В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако в ряде случаев оказывается возможной р е д у к ц и я с и с т е и ы у р а в и е н и й, которая связана с анализом скоростей процессов, описываемых отдельными уравнениями, входящими в снег!му. Гслн скорости одних процессов существенно прсвышазот скорости других, то более быстрые за короткое нремя (по сравнению с временем установления равновесного состояния и мсдлснньзх процессах) достигнут квазистационарпого состояни.,=)то значит, что в «быстрых» )раз!пениях можно пренебречь производной по времени: светит!!стоу!вшие уравнения превратятся из дифференциальных в алгебраические (!!ли трансцендентные). Следовательно, динамические переменные, относящиеся к быстрым процессам, могут быть искл!очены из уравнений, описывающих медленныс процессы.
Все это приводит к редукции системы. Метод редукции особенно эффективен при исследовании больших систем. Далее следует рспють псраыс два алгабраичесиих ураапсппя гпсггмы (2ЗП) х ~ = К1/Ка., ха= [КаК~)/Ка(К +КаКч) =-б. Подставляя полученные рсгпспня во вторые два алгсбраичссяис ураписипя системы (2.26), получаем слсдуюпгую редуцированную систему; пх/аг(/= пх4 — Каха' г(хч/г// (Каха)/(Км+ха) — Кг1хч (2.37) гггс о =КВЬ/(Кг+б). Таким образом, в результате редукции, основу которой составляет теорема Л. Н. Тихонова, мы ггригпли к системе двух уравнений.
Ее анализ значительно проще, чем исходной системы, Приведенная методика редукции системы динамических уравнений предполагает предварительное исследование временной иерархии процессов. Иногда это исследование затрудняется из-за наличия и системе нелинейных обратных связей. Следует иметь в виду, что обратпыс связи могут окнзывать влияние на динамику системы со значителышй задержкой во времени. В итоге, разработанная математическая модель должна быть адекватна иссле/(уемому процессу. Это означает, что результаты, следующие из математической модели, должны соответствовать данным, получаемым путем измерений исследуемого процесса.
2гк АНАЛИЗ МОДЕЛЕЯ Альберт Эйнштейн, по попону соответствия тсории и эксперимента, отмечал, что экспсрименг и большинстве случаен говорит теории «нет» и только в редких случаях — «может быть». Расхождение между модельными результатами н данными иабл>олений всегда существуют; можно считать, что эти расхождения являются мерой пеадсгчватности модели. Во многих случаях математическая модель даст только качественные опнсания реального объекта.
Однако нс следует думать, что это слабый результат. Знание особенностей поведения системы (например, бифуркаций — существенных изменений динамического поведения) вносит значительный вклад в поннмщпк. исследуемого процесса. Качественное описание объекта иплщггся первым этапом. Оно должно быть дополнено количественным описанием, т.
е. моделированием с высоким уровнем адекватности. Наиболее высокий уровень адекватности достигнут прп математическом моделировании многих физических процессов. Однако к высокому уровню алсюгатггости нс всегда целесообразно стрсмитьси.
Следует иметь в виду, что чем выше уровень адекватности, тем сложнее математическая модель, обеспечивающая этот уровень, и, следовательно, труднее ею пользоваться. Часто возникают ситуации, в которых лля численного решения задачи оказываются недостаточными иьгсгощиеся средства вычисли- 36 (2.39) тельной техники. В связи с этим возникает необходимость построения «конструктивной» модели, которая обеспечивает разумную в данной ситуации адекватность н, в то жс время, достаточно компактна и допускает числснныс решения с использованием современной вычислительной техники.
Иными словами, требования высокой конструктивности и адекватности нс мщ ут быть одновременно удовлетворены. Здесь необходим поиск разумного компромисса. При создании математической модели использ)чотся экспериментальные данные, харгоктгрг1зуюп(пс объект. Например, это могут быть данные, характеризующие отдельные процессы, а также схема системы, как целого. В таких случаях иногда ошибочно утверждают, что математическая модель не может дать ничего сверх того, что в пес первична заложено на основе экспериментальных данных.
Этот неверный взгляд часто приводит к недооценке роли математического моделирования. В действительности математические модели обладают предсказательной способностью; пз них следуют результаты, которые не были первично заложены и не могут быть получены путем непосредствешюго осмысления экспериментальных данных. Прсдсказательные свойства математических моделей особенно ярко проявляются при моделировании больших систем.
Л н а л и з б и ф у р к а ц и й (метод качественной теории дифференциальных уравнений) играет большую роль прн разработке математической модели, Этот метод позволяет анализировать поведение динамической системы, не получая ее решения. В результате устанавлквают наличие бифуркаций — существенных изменений поведения динамической системы, а также параметры этой системы, при которых возникают бифуркации.
Бифуркации могут проявляться в виде пороговых эффектов. Это явление наблюдается, например, при функционировании лазеров. Большую роль играют также бифуркации, прн которых система входит в колебательный, точнее, автоколебатсльный режим. Особенностью автоколебательного процесса является отсутствие внешней возмущающей силы. Автоколебания являются следствием внутренних свойств нелинейной колебательной системы. Мы познакомимся с, анализом бифуркаций в нелинейной динамической системе на конкретном примере.
Пример 5. Рассмотрим днвамнческуоо систему, поторая описывается двумя обыкновенкыми нелинейными днфференннальными уравнениями первого порядка г(хо(о((о= уз((1+уз) — ха', г( уз(о((о = ало ( уо(б+ у) — ау,, (2.38! В системе (2.38) введены безразмерные переменвые. Стационариые состояния, Обычно анализ системы начинают с установления ее стационарных состояний.
Это сделать легко, приравняв нулю производные по времена в системе (2.38). В реаультатс получим «о = уа(( 1 — Уо); суа=.охаро((Ь+уа). Решая систему алгебраических уравнений (2.29), иаходям три "пи>иии»ри>эх состояния (иря;этом все иер>чеииые являются бсзразмерными). х>,=О, бы=О; (2.40) а /'/а чх — — 1-Ь - ~/ ~ — — ! — Ь~ -аь с с а >> /а — — ! — Ь+ ~/г ~ — — 1 — Ь) — 4Ь с (е Узз -=М Ухз Л>»= 1+Уз> (2 41) Уз« !+Уз« (2А2) гле индексом з обозначены стационарные точки. Во миогих областях науки динамические иеремевные могут быль гальки дсй. ствительиыми я иоложительиыми величииами (концентрации веществ, дефектов носителей, заряда кластероа или числа иекоторых объектов и т и.).
В чточ случае из выражений (2.4!] и (2.42) следует условие, свизыва>ощее параметры системы а/ — )--Ь~ЗУЬ. (2.43) Смысл уелоащ> (2.4З) зависит от особсниост> и зада'ш Очень часто среди изряметров системы можио видеть величины, к>щ характера >уюц>ие свойсп>а системы, так и оиредслиющие ввец>исе воздсйствщ иа систему или ее взаимодействие с другими системами.
Прсдиоложим, что в рассматриваемом случае параметр а характеризует виешиее воздействие иа систему, другие же иаркметры (Ь, с) характеризуют свойства системы. >игла условие (АЗ) имеет следующий смысл: система имеет больше одного стационарного состояния, если а м (1 + Ь+ 2уЬ) с. (2.44) Иными словами, сущее>и)чт >иорог актинащ>и» системы „.«=(! ЕЬ +2уЬ)с (2ДЗ) >2>/«»(/» =-1 (х«, р«); >(х«~///«- >!'(х«, д«), (2.46) Будем искать рсшеиие в вяЛе (оиуская в д>лыийш>м зизк щ эра»мерзости) Р= — >/>, Ь>1; х.-хочу; (2.47) при $ кхы, >! кдо, где хго У>,— стацяоиариая точка с номером /; й и ц — откловеивя от стзциоиарвых точек х,ч и уы соответственно.
Система (2.46) после лииеарязаили примет вид >/>уг/т.=ам» +а>2>); >(ьй(к=ам я+а>»)' (2.46) такой, что ири иревышеиии вис>ииим но>кейсы>исм лого порога, т е ири аща„« система выходит из нулевого стзциоизрног > состою>ня и ио и>иаст «фуикциоиирг>- вать» При а>а»»> система имеет двя а чу.>сны» гтщпщнариых саста>и>из, т. е.
является бистабильиой. Для того, чтобы иолу игп, болыаун> ииформщпио о динамическом иоведеияи системы исоби>димо исслсд>шзгь усгойчивость сс стационар ных состояний. Устойчивость стационарных состояний. С>зциоизри»я п>и,з являлся //с>ойяааой, егля ири любом, как угодно малом, отклонении >ы стационарного состояния она возвращается в него Ес»и ке ири малых отклоисищ>х ог стяциопариого состояния система улаляется от него, то такое >остояиис ивзыизстсн чгуггойчиомм. Отсюда слсЛует, что для оирсделщшя у»>ой >ииогти аоста>очно исследовать малые отклс>кения от стационарного состояиия, т. е.
изучить иоиедеиие сис>смы, лииеаризироваииой вблизи стациопариой точки. Линеаризируем систему двух урзяисинй вида где с)р) бр ~ - гз =-Ь (2.49) дф лю=- — (з=.г1 бу - гг Вф лэг г .ггэ бл ~ =ы Р. гь нпем системы (2.48) будет: 5 = Ась', Н =- Ве"' (2.50) Подставив (2.50) в ураннения (2.48), получим систему уравнений, пз которых можно найти ионстанты А и В (ап- Л)А-ьаиВ=О; амА+ (ам — Л) В=О. (2.51) Система (2.511 имеет ненулевые решеа~я, если се определитель равен пулю Лз-- (пп-гам) Л вЂ” а„ам апа,з=-О. (2.52) Знаки корней уравнения (2.52), называемого характеристическим, опредгляьн устойчивость стационарных точек В нашем случае характеристических корней два: )и и Ль а решение для отклонений от стационарных точек имеют внл ,'=А, е " -1.
Аз е' г; И- В, е '+ В» еыг. (2 53) Из решений 12.53) видно, что при Л~>0, Лз>0 стационарное состояние неустойчиво (елклонения растут). В протввоположиом случае Лг<0, Лз<0 — стационарное состояние устойчиво Случай Л,>О, Лз<0 или Л~<0, Лз>0, т. е. при различных знаках характеристических корней, требует особого рассмотрения, зто стацнонзрлгк состояние яв.чяется неустойчивым. Вернемся к системе (2.38). Для этой системы коэффнцневты аы прннима. ют ннл пуег . н-гггй й+УГ (й+Ут )э Пользуясь выражениями (2.54), приходим (2.52) в виде 1 а:,= аээ — - — 1. (2 54) (1+угг)э к характервстическому уравнению Лэ+ (1 — — '+с~ Л вЂ”, +с=о. I нйлг,г 1 лум (5+ум)э ! (1+у„) (5+у„) (2.55) Подетанляа последовательно в (2.55) стационарные точки (2.40) — (2.42), определяем знак действительной части характеристических корней для каждой ста.
пионарной точки. В результате находам, что при всех положительных параметрах уравнений (2.40) — (2.42) . первая стационарная точка устойчива Л, <О, Лз<О; вторая стационарная точка неустойчива Л,>0, Лз<0. Такое стационарное состояние называют седлом. третья стационарная точка устойчива Л~<0, Ля<0.
Получевиыс результаты происняют динамические свойства системы. Имея дэе устойчивыс стационарные точки (узлы), она является бистабнльной, Чтобы перейтн к следующему этапу исследований, нужно построить так называемый фазовый портрет системы. Фазовый портрет снстемм уравнений (2АО), (2.4!) в (2,42).
Решение динами. ческой системы представляет собой зависимость от времени всех динамических 39 Приведенный нример фазового портрета являетси частным случаем, который нс исчерпывает всех возможностей динамического поведения. Если корни характеристического уравнения являются комплекспымн (стационарная точка в этом' случае называется фокусом), то система может находиться в колебательном режиме Этот процесс может быть затухающим или незатухающим в зависимости. от заика действительной части характеристического корня. Вс,зи фонус неустойчив, то траектории могут не уходить в бесконечность, а образовывать на фазовой плоскости замкнутую кривую, называемую «предельным цикломз В этом случае в системе возможны незатухающие колебания, КОНТРОЛЬНЫЕ ВОЗРООБ! !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
