В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Полуреплика от этого плана ПФЭ будет икл5очать 8 опытов, а соответствующую матрицу ДФЭ типа 2'-' можно построить иа базе матрицы планирования ПФЭ типа 2', заменив одно из взаимодействий, приведенных в табл. 4,2, на четвертый фактор. Рассмотрим в качестве геиерирующик соотношений одно, из числа низкого порядка, например х4=х,хм а другое — нз числа самого высокого порядка, в данном случае х4=х5хэхз. На основании выбранных ГС найдем соответствующие ОК: 1=Х5Х2Х6 1=Х!ХЗХЗХ4. С помощью найденных ОК составим две системы совместных оценок: х, =х,х„ Х5 =Х2ХЗХ4, Приведенные оценки двух полуреплик от ПФЭ 2" получены для двух выбранных ГС, когда взаимодействия факторов приравниваются к независимой переие5455ой (в нап5ем случае, к четвертому линейному фактору Х4).
При ГС х,=х5х, (левая колонка системы совместных оценок), член„учитывающий парное взаимодействие факторов Х, и ХЗ (ЬмХЭХЗ) будет заменен в уравнении (4.4), а следовательно, и в матрице (табл. 4.2), иа член, учитывающий влияние четвертого фактора Х4 иа функцию отклика, что соответствует плану ДФЭ 2' ' и имитационной математической модели вида 1 = Ьо+ Ь 555 5 + ЬЗХЗ+ ЬЗХЗ+ !54Л4+ Ь5ЗХ5ХЗ+ (4.16) + Ь2ЗХ2ХЗ+ Ь 52ЗХ 5Х2ХЗ.
Для ГС х4=-х5хзхз план ДФЭ 24 ' будет соответствовать модели вида (4.17) у=~ЬЗ+ ЬЭХ, + ЬЗХЗ+ ЬЗХЗ+ ЬЗХ4+ Ь52Х,ХЗ г + 6 5ЗХ5ХЗ+ ЬЗЭХЗХз. В обоих случаях потребуется пронести 8 опытов для определения 8 коэффициентов, входящих в уравнении (4.!6) и (4.17).
Однако разрешающая способность дробной реплики ГС х4= =х,хзхз для раздельной оценки коэффициентов Ьь ЬЗ, Ьз„Ь4 при ли- 7! ХЗ=Х5Х4, ХЗ=Х5ХЗХЗХ4, ХЗ=Х,ХЗ, Х5ХЗ =ХЗХЗХ4, Х2ХЗ=ХЭХЗХ4, ХЗХ4= Х!Х2ХЗ, Х,=Х,ХЗХ4„ ХЗ Х5Х2Х4 ХЗ=Х5ХЗХЗ, Х5ХЗ вЂ” ХЗХ4 Х5ХЗ=ХЗХ4 Х2ХЗ=Х!Х4, исйных членах полинома будет выше потому, что все линейные факторы, как видно из приведенной системы совместных оценок, не см1')паны с и!1рными вззимодейсж)нами, В то Врем5!„ш)к длн ГС х4=х)х) три из четырех линейных факторов смешаны с парными взаимодействиями. По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов мо)кио применять реплики большей степени дробности (1!4, 1!8 и т.
д.). Прн этом с ростом числа независимых переменных (учитываемых факторов) растет разрешающая способность дробных реплик, ибо для линейной им)пационной модели аида (4.2), соответственно возрзстает порядок Взаимодействия факторов и количество членов полипома, учитыва)о!Них эти взаимодействия, а следовательно, увеличивается точность оденки коэффициентов при линейных членах, смешанных с взаимодействиями высокого порядка. Число опьжон, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики дл)1 раздельной оценки коэффиш)си)ов полипома, дОлжнО бып» нс мснсе '!псла коэ4()фициентов В вредно.
лагасмой имитационной модели, вкл1очш) коэффипиент Ь„. 4.4. ЦГНТРАЛЬНЫЕ КОМПОВИЦИОННЫИ ПЛАНЫ Разработка математической модели предусматривает, как уже отмечалось ранее, принцип «от простого к более сложному», т, е, постепенный переход исследователя от «грубой» модели к моделям, более точно описывакнцим исследуемый процесс. В имитационной модели, соответствук)щей пол иному (1.32), этот принцип предусматривает в качестве следующего шага пере. ход от полинома 1-го порядка вила (4.2) к полиному 2-го порядка (4.6).
Как было показано в гл. 3, шаж)вос движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока исследователь не достигнет области, близкой к экстремуму (или «почти стационарной»), которая нс может быть описана линейным приближением. Здесь уже становятся значимыми квадратичные эффекты, Близость к «почти стационарной» области можно установип,, поставив ряд экспериментов в центре плана, определить срс)1нсс значение функции отклика р» н сравнить его с тсорсти неким значением Ьм исходя пз предполагаемой имитационной модели в виде полинома 1-го порядка (4.2).
Вычисляемое для линейного урвши)пня значение ЬВ при реализации факторного эксперимента (ПФЭ и ДФЭ) в «почти стационарной» области являшюв 1овмсстной оценкой для свободного члена и суммы квадратичных членов, )ак как бсзразмсрпыс значения, стоящие в соответствующих столбцах матрицы ПФЭ, будут одинаковыми. Поэтому разность Ь,) — )7« может дать представление о кривизне поверхности отклика. «Почти стационарную» область обычно удается Оппсат)» с достаточной точное)ью полнномом 2-го порядка (4.6). 72 В то же время, из теории интерполяции известно, что длн, нахождения раздельных оценок коэффициентов интерполяционного полииома, рассматриваемого как предполагаемая имитационная модель исследуемого процесса, число уровней изменения каждой нз независимых переменных, как уже отмечалось ранее, долгкн<к быть на единицу больше порядка полинома.
Иными словами, для вычисления полипома второго порядка число уровней должно быть, как минимум, три, В ПФЭ 3< прн й=2 потребуется проведение минимум девяти опытов, а для трех факторов, их число резко возрастает до 27. Поэтому при увеличении числа учитываемых факторов применение ПФЭ Зе не рацнональцо, так как это планированне характеризуется резким увеличенном объема эксперимента, Сократить чнс,ло о<гытов можно, исп~л~зу~ так называемые центральные колпозационные аланы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональныс планы. Большое преимущестно этих планов состоит в том, что если гипотеза о липейиост<л математической модели, соотвстстнукнцей исследуемому процессу, н результате анализа экспериментальных данных не подтв<.рдцлась, то нет необходимости ставить все экспернмснтьг заново для получения модели более высокого порядка.
Достаточно, в этом случае,. добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек, чтобы получить план, соответствующий полиному 2-го порядка. Построение ЦКП можно пояснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующими трем факторам Хь Х,. и Ха. Предположим, что для нахождения линейной модели применен ПФЭ 2', экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рис. 4.б).
В результате анализа экспериментальных. Рпс. 4.6, Распологкенне экспериментальных точек в плане, соответствукнпем полнному 2-го порядка для трех веэаанснмых переменю <х данных установлено, что имитационная математическая модель в виде полинома 1-го порядка ие адекватна исследуемому процессу. Тогда в центре плана, соответствующего начальному зиаченнк» всех учитываемых в эксперименте факторов, проводится опыт, условия которого в матрице планирования эксперимента отображаются нулями для безразмерных величин всех факторов. Для повышения достоверности полученного экспериментального значения функции отклика уэ в центре плана, опыты повторяют при неизменных нулевых значениях факторов.
Подсчитанное среднее значение функции отклика у„сравнивают с теоретическим значением Ьв которое несложно получить из разработанной линейной модели процесса в результате ранее проведенного ПФЭ 2» н анализа его результатов (см. гл. 5).
По разности Ьа — у, оценивают кривизну понерхности отклика. При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням (в безразмерных величинах). Эти значения должны быть больше единицы по абсолютным значениям, установленным в предшествующем плане ПФЭ. Таким образом, в ПФЭ 2", к ранее проведенным восьми опытам добавляются еще семь опытов (включая опыт в центре плана), шесть из которых соответствуют «звсздным точкам». «Звездные тачки» (рис. 4.8) представляют собой два уровня варьирования каждым из трех факторов, значения которых лежат за пределами граней куба. Как видно нз рис.
4.6, все «звездные тачки» расположены на расстоянии большем, чем -+ ! от центра плана и лежат на поверхности сферы диаметром 2а. Общее число опытов центрального композиционного плана при и факторах составит Лг= 2»+2й+ ьч», (4.18) где 2л — число «звездных точек»„.гл, — число опытов в центре плана, а общее число уровней варьирования ЦК!! равно пяти. В теории планирования экспсриментоп для получения моделей 2-го порядка различают несколько типов ЦКП. Наибольшее распространение получили оргогональный и рогогибельный ЦКП.
Центральный композиционный ортогональиый план (ЦКОП), Прн составлении матрицы планирования эксперимента этот план предусматривает проведение только одного опыта, условия которого соотвстствуют начальным значениям всех учитываемых факторов (в центре плана), т. с, ш»= !. Поэтому для ЦКОП выражение (4.18) примет вид У = 2»+ 2й+ 1.
(4.19) Соответствующая матрица ЦКОП для имитационной модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка 74 Таблппз 4А Матрнна центрального аомпознннонного ортогонального плана при Й=З. приведена в табл. 4.4. Как видно из таблицы, ЦКОП при Й=З содержит всего 1б опытов, в то время как ПФЭ 3' потребовал бы проведения 27 опытов. Следует также обратить внимание на то, что условие ортогональностн матрицы выполняется только для линейных членов соответствующего полинома 2-го порядка, представляющего собой имитационную модель вида у = Ь3+ Ь1Х, + Ь 3Х3+ 0зХ3+ Ь13Х,Х3+ + ЬгзХ! Хз+ ЬззХ3Хз+ Ь133Х1 ХЗХз+ + Ь11Х 1 + Ь23Х 3+ ЬЗЗХ 3.
(4.20) Из анализа табл. 4.4 нетрудно убедиться, что для матрицы ЦКОП условие ортогональностй не выполняется для столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома (4.20), так как Лмблзгд + 0~ 1 Х тгбгтб тггб + бг 1=1 Хлз лз +О, 3 ! где 1'=1, Ь; хзоб — безразмерное квадратичное значение Ьго фактора, соответствующее я-му опыту. 75 1 6 !О 11 12 !4 +1 +! +1 +1 +1 +1 +! +1 41 -1- 1 +1 +1 +1 +1 +1 — 1 +! -1 +1 +1 — 1 +1 — а +а 0 О 0 а 0 — ! — ! +1 +! — 1 — ! +! +1 0 0 а +а 0 0 0 — 1 — 1 — 1 — 1 +1 +1 +1 +1 0 0 0 0 +а 0 т1 — 1 +1 +1 — 1 — ! +1 О 0 0 0 0 О О .!. ! — 1 +! — -1 — 1 +1 — 1 +1 О 0 О 0 О О 0 +1 +1 — 1 — ! - — 1 — 1 +! +1 0 О О 0 О 0 0 --1 +1 +1 — 1 +1 — 1 — 1 +1 0 0 0 О 0 0 0 +1 +1 +! +1 +1 +1 +1 +1 +а' +пг 0 О 0 0 0 +1 +! +1 +1 +1 +1 +1 +1 0 +аз !.оз О О 0 +! +1 +1 41 +1 +1 +! +1 0 0 0 0 +аз +о' 0 !и Уз Уз Уг Уз Уб Уг Уа Уз гпо У~~ У~г Ум Уг3 Ум Для приведения матрицы (табл. 4.4) к ортогональному виду необходимо провести преобразование квадратичных переменных хзиб и 4б хз хз хз гз з=! !Ебо Пб Ы Нб дГ ГдЕ ХЗ!збо — ПрЕОбраЗОВаПНОЕ (П), беэраЗМЕрНОЕ (б) КнадратИЧНОЕ значение !'-го фактора, соответствующее ь-му опыту.
Для выполнения условия ортогональности матрицы ЦКОП, помимо преобразования столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома (4.20), н приведения зиачсинй, стоящих в них, к виду (4.21), необходимо величину звездного п.бсча и выбирать соответственно: прн Ь ао+2заз — 2' !(Ь+0.5!) =0; (4.22) при Й~5 (4.23) по+2б-.!пз —.-2б"з (11-о0 5) =0 Ядро ЦКОП при й<5 составля!.т, как правило, ПФЭ типа 2"„ а при А~б — ДФЭ типа 2"-', так как во втором случае полуреплика от ПФЭ вполне обеспечивает возмогкность независимой оценки линейных членов полнномз (4.20) н членов, учитьща!ощнх эффект взапмодсйсгв!ня факторов. Значения звезд!юго плеча, !юдсчптанпые на основании условий (4,22) и (4.23), приведены нижн. !Д!б ~ 1Д!4 1,00 1,72.! 1зи7 !.888 Преобразовав соответствующим образом матрицу ЦКОП, приведенную в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
