йгаб Р =-. — б (Р) йгаб Е, (5) дп (Р] др а из последнвх двух соотношений следует, что го1 Е = У ( — Е) го1 Еп) -)- У (Е) го( Е'и+ б (Е) йгаб Р 14 (АЕ), где с)Š— Еи) Еп) Аналогичным образом находим 61ч Е= У( — Е) гП)чЕп'+ У(Р) гНчЕ"'-1-б(Е) йгаб Р.АЕ, дн дао) дпи), дР— = У ( — Е) — + У (Е) — + 4 (Е) — АЕ.
дс ш ас дг Токи и заряды можно представить в таком же виде, как и векторы поля, однако если материальные параметры е н !1 терпят разрыв на поверхности Р = О, то в этих выражениях могут появиться дополнительные члены, содержащие поверхностнук) плотность тока ! и поверхностную плшность заряда о. Вклады от этих величин описываются уравнениями (1.1.17а) и (1.1.18а), так что в ре.
эультатс мы получим )=)п)(7( Е)+!)и(7(Е)+!]~лес]Р]б(Р), (10) р =- р и У ( — Р) —, р'" У (Е]+ р ! Вгад Е ] б (Г). (1!) Подставим теперь соотношения (6), (8), (9), (10), (11) и аналогичные соот- ношения для других вслторов поля в уравнения Максвелла (1.1.1) — (1.1,4]. Члены с индексами (1] сокращаются так же, как и члены с индексом (2), по- скольку по обе стороны от поверхности разрыва поля удовлетворяют уравпе- нняи Максвелла. Оставшиеся члены дают следующие гооптошения, сдазмдаю- щие разрывы яектороэ полл; йгас]ЕхЬН вЂ” —,—, Л)) —..
— ) ~ йгад Е), 1 дР 4лт (12) йгаб Р х АЕ+ — —, д)В = О, 1 дР (13) 702 и Риз аж яви я Введем также скорость о, с которой движется поверхность разрыва. Неболь- нюму смещенщо бг (бх, бу, бг) из точки на поверхности разрыва р(х, у, г, О =- О до точки пз соседней поверхности разрыва соатвегстнунг такое изменение вре- мени 61, что дуайр бг+ — 67=0, дР (17) В астнастьь для смещения вдоль нормали бг =:.
бзпхз, так что скорость вдается выражевием бх 1 ду о Ш ]щздд] д< Соотношсиия (12) — (16) можно записать тогда в виде '): п,ххлН+ — '60=-'— '], 116) (!2а) птяхйЕЛВО пы ЛУУ -= 4пр, псх 6В = О. (13а) (14а) (15а) Если разрывы векторов полей возникают из-за резкого изменения величии матсрнальных параметров е н р на поверхности Р(х, сд г) "= О, положение гагарой фиксировано в прбстранствс. то о= —. 0 и саотно!!сессия (!2з) — (1бв) сводится к уравнонням (23), (231, (19) и (16), проведенным з 6 1.1. 2.
Паве на движущейся поверхности разрыва. Рассмотрим движушутося поверхность разрыва, возпикщоспую из-за присутствия источника, внеэапяо вачнпающсга излучать. Представим эту поверхность в андо Р (х, у, г, <) = .,У (х, у, г) —. с < = О, 119) где с — скорость света в вакууме.
Векторы поля на поверхности разрыва мы будем обозначать маленькими буквами, т, е. е (х, у, г) =.- Е ~х, у, г, — 9'(х, у, г)~ 1 (20) *) Этя уртзевзя служат обсбшезкем сзстехыссотзошеянйлля разрывов полей, взвествмх, ьо-кклгчоь у, еые Хеяксяй су. Гы. тзкхсе 13! — 38! з, кроме того, !23а1 стр. 37 — 3! в !33].
Всгользусч( ~ злясь метьл яьескя этих урятяснкй ярвняхт>кят Иреммеру 1371. ""1 Моя яо тзкжс яокзззть, что е н Ь улсвлетеорякя теч жс урзхссСокян переносе <см. (3.!.41), <3.!.42)), что к комп;,екскые векторкьс вмплнтэлы полей к ге мехркче кой оясзкс. Этот результат быт впервые уствкйысеьс Лунебертох (34). См. также (23з! стр. !82 в 1381. лналогпчные вы]яжеппя справедливы н для других векторов поля. Палее, в области за движущейся поверхностью (скажеы, прн Р(х, у, ", О 0) пале равно нулю, так сто, соглгсно (1) и <7), имеем ЛЕ = — Е"' = — е и т.
д, Из ь:ятсриальиых уравпепнй (1.1.10) и (1.1.11) следует, что б=. ее„Ь = рЬ, и если положить ! —.— О, р = О, то из (12) — (16) получим йга с! К х Ь + ве = О, (21) ягаб Ухе<,ВЬ= О, 122) йгаб,У.е=О, (23) йгш] м' Ь вЂ”.О. (24) Втн уравнения формально совпадают с основными уравнениями (3.1.! 1а)— (3.1,14а) геометрической оптшсн. Следовательно, векторы погя ни депжуи<ейся псюерхносстси разрыва подчинлютсх осочка тссоссихс хсе урооиекилж, кок и сир,нани ткие тю з<хгжгни велпсссрсс полч е приближении геокетрической оптики, причем деижуи<еися, поверхности разрыва соопмжтствуют геометрические всмиозесе фронты "*). 703 пеиложванг 7 Очевилно, что движущаяся поверхность разрыва должна удовлетворять уравнению эйконала ('— '.")'+ (В'+%'="' (2о) где и» вЂ” вр. Это уравнение выводится так же, как и раисе.
Оно служит условием совместности уравнений (21) и (22) и следует из ьшх после исключсния (» или е и использования (23) или (24). Согласно (13), (19) и (2о] поверхность. разрыва движется со скоростью о = с'и. пгл «оженил' КРУГОВЫЕ ПОЛИНОМЫ ЦЕРНИКЕ В настоящем приложении будут более подробно рассмотрены круговыэ полиномы, о которых мы кратко говорили в п. 9.2.!. Эти полиномы были впераыс ВвЕдЕНЫ И ИССЛСДОВаПЫ ЦСрНИКЕ !39! в его важнои работс, посвищеннот« исследованию метода темного поля и фазового контраста; затем они изучались им и Брннкманом !401, а также Нижбером !411. Эти полиномы были позднее выведены только из требования ортогональности и инвариантности (421; в нашем изложении мы будем придерживаться в основном последнего исследования.
1. Некоторые общие замечания. Нетрудно показать, что существует бес» численное множество полных систем полпномов от двух вещественных переменных х и Гь ортогональных внутри единичного круга, т. е. удовлетворяющих условию ортогопальности ]ив(х «»)1чп(х У)«(х«У=А«вбиа ° (1) м-» м! Здесь У„> и Рю — два произвольных полинома системы, звездочка — комп. лексное сопряжение, б — символ Кропекера и А,з — ноомировочпая постоянная, которая будет определена позднее. Круговые полиномы Цернике отличаютси от полиномов других систем некоторыми простыми свойствачи инвэриантности, которые проще всего объяснить и рамках теории групп.
Однако с помощью своего рода нормировки можно избежать введения абстрактного формализма теории групп. Рассмотрим сначала такие системы полипомоп, которые «инвариантны по форме» относительно поворота коорди атиых осей вокруг начала координат. Такая инвариаятность означает, что при любом повороте х =хсОьф+Кз1ПР, у = — — хз1пф+усозф (2) каждый полипом 1'(х, р) переходит в полинол« такого же вида, т. е. при использовавии преобразования (2) 1' удовлетворяет следующему соотношению: У(х, у)=6(4«)У(х', у'), (3) где 6(«г) — непрерывная периодическая функция угла поворота гр с периодом 2п н 6(9) =.
1. )уллес, осуществление двух последовательных поворотов на углы ч», и «р„ эквивалентно одному повороту на угол «р, +гр,. Следовательно, из (3) следует„ что величина 6 должна удовлетворять функциональному уравнению 6 («р») 6 ( М = 6 («р + чъ») . (4) Общее решение этого уравнения, имеющее период 2п, хорошо известна *); 6(э) = ехр (6«р).
(5) ') С»ь, например, (43]. 704 пгвложнння Здесь 1 — любое пеппе число, положительное, отрицательное или нуль. Подставляя (5) в (3), полагая х' = р, р' = 0 и используя (2), получим, что )т должен иметь вид )т(рсовф, рв)пф) =)7(р)схр(дгр), (6) где Я(р) == )'(р, 0) зависит только от р.
Разложим теперь ехр(11р) в ряд по степеням созф н миф. Предположим, что т' — полипом степени п от переменных х = осозер и р = рз1пф; тогда из (6) следует, что 11 (р) есть колином по р степени и и не содержит степеней р, меньших )1~. Более того, )!(р) является, очевидно, четным илн нечетным полииомом в зависимости от четности числа 1. Система крргспых полииолоп Цериптс отличается от псех других подобных систем тем, что оиа содержит полинол для калсдой лары визлолелых значений л (степень) и 1 (угловая зпаеесилость), т.
е. для всех пелых значений и и 1, для которых л)0, 1:=' О, и ~1(, а и — ~1) — четное число. Обозначим произвольный полипом этой системы следующим образом: рн(р соя ер, р сдпф).-.- )('„(р) ехр(Дф). (7) Из (!) и (7) следует, что радиальпем лолимолеы (т'„(р) удовлетворяют соотношению ! ) Ж,(р) Ф ° (р) ре(р =а„'б„„, (8) и где л' (9) Для любого задашюго значения 1 ниткний индекс и может принимать только значення (1(, ) 1)+ 2, )1 ~ + 4, ... Соответствующая последовательность )(ш (р), Яш+е (р), )7ше,(р) ... получается путем ортогонализапии степеней 1 ! рп1 р,г ыз р~ пее (10) с весовым множителем р на интервале 0(р(1. Далее, поскольку в ПО) входит только модуль 1, то Л.' (р) =- ()'.й'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
