В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Однако это отнюдь не единственное преимущество, достигнутое с помощью иведения безразмерных переменных (или, как отмечалось ранее, с помощью процедуры «обезразмеривания» переменных). Константы уравнений (2.23) и (2,24) являются не только бсзразмсрпыми величинами, но и критериями подобия для процессов, описываемых уравнениями (2.9), (2.23) и (2.24). Гели прп изменениях коэффициентов К; безразмерные параметры б, у, б и нр остаются неизменными, то неизменной сохраняется и динамика системы. Иначе говоря, процессы подобны, если для них сохрагмпотся значения безразмерных параметров, входящих в систему. Ио и это не исе.
Третье существенное преимущество системы уравнений (2.23) и (2.24) закл1очается в том, что динамические персмснныс х и у также являются безразмерными величинами; с ними легче обращаться, в частности при применении численных методов. Очень часто безразмерные переменныс вводят так, чтобы они изменялись от 0 до !. Для этого в качестве хо и уо берут максимальиыс значения динамических переменных х и у, которые обычно известны.
Мы привели пример системы, состоящей нз двух уравнений, Для сложных систем, состоящих из болыпого числа уравнений, эффект «обезразмеривания» еше более существен. В заключение отметим еще одно преимущество «обезразмеривания» на конкретном примере. где Ез -. козффишингг диффузии; г -- концентрация молекул; сг и ог — окорили диижеяия молекул под доаствнем цыпробежного и элеьтростажшсского полон ~ о-.'" отиетствсиио.
ногин,и чугтгг ~ ~сиг!и грзвисписм играл!багги и ги д./он= — !!ой В двухмерном слу ше уравнение неразрывности принимает вид дс/д! =- — г!/х/дх — д/а/дс. (2,27)' !(одшояляя варах ения (228) и уравнение (227!. находим (2.28) дс / дзс дтс г дс дс д! (, дхт дхг,) ' дх дя В уравнении (2.28) целесообразно ввести безразмерные перемспныс. В эпгм слуше облчсть изменения независимых переменных можно привести к удобному виду. Итак, введем слсдувгцип безразмерные переменные: г;=с/сс., хг= Х/Е, за=7/К', Ге==!/т, где Е и К вЂ” размеры области.
н котороа определено уравнение (2,281. Урзвигинс !2.28) примет внд (в бсзразмс!ппяй псрсмснпыш дса веса дтса дса дса — — — -1- Р— — т — — '— дто дхта дама дхз дла ' (2.30) где а=-.0т/Ез, () — — Егт/Кз, у=ил//-, б=огт/К. Выбором т можно воспользоваться для упрошенпя уравнения В зависимости от пгжтаповки задачи можно убрать одну из констант у или б. 11аирнмер, выбрав т К/сг, (2.32) получим 8=1.
Уравнение (2.30) примет иид дса дтса дтсз дса дса — =а — 48 — -Т вЂ” — —. (2.83) д/а дхэа дяза дха дгз Обратимсн теперь к безразмерным константам (2 29), вяодппггм в уравнение (2.30), и рассмотрим отношение ()/а = (Е/К) '. !2.34) Как видно из (2.34], если ЕжК, то )) а! и, следовательно, диффузиеа вдоль оси 2 можно пренебречь. Таким образом, процесс «обезразмериваиня» указывает путь к существенному упрошеншо решения задачи.
Заметим, что анализ размерностей позволяет на самой ранней стадии моделирования установить безразмерные константы для рассматриваемого случая и их число. Основой этого анализа является так называемая П-теорема (читается «пи»-теорема). 2.3. РЕДУКЦИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ Другим эффективным инструментом математического моделиро- '3" вания является редукция систем динамических уравнений, т. е, уменьшение их числа без существенной утраты информативности. Сложные системы, обладающие большим числом динамических переменных, встреча!отея очень часто. Их исследование сопряжено 34 Пример 4.
Приведем пример системы уравнений, которая может быть редуппроваиа г/х!йн = К1 — Кзх; дхз/г// — (Кзх~)/(К4+хд Кзхз ~/хз/Ж= (К,хх,)/(К,+хй — К„х„; г/х~/ьг/ = — (Кзхз) /( К,зе кз) — Киль (9 35) 1!пжс приведены коэффициенты Кг системы уравнений (2.35), Все перемениыс и коэффициенты — безразмерны. Обозначение коэффи- К1 Кз Кз Кз Кз Кз Кг Кз Кз Км К~1 циеита Численные значении 18 0,3 16 0,2 0,25 1,2 0,8 0,5 1,9 0,7 0,6 коэффициента Как видно яз этих данных, в первых двух уравнениях коэффициенты К1 н Кз примерно в !О раз превышают коэффициенты Кз и Кз в двух последних уравнениях, Это различие еще более усиливается при малых значениях динамкческпх переменных хг: Кз/Кг=80; Кз/Кг=!,5; Кз/К~а=2,7.
Таким образом, два первых уравнения системы (2.35) описывают процессы, которые примерно в 1О рвз быстрее, чем двв последних. Воспользуемся такой особенностью системы и примем, что первые два процесса быстро достигли стационарных состояний, т. е. в соответствующих уравнениях можно пренебречь производными по времени. Система уравнений (2.35) примет вид К вЂ” К. =-о; (К,х, ) / (К, + х ~ ) — Кзх, = 0; г/хз/г/1 = (Кзхтхд /(Кг+ ха) — Кзхм г/х4/г/1 (Кзхз)l(Кю+хъ) К|1хз !!пчитсльными трудностями.
Это связано, в частности, с невоз» жностью применить к сложным системам методы качественной (ч! ! дифференции:п,пых уравнений (анализ бифуркаций). !)днако в ряде случаев оказывается возможной р еду к пи я и г г т! ы у р а в н с н и й, которая связана с анализом скоростей ир ~!ггч сов, описываемых отдельными уравнениями, входящими в : щ !г ыу. Гсли скорости одних процессов существенно превышают «о(цюги других, то более быстрые за короткое время (по сравнен!!ю с временем )становления равновесного состояния в мсдлени зч процессах) достигнут киазистационариого состояни.
Это значи!, что в «быстрыхэ уравнениях можно пренебречь производной ио времени: соотвстствукэшие уравнения превратятся из днфференц!альных в алгебраические (или трансцендентные). Следователь,ць динамические переменные, относящиеся к быстрым процессам, ю тут быть исключены пз уравнений, описывающих медленные !!ргзцессы. Все зто приводгщ к редукции системы. Метод рсдукщш кобгнно эффективен при исследовании болыпнх систем.
гдс 0 - козффнциснт Ллффулгн; г . концентрация и хихул, ." и; кор;и пг явижсняя молекул нол лсйствнсм цснтробсжнгно н тлс грдсгс~ижч жнг нотон, оотвстствсцоо Носиольхусхгсх ~снс)ч ураанснж и нсряжнцшоссн дс(д(= — йо~'. ( '28) В лвухмсриом случае уравнение цсразрывности ирнннмаст иил дс)д( =. — д)х)дх — д)х)дх. (2 27) Подставляя выражения (2.28) в урзвнсиис (2.27), находим дс / овс дгс ! дс дс д( ' (дг''д-"~ яд хд' (2.28) В ураанснно (2.28) цслссообразно ввсстн бсзразхггрныо нсрсмсниыс. В зтом сл».
час область измснеиия исзависнмых исрсмсиных можно орнвссти к удобному виду, Итак, введем слсхуюшив бсзразмсрныс нсрсмсиныс; сг-г)сг! ха'-"Х)!.. ть 2)К: М-бт, !",29) глс Ь и К вЂ” размори области, в котороз онрслслсжг уразы ниг (2.28!. Уравнсиис (2.28) иркмст внл (в бсз(чюмс(нгых исрсмсниых) дсб дгс„ огсз дсб дса — -„-х — (-(! —,, -.)в д(гг дхгб дхгб дхб д-б (2.30) Гас и=-От(ьг, 0-'От/Кг, у ож(!., 6 - згт(К. (2хн ) Выбором т можно воспользоваться лля унрошсння уравнсння. В завнсимосыг от постановки ззхнчн м окно убрать олиу нз консгант у илн 6, ()анримср, выбрав ( г 3 г! г.
Ктхы 2.3, РЕДУКЦИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ Другим эффективным инструментом математического моделирования является редукция систем динамических уравнений, т. е. уменьшение их числа без сущестненной утраты информативности. Сложные системы, обладающие большим числом динамических перемещгых, встречаются очень часто. Их исследование сопряжено 34 получим 6= !. Уравнение (2.30) нримст вил дсб дхсб гпсб дсб дсб (2.83) д(б дхгб ' дхгб дх» даб Обратимся тсиерь к бсзразмсрным константам (2.29), входящим в уравнение (2.30), н рассмотрим отношснна (Уц (ЕУК) г (2 34) Как видно из (2.34), если сл К, то ()ж! и, слсдоватольно, яиффузггсй вдоль оси 2 можно прснсбрсчь.
Таким образом, процесс «обсзразмврггванггяз указыааст путь к сужсстввняому унрошеняго рсшеиня задачи. Заметим, что анализ размерностей позволяет на самой ранней стадии моделирования установить безразмерные константы для рассматриваемого случая и их число. Основой этого анализа является так называемая П-теорема (читается «пиз-теорема). Пример 4. Нрнасдсм пример системы уравнений, которая мозкст бить редуцнрована з(х!)г)! =-- К ! — Кзх; о(хз)з)! = (Кзх!) ((К! -! хз) -- Кохо, Ихз(г((= (Кохзхй )(Кз-' х.!- Кзхз, з(хо)з(! --- (Кохо) ! (К!о -~.
х!з) — К! Фз (2.,'!5) Ниже приведены коэффициенты К! системы уравнений (2.35). Все переменим! и коэффициенты — безразмерны. К! К Кз Кз Аз Кз К! Ко Ко Кзо К!! Обозначение коэффи- циента Численные значения коэффициента 1 18 0,3 16 0,2 0,25 1,2 0,8 05 1,9 От 06 Как видно нз зтнх данных, в первых двух уравнениях козффнцненты К, н Кз примерно в !О раа превышают коэффициенты К, н Кз в двух последних уравнениях.
Это различие еше более усиливается прн малых значениях динамических переменных хз! Кз)К4 ВО; Ко)Кз=( 5, Ко)Км 2,т. Такий образом, два первых уравнения системы (2.35) описывают процессы, которые примерно в 1О раз быстрео, чем два последних. Воспользуемся такой особенностью системы и примем, что первые два процесса быстро достиглн стационарных состояний, т. е. в соответствуюших уравнениях можно пренебречь производными по времена. Система уравненнй (2.35) прнмет внд К! — Кзх! =О; (Кзх!) )(Кз+ х!) — Кохо 0; г(хз)з((= (Кохзхд!(К!+хо) — Кзч! Ихз(зй (Кохо))(Км-! «й — -Кнхз. (2.30) со значительными трудностями. Это связано, в частности, с невозможностью применить к сложным системам методы качественной 'зсо(зии дпффс)зснциальиых ураьиениЙ (анализ бифу(!наций).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
