В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Черед!>панис знаков в этом столбце соответствует результату перемножения безразмерных значений двух других факторов (Х, н Ля), т. с. остается неизменным после замены символов в матрице планирования, которая после введения в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора, изменяющегося согласно столбцу х>охая Г!ФЭ (табл.
4.1), а предполагаемая математическая модель будет иметь нид полинома 1-го порядка, ис учитыва>ощего взаимодействия факторов, т. е. У=Ьо+Ь>Х>+ Ь,Х,+ЬзХз. (4.9) Такой сокращенный план содержит половину опытов от требуемого нх числа 2' согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре опыта вместо восьми) и называется п о л у р с п л и ко й от ПФЭ типа 22.
Условное обозначение такого плана; ДФЭ типа 2' ', где й — число учитываемых в эксперименте факторов; э' — число взаимодействий, замененных факторамн, учитываемых в эксперименте. Для рассматриваемого случая трех факторов Хь Хэь Х, матрица планирования ДФЗ типа 22-'(хаа — — хэвхзв) будет иметь вид ээвмвр вввэвв ввв 1 2 з 4 И! Дв яв У! Хэь = Хтахза, хтл = К ! бхзэь ХЗВ = Х! ВХ2В. (4.! О) Поэтому подсчптываемыс в дальнейшем (см. гл. 5) значения линейных коэффициентов Ьэ, Ь2 и Ьз полинома по экспериментальным значениям функции отклика будут всегда включать также значения коэффициентов, учитываэощих эффект влияния взаимодействия факторов на функцию отклика (в нашем случае — это коэффициенты Ьэз, Ьэ, и Ь2,).
В результате этого подсчитанные значения коэффициентов полинома (4.9) фактически будут иметь следующий вид: Ьв 67 Приведенное планирование эксперимента даст возможность прн обработке и анализе его результатов оценить в полнпомс (4.э)) свободный член Ь„и коэффнциевгы прп линейных членах Ьь Ьз и Ьв. Однако пРи этом пРедполагаеэсн, что коэффициенты Ьоь Ьгь Ь22, Ьэ22 в полиноме (4.4) равны нулю.
Поэтому составление такой матрицы планирования эксперимента возможно лишь и том случае, если полностью отсутствует или пренебрежительно мало влияние на функцию отклика эффектов взаимодействия факторов исследуемого процесса. Только в этом случае матсматичсская модель, представленная полиномом, в котором отсутствуют члены, учитывающие эти взаимодействия (так кш соответствующие нм коэффициенты равны нулю), может быть адекватна исследуемому процессу. При использовании матрицы планирования ДФЭ нужно всегда помнить, что мы получаем совместнуэо оценку нескольких эффектов: факторов и их взаимодействий.
Действительно, Ь 1=111+ЬЯЯ, Ь'я =-. Ья+ Ьив Ь Я=ЬЯ+ЬГГь (4.1! ) Пммяя апмтх хп УГ УЯ Уз УГ где где ЬГ, Ь, и ЬЯ вЂ” действительные значения линейных коэффициентов полинома (4,9); Ь'1, Ь'я в Ь'3 — полученные их зяачения при наличии эффекта влияния взаимодействия факторов на функцин1 Гпклика. Вот почему.
для получения математической модели вида (4.9), адекватной исследуемому процессу, необходимо быль уверенным в отсутствии эффекта влияния взаимодействия факторов на экспериментальное значение функции отклика, Только при этом условии подсчитанные коэффициенты Ь'1 будут искомымн значениями линейных коэффГГциентов Ь,.
Если это условие нс выполняется, то найденные значения линейных коэффициентов Ь'; будут отличаться от действителын>го значения Ь, иа величину коэффициента ЬГп учитываГощего эффект влияния парного взаимодействия двух других факторов (4.11). Этн эффекты не могут быть раздельно оценены при планировании, состоящем только из одной полурспликн!!ФЭ. Если вернуться к нашему случаГо исследования процесса, в котором учнтываГотся три фактора, то проведение четырех опытов было достаточно для оценки четырех коэффициентов (вклГочая свободный член ЬЯ) именно дли маГсм;ыичсской модели вида (4.9), в которой эффект влияния взаимодействия факторов ис )чиГьпщетси.
Е.слн гкс у исследователя возникают сомнении и отсутствии этого эффекта, то необходимо вернуться к модели вида (4А) и провести не менее восьми опытоп и вес коэффициенты (включая коэффициенты, учитывающие эффект влияния взаимодействий факторов) оценить раздельно, т, е, фактически вернуться к !1ФЭ и соответствующей ему матрице планирования 2'. !ЯаздслыГо оцепить эти эффекты (т. с. раздельно оцепить коэфф!!циситы ЬГ, Ья, (11, ЬГя, ЬГя н Ья3, вхо дГпппх в полученные значения Ь'ь Ь'я н Ь'3) с помощью четырех опытов, условия которых оговорены матрицсй планирования ДФЭ 23 ', пе представлястс11 возмои'иызп так как здГсь нГ.разлГГчнмы столбцы для линейных членов и парных 11ззпхГГнгс11ствий. Однако такую раздельиук1 оценку для линейных коэффициентов Ь; и коэффГшищГтов Ьч. учитывающих парное в гиичодсйстинс факторов, можно провести, если поставить дополнительно еще четыре опьгга в соответствии с матрпцей плаииронаппя ДФЭ 2'-', приравнивая хзз = — х~ зхгз. Подсчитанные коэффициенты Ь'; линейных членов полнпома (4.9), также как и в предыдущем случае, будут включать реальные значения коэффициентов Ьвь Ьм и Ьгм учитывая>щнх эффект влияния парного взаимодействия факторов па полученный экспериментальный материал.
Но в отличие от (4.11) совместная оценка коэффициентов уже будет происходить с обратным знчком Ь" ~ = Ь! ---Ьгз, (4 12) Ь г=Ьм — Ь~з, 3= Ьз Ь!г. Изменение знака объясиясзся тем, что для матрицы ДФЭ 2з ' взашмозавпсимосзь значений факторов имеет нид х,з =. х„,хзз, хзз =- --.х1 зхзсь хзз = — хмхмь (4,13) Теперь после постановки уже восьми опытов в соответствии с приведенными планами можно заппсать раздельные оценки Ь,'1 Ь,' Ь,'+Ь,' Ь,= — 1 Ьз=— 2 2 (4.14) Ф ьг ьг, Ь~а 2 ь,,',— ьз' Ьгг 2 ь,' — ь," Ьгз = 2 Таким образом, для получения раздельных оценок Ь; и Ьп необходимо было провести восемь опытов, т, е. пришлось объединить две полуреплнки от ПФЭ 2з.
Поэтому практичсск~ всегда имеет смысл начинать исследования с ДФЭ; если у исследователя появились сомнения в том, что какие-то взаимодействия, раисе нс включенные в план эксперимента, могут влиять на выходной параметр, ои всегда имеет нозмгоююсть расширить матрицу планировании до ДФЭ меньшей дробности илн ПФЭ н найти раздельную оценку интересующих его эффектов. В случае примснсцня матриц планирования ДФЭ для исследования процсссов, содержащих более трех факторов, нужно стремиться к тому, чтобы максима,тьное число лшнйпых факторов оказалось не смшцепным с парными взаимодействиями. Чем болсс высокие уровни взаимодействия будут заменены факторами из числа рассматриваемых в эксперименте, тем более высоким уровнем разрешающей способности для раздельной оценки коэффициентов полинома будет обладать матрица ДФЭ.
.(дя ф~~рч .~п ~,~ции п1ч>иг.,д ры определения рп ~~н пшющ> и способности проб>пой реплики, представленной в виде матрицы плаппрш>аппч ДФ:т> при фиксированных Ь и 1, вводятся понятна гснс)>крук>>пего соотношения (ГС) и опредгля>ощего контраста (ОК). В примере с тремя факторами Хь Х> и Хз генерирующими соотношениями являются хзв=хыхза и хзв= — х>ьх,м каждое из которых характеризует соответствующую полуреплику от ПФЭ типа 2'. Выражения ОК получаются умножением левой и правой частей приведенных ГС на их левую часть, т. е. на хаю При этом получаются элементы второго столбца матрицы планирования ДФЭ, соотнстствующне свободному члену Ьа полинома, которые всегда равны единице, так как х'и=1; 1 =хмхжхмп 1 = — хыхзьтзм Формализация закл>очастся в том, что определяющие контрасты позволяют определить вси> систему совместных оценок факторов и взаимодействий, не изучая матрицы планирования.
Для этого »оследовательно умножак>т обе части ОК на соответствующие эффекты и получают всю картину совместных оценок данной матрицы ДФЭ. При планировании эксперимента исследователь имсет возможность приравнять вновь вводимые в матрицу факторы различным взаимодействиям, и, как следствие, получить различные ОК и системы совместных оценок. Из всех вариантов приемлемыми нвляются лишь те, п которых не происхоцнт совместная оценка двух интересующих исследователя эффектов. Имея систему совместных оценок, можно формализовать процедуру построения плана ДФЭ, обсспс пшающего высокую разрешающую способность при определении коэффициентов полииома.
Чтобы получить высокую разрешакипук> способность„стремятся таким образом построить план ДФЭ, чтобы липсйныс факторы были смешаны с взаимодействиями само~о высокого порядка (опя чаще бывают равными нулю) или с тсмн взаимодействиями, о которых априорно известно, что они нг оказывают влияния на процесс. Оценить разрсшакпцую способность нам помогает ГС, чем больше символов входит н ГС, тем обычно выше разрешающая способность. Например, если в эксперименте рассматриваются четыре фактора (/г=4), то в предполагаемой линейной имитационной матема.
тической модели, соотвстгтвуюпцй полиному 1-го порядка (4.2), имеем У Ьв+ Ь~Х> + Ь>Х + Ь>Х>+ Ь>Х>+ +Ь„Х,Х,+ЬмХ,Х>+Ь„Х,Х,+ЬмХ,Х>+ + ЬыХ>Х>+ Ьз4Л зХ~+ Ьм>Х~Х>Лз+ + Ь м>Х~Х>Х>+ Ь234Х>ХЭХ4+ + Ь! з>Х>Х>Х>+ Ь мз>Х~ ХзХзХ> (4.15) 70 1!ри илинир55взиии 1!ФЭ юиш 2', необходимо было 6ы 55!ЭО55сс555 МИНИМУМ !!5 О!5Ы5ОВ ДЭ555 О!!!5ГДСЭ!ЕНН5! 16 'ГИ КОЭффИЦИ5'ИТОИ, Входящих в полннОм (4.!6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
