В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 15
Текст из файла (страница 15)
д. до тех пор, пока не будет разработана лдекватная исследуемому процессу математическая модель. Рассмотрим наиболее распространенные статистические методы планирования экспериментов. 4.2, ПОЛНЫИ ФАКТОРНЫИ ЗКСПЕРИМЕНТ В этом случае учитываетси влияние на функцию отклика исследуемого процесса це только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но н нх взаимодействий. Лод взаилтодейетвтим факторов понимают эффект влияния изменения значений одного или нескольких факторов на характер изменения сьункиии отклика У от изменения другого фактора.
Примеры отсутствия и наличия взаимодействия факторов Х1 и Хн приведены на рис. 4,3. Влияние взаимодействия факторов — это когда уровень одного фактора определяет характер влияния другого фактора на выходной параметр. На рис. 4,3,а переход второго фактора (Ха) с одного уровня 400' на другой 450' не меняет характер влияния первого фактора (Х1) на У; в этом случае взаимодействие факторов Х1Ха не оказывает влияния на функцию отклпка. На рис. 4.3,6 изменемие уровня фактора Ха сказывается на наклоне линейной зависимости У(Х), что говорит о влиянии взаимодсйстния факторов Х1Хя мв выходной параметр У.
епи ,,=егг'с г) Рнс. 4.З. Примеры отсутствия вааимодействия факто. ров х1 и хе (н) и на,анния взаимодействия факторов Х, н Хя(б) Рис. 4.4. Плияиис размера яитервала иарьироваиия иа точность опрсделеиия зависимости У=((Х) При построении матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ), допустим, что в исследуемом процессе учитываются только два фактора Х~ н Хя, оказывающие влияние на интересуюшую нас функцию отклика т', В соответствии с принципом «от простого к более сложному» предположим, что модель исследуемого процесса является линейной и в соотвстстнни с (4.2) имеет вид У= Ьо+ Ь~Х~+ ЬяХя+ ЬгяХ,Хм (4.3) где Ья — значение функции отклика У в центре плана; коэффициент Ь, (в данном случае Ь| и Ья) характеризуют степень влияния Ьго фактора на функцнкз отклика У (чем он больше по сравнению с другимн коэффициентами, тем более несомый вклад в изменение У данный фактор вносит); член ЬмХ,Хя учитывает эффект влияния взаимодействия 1-го н 2-го факторов на функцию отклика исследуемого процесса, а коэффициент Ьм характеризует весомость этого влияния.
Вполне очевидно, варьирование значений фактора относительно его базового (начального) значения в случае линейной модели достаточно проводить только на двух уровнях. Легко видеть, что псс нозможные комбинации для двух факто. ров (Й=2), варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы постаним четыре опыта. Опытные точки расположатся в вершинах квадрата, центр которого совпадает с центром плана (см.
рис. 4.5). Как видно, каждому из этих четырех опытои будет соотвстство. вать свое значение функции отклика, н зависимости от четырех различных сочетаний (2Я=-4) двух значений варьируемых в данном эксперименте факторов. Построим матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого случая, с учетом предполагаемой модели (4.3) исследуемого процесса. При построении л отрмцы планирования ПФЭ срн(сстаует следутощае пропило: первая строка матрицы в столбцах, соответствующих рассматриваемым в эксперименте факторам, заполняется безразмерным символом, соотвстствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте, т.
с. символом ( — ); продолжение заполнения столбца, соответствующего первому по порядку фактору, проводится вв Таблица 4Д Матрица паавароваяая ПФЭ тяпа 2> к, к ат Номер опыта кеа «1б Ч~ Цт вт р~ 'т. последовательным чередованием противоположных знаков (безразмерных значений уровней варьирования фактора); всс последующие столбцы, соответствующие друы>м пронумерованным по порядку факторам, заполняются с частотой смены знака вдвое меньшей, чем для предыдущего столбца. Нумерация факторов осуществляется произвольно и в каждом конкретном сл)чае Опрсде>>яг>тся санит> псе>>едователсм. Заг>сопение столбцов, учнтыва>ощих взаимодействие факторов, производится как результат перемножения знаков соответствующих факторов в каждой строке. Первый столбец матрицы представляет собою нумераци>о опытов. Во втором столбце матрицы планирования приводятся значения фиктивной переменной хо=-+1, соответствующей коэффициенту Ьм В последукнцнх столбцах матрицы приводятся безразмерные симнолы, соответству>ощие верхнему и нижнему уровням варьирования факторов н нх взаимодействий.
В последний столбсц матрицы заносятся экспериментальные значения функции отклика, полученные в результате проведения каждого опыта. Матрица планирования ПФЭ, построенная в 'соответствии с этим правилом, приведена в табл. 4Н. Так как матрица построена для случая, когда в эксперименте рассматриваются только два фактора (й=2), то ее называ>от матрицей планирования ПФЭ типа 22.
При обработке н анализе результатов эксперимента (см. гл. 5) необходимо оценивать коэффициенты предполагаемой математической модели, представленной в нашем случае в виде полинома (4,3). Для обеспечения независимости оценки коэффициентов поли- нома необходимо соблюдение независимости столбцов матрицсч планирования эксперимента, пли. и»ачс говоря, построенная матрица планирования должна быть ортогональной. Матрица >гланировг>ния экспсри кента является ортогональной, если сумма произведений значений, приведенных в каждой строке двух любых столбцов матрицьц соответствующих рассматриваелаыл> в эксперименте факторам или их взаимодействию, равна нулю.
Пример 2. Преверам матрону, приведенную в таба. 4Л, на условпе ортого вальноств 60 "ввхвв хвв х! вхвв хввх,вхвв хвв"вв хвз и=о хввхввхвв хвв ~ х~вхвв хввх!вхвв х, хах '" 1вхвв '=о 2--О Таблица 4.2 Матрица планироаания ПФЭ типа 2' Номер «ввывв х,вх в хввхвв "ввхвв 1 2 3 4 5 6 6 + + Ув Ув Ув Уа Ув Ув Ув Ув 6! Проверка матрицы, приведенной в табл. 4.1, показала, что она является ортогональной, а следовательно, с се помощью можно производить независимую оценку коэффициентов полннома, так как соответствующие столбцы — независимы. Если в эксперименте используются три фактора, а предполагаемая математвчсская модель линейна, то она соответствует полиному вида у=Ьо+Ь!Х,+ЬзХз+ ЬзХз+ ЬьзХЛз+ + Ь взХ1 Хз+ Ь аз ХзХз+ Ь ызХв ХзХз (4 4) При варьировании каждым из трех факторов (й 3) на двух уровнях число опытов )и' будет составлять Ф 2з=8, а матрица планирования ПФЗ будет иметь следующий вид (табл. 4.2).
Рис. 4.Б Расположение зксперн«й--«; «у О ментальных точек дли двух поза. висим«к«факторов, варьирусмнк на двух уровнвх ,УУ(::! -': -, ! УкУЫ,— ПХ,=-О! В этом случае опытные точки располагаются в вершинах куба, центр которого находится в начале координат (О, О, О) (сч. рис. 4.6). Руководствуясь привсдсииым ранее правилом, легко построить матрицу и для большего числа рассматриваемых в эксперименте факторов, число опытов н которой а! 2а (4.б) где й — чисто 1'пг«ынасмых н эксп«рпк«шм«.
факторов. Однако следует подчсркиуть, что выраркснив (4.5) справедливо только для линсиной людгли, гоот«!««тствую«х(ей полиному 1-го порядки (4.2), когда варьировапис по к««у!«доэ«у фактору дост;почпо проводить иа двух уровнях. При статистическом метод«" планирования эксперимента су!псствует праиило — число уровней в««рьирования, учить«вос«иыя в эк«««врал!«нтв <р«актаров, должно быть, по краинвй лере. на «дини«(у больше порядка полинами, для построения которого планируется экгперим«'нт, 1(ими рзссмитривалось планирование экшпь римеита исходя из про,щоложсиин, гто математическая модель исследуемого процесса с«кмис«стнуст шзлипому 1-го порядка (лиисйиа).
Поэтому достаточно было проводит«, варьпроваиие каждого из й факторов только иа двух уровнях, а необходимое число проводимых опытов можно было определить с помощью выражеиия (4.5). Если анализ результатов эксперимента показывает, что линейная модель, соответствующая полииому первого порядка (4.2). ие адскватиа исследуемому процессу, то переходят к плаиироваиию и проведению следукнцсго эксперимента исходя уже пз предполо>ксшш, что мзт«мази«!«с«сая модель со«пис!стиует полппому следующего порядка и т. д, 14о прн пли«п«ронапии экспсримеи!а, основанного иа математической модели, например, соотнетствующсй ослиному 2-го порядка У'-:- Ьи+ ~ Ь,Х, -',- '~ Ь««РХ«Л;+ ч1 ЬиХ',+ ~~'Ь„у Х«Хз. (46) «=! «, у «--! !м/ необходимо обеспе «нгь «шрьиронаиие по каждому из й факторов уже пн "рсх уровнях.
Л тогда необходим«к. чисто опьыов, когорос нужно провести и эксперименте, должно быль пс меньше !з'=3!«. Дл!! полииомя третьего порядка 3=4!«и т. д. Отметим ш!которые поло>кительпыс особенности миогофакторпого плнпиро! апия 1193. 62 1. Опытные точки находятся в оптимальном положении, т, е, математическое описание исследуемого процесса оказывается бо- лее точным, чем прн проведении опытов и точках, распололзснных каким-,вибо другим образом.
Поясним это утверждение. Если мы проводим эксперимент с небольшим интервалом (ЛХ'~) варьирования (см. рис, 4.4), то из-за наличия ошибки эксперимента, которая всегда имеется, по- ложение искомой зависимости У=)(Х,) будет опрсдслсно с раз- бросом (1) значительно болыпим, чем прп увеличенном (ЛХ",) ин- тервала варьирования (П). В многофакторном эксперименте (ПФЭ) расстояние между эксперимептальнымн точками без уве- личения интервала йарьирования по каждой переменной увеличи- вается в )~К раз (где К вЂ” число факторов) по сравнению с одно- факторным экспериментом. Так, для двухфякторного эксперимента (рис.
4.5) — расстояние между экспериментальнымн точкамп— диагональ квадрата (У2), для т)цхфякторного экснсримен а диагональ куба фй) и т, х. 2. 11ланировапие н проведение ПФЭ сравнительно просто, что объясняет его широкое применение на практике. 3. Все фисторы и соответственно коэффициенты полинома ешь пинаются независпчо друг от друга, что обеснсчнщштся нг»ащк.н. мостьнт и ортогопзльностью столбцов матрицы планирования. Однако последняя положительная особснносзь ПФЭ справед- лива только для процесса, описываемого полипомом 1-го порядка При значительном влиянии на выходной параметр уже квадратич- ных членов полинома, оценить раздельно коэффициенты бь, Ь,ь бзз и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
