В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В то жс Врем5! получсниьщ рсзул1таты иа Выбранной физической модели б) д)т г)дскватпы ре)з) льга гам, которые можно бьы!О Оы пол)чить прп нсслсдоиппщ оригинала, только в том случае, если при этом, как уже неоднократно нами подчеркивалось, соблюдается принцип подобия модели н оригинала, Для сравнительно простых процессов принцип подобия и физическое моделирование, базнрующееси на этом принципе, оправдывакю себя, поскольку в этом случае удастся обойтись !)Сраничепным числом критериев подобия.
Для сложных систем и процессов получается слишком большос число критериев подобия, выполнение которых становится затруднительным, а порой и невозможным. Принцип подобия наиболес* применим при анализе процессов, протекаюн!их в простых системах с фиксированнымн грз)щцаащ и описываемых точными законами физики и химии, т.
е. для детерминированных процессов с функциональной связь)о параметров. Для анализа сложных процессов, представля)ощих собою, как правило, стохастпчсскис процессы со статистической связью парам)*тров и характеризукпцнхся вероятностпычп моделями, примене. нпс фнзичсскоп) моделирования крайне затруднительно, а порой и практически невозможно.
В этом случае обращщотся к математическому моделированию. )Л, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ййатсматичсскому моделированию реальных обьск)ов посвящена обтириап литература, в которой обсужда)отея различные Сенс кты Э1ОЙ ПробЛСМЫ, Как Теорсгнг)ССКИЕ. )ИК П КОнгг))Е)пыге Под- 22 , !ы к решению задач математического моделирования в физике, !никс, биологии, физиологии, медицине, экономике и друг!!к ! '"' В рамках одно~о параграфа не представляется возможным полюо илн даже в существешюй мере охватить тему, стоящую в 5аголовкс. 11оэтому сосредоточимся только на некоторых во!;!, Сзх, которые, с одной стороны.
важны для практического моде!! !«5и55иия, 5! с 55ру5ОЙ, сраки!!тел! Иг! »!а!!О Осв!.'щ!.*Иы в современной !",;пой литературе, посвященной математическому моделирова- Математн !еское мод5лировапис яиляс5ся типичной дисциплн!О5!. иаходящеися, как сейчас часто говорят, «на стыке» несколь. > наук. Лдг хватив!! ыатсмазнческа5! модсл!. Ие может бьггь соз.!„на без глубокого знания того объекта, ко!орый «обслуживается» :, !«магической моделью. Иногда высказывается иллюзорная пап ~!Он!, ч5О матсматичсскзи х|одель можс! быть создш5а совместно О„.г»!азино~5, пе зна5ощим объекта моделирования. и специалистом и;, «обьскту», ие знающим математики. Для успешной деятельно- : !» в области математического моделирования необходимо знать ,!5к математические методы„так и объект моделирования, С этим !!: !ано, например, наличие осогюй специальности — физик теоре!ик, Основной деятельностью которого является математическое :О,5елированис в физике.
Раз55е55снис специалистов на теоретиков зкснсримситато15оп, утвердив!несся в физикьч несомненно прои ойдет и в других науках, как фундаментальных, так и при:. л а д и ы х. В гл. 2 будет уделено внимание методологии математического !5О55слирован555!. В частности, будут рассмотрены методы введения б! зразмерных переменных, которые не только облегчают решение ядзчи, но н являются основой для установления критериев подобия, а также анализ нелинейных процессов, роль которых в современной науке и техннке невозможно переоценить.
Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, нх Общая классификация затруднена, В литературе обычно привод5п классификации, в основу которых положены различные подходы. Один из таких подходов, приведенный в й 1.1, связан с характером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и !.Сроитностныс модели. 11аряду с такой широко распространенной «55ассн515икацисй математических моделей существуют и дру5ч5е.
Классификация математических моделей на основе особев5юстей применяемого математического аппарата. В пей гнпкно выделить следующие их разновидности. Математические модели с сосредоточенным и и а р а и е т р а и и. Обычно с помощью таких моделей Описыва5от динамику систем, состоящих из дискретных элементов.
С матемагнческой стороны — это системы обыкновенных линейных пли пели!и йпых дифференциальных уравнений. Матса!этические модели с сосредоточенными параметрами щи!!око применяются дл5! Описания систем, сост05нцих из днск1эетных зз обьг кггщ нлг! г огюк> !>гюсп>Й иден гиг>иых обье«тов. Нанр>гмср, ши-:., рг кг> и г>гсп, Петен дннаьшчсская модель полупроводникового ла- ~ н рп 1! ыон )ы> голи фнгуриругот две дицамигюскис нерсмснныс — ! конши>рпннн псосновных носителей заряда и фотонов в активной ,го>>г ,гг!> гг'!гг>. П слу шс сложных систем число динамических псремснцых и, с,юнона!сльно, дифференциальных уравнений мо>кст быть велико (до ПП ...
10з). В этих случаях полезны различныс методы рсдук- . ннн спсгсмы. основанные на временной иерархии прог>гссогь оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными 'р '.д них и др. Метод последовательного расширения модели, как будет пока- 1 заио и гл. 2, может привести к созданию адекватной модели слож- ~ ной системы. Математические модели с распределенными, параметрами. Моделями э~ого типа описываются процессы ' диффузии.
теилопронодностн. распространения во.гн разли пюй природы н т. н. Эти процессы могут быль нс только физической 1 природы. Математические модели с распределеннывги параметрами широко раснространены в биологии, физиологии и других науках, Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения математической физики, в том числе и нелииейныс. г Математические модели, основанные на экстремальныхх принципах. Общеизвестна основополагающая роль принципа наибольшего действия в физике. 11анример, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из экстремальных принципов.
Однако и в других науках экстремальные принципы играют существенную роль. Экстремальный принцип используется при апрокснмации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое изображение такой зависимости и конкретный вид аналитического выражения, описывающего эту завнсимостьч определяют с помощью экстремального принципа, получившего название метода наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого закл>очается в следующем. Пусть проводится опыт, келью ноге~рого янляется исследование зависимости некоторой физической нелнчнны У пт физической величины Х. Прелполагаетсн, что величины х и р связаны функнпональной ааансямостью д=ф(.г) (!.28) Вггд зтай зависггьгг~стгг и треб>стоя опредссштг, иг опыта. Предположим, что н результате опыта получи,ш ряд зкспсримснтгаьных точек п пзсгроили графнк зависимости и ог х (рнс.
!.6). Обычно зкспсрнменташ вьгс точки пз таком ~ рш)гикс расггозггг~ аштся не совсем правильно, дашт нскоторый разброс, т. с, обн,>ру кивают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения снязангя с невчбсжпымп прн всяком опыте шинбкамн измерения. Тогда возншгагт тини>пня для практики задача сглаживания зкспсрнмснтальной зависимости, для решения атой задачи обычно нримеиягтся расчетньгй метод, известный под названием метода иачмсиьшнх квадратов (плн метод Гаусса). Этот метод йл Рпс.
1.6. График зависимо сти у от х у н :шет возможность прп зздапном типе зависимости у=а(х) так выбрать ее число-. зые параметры, пабы ьризая у=О(х) наг!лучшим образом отображала экспсрнгшитальные данные. Вопрос о зыборе типа этой кривой часто регпзется пепосредззенно по зиешисму зпду экспериментальной зависимости. Например, экспери.
,гитзльные точки, нзобрзжепные на рнс. 1.6, инно наводят на мысль о прямо" . писаной зависимости зада у=ах+Ь. Очень часто вид зависимости (линейная. ьзадратичпзя, показательная и т, д.) бывает изнестеп из физических соображении, гзязанных с существом решаемой задачи„н нз опыта тргбуется устзновить только некоторые параметры этой зависимости (коэффпциенты, например, а я Ь). Вернемся к методу наимепшппх кнздратов. При этом методе требование паз ~учшего согласования кривой у=-гс(х) н экспериментальных точек сводится к. 1ому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаэкиззющсй кривой обращалзсь н минимум.
Пусть зксперпмоитальиая величина у' имеет следующие значения: у,', уз', ..., ь,', ..., у„'„а общий иид функции, зависящий от нескольких числовык параметгоз а, Ь, с, .. может быть записан кзк у6 ф (х; а; Ь; с; .. ). (1.29) 1огдв по методу наименьших квадратов требуетси ныбрать параметры а, Ь, с, ... зк, чтобы выполнялось условие ~ЧР~ [У'à — т(Х!! а! Ь; С! ...)[Зт Ш1П. Найдем значения а, Ь, с, ..., обращающие левую часть выражения (1.ЗО) и минимум Для этого продифференцируем ее по а, Ь, с,... и приравняем производ.
пые нулю з ~чР~ [угг-т(хг1а, ь,с, ...)) !1 — ~ =О, ~Р [у'! т(хг,а,й,с,...)[~ — [ =О, 1=! ~, '[угт — у (хг! а„Ь, с, ...К ~ — ) =-О, (1.3!У ~ де (дгр/да),=гр,'(хи а, Ь, с, ...) — значение частной производной фушоцги ~! по параметру а в точке х;; (д<р[дЬ); и (г)гГГдс)г вычисляются аналогично. Система уравнений (1.31) содержит столько хге уравиегшй, сколько псизвгсгпыха,Ь,г,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
