В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ченпого э соответствии с уравнением (3.12). Поэтому продолжать движение в прежнем направлении не имеет смысла. Целесообразно поставить вовую серию опытен с центром в точке 4 (как имеющей наилучший результат) п найти новое направление для движения к экстремуму, Симплексный метод, Симплексом называется К-мерный выпуклый многогранник, имеющий К+1 вершин. Симплекс называется регулярным, если все расстояния между его вершинами равны, Симплексом нулевой размерности является точка, одномерным снмплексом — отрезок прямой, двумерным — треугольник, трехмерным — тетраэдр и т. д.
Во всех рассмотренных ранее методах оптимизации можно выделить пробные эксперименты, прсдназнеченныс для выявлении направления движения, и рабочие шаги, выполняющие продвижение к экстремуму. Особенностью симплексного метода оптимизации является совмещение процессов изучения поверхности отклика и продвижения по ней к экстремуму. Это достигается тем, что экспе- рименты ставятся в точках факторного пространсюш, соответствующих вершинам симплексов.
Действительно, после проведения исходной серии опытов, поставленных в вершинах правильного К-мерного симплекса выявляется точка, соответствующая условиям, при которых получакпся наихудшие результаты, Далее используется важное свойство симплекса, по которому из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин, получить новый, заменив отброшенную вершину ее зеркальным отражением относительно протявополо>кной сга грани (гранью называют совокупность К тачек К-мерного прас>ранства), Если теперь отбросить точку с наихудшими результатами и построить на оставшейся грани новый спмплекс, то очсви><но, что центр нового симплекса будет смещен в направлении: худшая точка — центр тяжести остальных точек, или иными словами— в направлении к экстремуму (рис.
З,б). Затем процесс отбрасыва»пя вершины с наихуцшим зиа и»и< и юле»ой функции и пастрое. ния нащ>га симплексз пав<ар»ется. 1:,гли >па <е»»е выха>ш в»~>вай вср>цинс <»оза акая>ется ив»хул<цим, та н>жиа вернут<~си и <<схоцному снмплексу и отбросить слелующую по парнику вершину с плохим результатам. В результате этаж> образуется цепочка симплсксов, перемещающихся в фактор»ом пространстве к точке экстремума. Таки«абра>ом, ишаке»»с к экстремуму осущсствл»ется путем зеркальна<а а<р»,кс»»» точки г нвихуд<н<>х<и результатами отно<.п>ельца центра прот»иополажпой грани спмплекса с (К < !)-й вершиной, Условия прове,<ения опыта и отраженной точке опредслшагся выражением х<х<з»=2лм <-х»<, где <'=.=.1, 2, ..., К; х„« — -я координата точки с наихудшими результатами: хм--- <Х» координата центра противоположной грани, которая определяется по формуле <ем< > (3.!5) К х<хчз>,— <-я координата новой точки, получаемой в результате зеркального отражения точки с наихудшими рсзулш ятями.
В числителе (3.15) суммируются коорлинаты всех точек спмплскса с (К+1)-й псрц>иной, кроме коорлинаты точки с наихудшими результатами (<=-н). Новый К-мерный симплекс получается иэ оставшейся грани добавленисз< к ней отраженной точки.
Следует подчеркнуть, что это перемещение к экстремуму происходит с каждым экспериментом, Исказителем»ыхо.ш в район экстр<и<ма слуя<пт яр<крап<си»« паступвтгль»ага движения снмплекса и начала врвщсппя с<о вокруг одной из вг<и»»н, т. с. одна и та же тачка по<лоло»аз> зьно <цпрсчастся более чем в (К+!)-х симплексах.
Следует паичеркнуп„па напра»,»»ие движения к оптимуму, определ»смог с ца- во мощью симплекса, является в общем случае не самым крутым, траектория движения в этом случае представляет собой ломаную линию, колеблгощуюся вокруг линии наиболее крутого восхождения. Следует подчеркнуть, что снмплексный метод является прежде всего методом оптимизации, а не исследования объектов. 3.2. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРИ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНОИ ПОВГРХНОСТИ ОТКЛИКА При применении на практике рассмотренных выше методов оптимизации следует иметь н виду, что выбор начальной точки исследования, размер и изменение шага движения, общая стратегия оптимизации должны определяться исследователем с учетом конкретной ситуации, априорной информации и сложности исследуемого объекта.
Многоэкстрсмальность поверхности отклика, налнчис глобалгн ного (главного) н локальных (частных) экстремумов значительно усложняют процедуру поиска оптимума н могут принести к ошибке при его нахождении. Для исключения возможности окоичаняя поиска в локальном экстремуме наиболее интересной является методика, основанная на организации движения из нескольких пачальных точек. Следуст отметить, что в этом случае значительно увеличивается обьем эксперимента. При реализации этой методики возможны следующие ситуации: поиск по всем маршрутам закончился в одной точке; движение закончилось в разных точках (рис.
3.7). При реализации методики движения к глобальному экстремуму нз нескольких начальных точек, при первой ситуации, можно говорить об эффективности пояска н о достнжспнн с большой долей вероятности глобального экстремума. Когда движение зацикливается в разных точках факторного пространства (вторая ситуация), то наиболее эффективным выхо- Рчс. 3.7. Нпкск глобального (шинного) экстре мума няп льнлнонкн нк нсскгюькнк нк ~ольнмк точек ькспернмепть (1, 2, 3) дом является проведение исследованкя в областя, охватывающей достим утые локальные экстремумы (один из ннх может быть глобальным). 1(елью такого исследования должно быть получение ма~ематической модели, которая позволила бы описать много- экстремальную поверхность отклика. Построение модели для отыскания глобального экстремума является наиболее эффективным путем решения задач оптимизации для любых видов поверхностей отклика. На практике исследователю, как правила, на первом этапе надо найти область, близкую к экстремуму, а затем уже строить модель для нахождения экстремума.
Задача первого этапа решается рассмотренными выше (3 3.1) методами поиска оптимума. Методика поиска оптимума с использованием модели второго порядка рассмотрена в гл. б, При исследовании некоторых процессов не удается достичь экстремума, поскольку движение к нему наталкивается па ограничения по одной пли несколькнм независимым переменным. Здесь исследователю необходимо либо расширить (если это возможна) факторное пространство путем замены оборудования, материалов и т. д., либо рекомендовать в качестве благоприятных режимов,те точки, которые лежат па границе факторного пространства. Но и в этом случае задача оптимизации эффективнее решается с помощью математических моделей и, в частности, с помощью имитационной модели, представленной в виде полинома.
ЗЗ. ОБОБЩГИИЫИ ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАПИИ г(=0,63: 1 — 1/е; гг'= 0,37 = 1(е. (3,16) (3 17) Бд Исследоватсл|о, занимающемуся оптимизацией процессов, часто бывает необходимо решать задачу с несколькими различными выходными параметрамн процесса — функциямн отклика (у); каждый параметр имеет свой физический смысл и свою размерность. Одним ич наиболее удачных методов решения задачи оптимизации в этом случае является применение функции желательности, предложенной Харрингтоном, используемой в качестве обобщенного критерия оптимизации. Для перехода к обобщенной функции желательности (О) необходимо преобразовать натуральные значения частных откликов н безразмерную шкалу желательности нли предпочтительности (а(). Назначение шкалы желательности — установление соотношения между натуральным значением функции отклика (у) и значением частной функции жглателышсти (г().
Наиболее часто используемый вариант шкалы желательности имеет интервал от нуля до единицы; значение г(=-0 соответствует абсолютно неприемлемому значению функции отклика, а Л=-! — самому лучшему его значенн|о. Принятые отметки шкалы желательности приведены ниже. Уровень отметки шкалы желательности объясняется удобством вычислений Колпчестаенные отметки по шпале желательнпстн Желательность 0,80... Ц00 0,63... 0,80 0,37... 0,63 020... 0,37 0,00... 0,20 Очеаь хорошо Хорошо Удоя««етнорительно Плохо Очень плохо Преобразования с помощью шкалы позволяют привести любую функцию отклика ('У) к безразмерной величине.
Простейшими вариантами преобразования являются такие, когда иместсн верхний и нижний пределы отклика (двусторонние о«раничепия) «(=Π— +д(д«тт!п~ у~успех, (3.(3) «(=. ) +Рп««п(р(9«пах. Аналогично дла одностороннего ограничен«ш (««гтг«(т««з«ер, нижнего предела) (=б, у<у,пнн С(=(„р- ртах. Однако часто бывает трудно провести четкую границу параметра качества: годен — не годен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
