В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Причем, как и в методе случайного поиска, направление движения корректируется после каждого рабочего шага, т. е. каждый раз заново определяется значение градиента по результатам специально поставленных пробных экспериментов (рис. 3.3). Поскольку координатами вектора 44 Рнс. 3.4. Поиск экстремума функ. ннк отклика методом Кифера— Вольфовигга Рнс, ЗД. Поиск экстремума функ. ннн отклкка методом градиента пгаб У(Х) = ( —; —; ... —; ... — ~ Г ду, д> ду, ду т (,дл,' д,1 "' дл,' '" дкэ~ (3 4) служат коэффициенты при линейных членах разложения функции У(Х) в ряд Тейлора по степеням х|(|'=1,2, ...,А), то соответствую|дне компоненты вектора градиента могут быть получены, как коэффициенты Ь|, Ьа...,, Ьг...
Ьа линейной аппроксимации поверхности отклика вблизи исходной точки хо У(Х) =Ь,+Ь,Х,+Ьах,+ ... Ь,Х|+ ... Ь,Х,. (3.5) Линейные коэффициенты Ьг, Ьгь ..., Ьг обычно оцениваются экспериментально. Наиболее просто каждый из коэффициентов Ьг определяется по результатам двух пробных экспериментов в окрестности исходной точки. В этом случае приращение целевой функции Лд» соответствующее приращению Ьхг, можно считать пропорциональным значению частной производной ду/г)хг--дг, где =1,2, ...,й. После нахождения составляющих градиента выполняется рабочий шаг по направлению к экстремуму Ха.ы =Х+рр втаб У(Ха), (3.6) (3.7) где йтаб У(Ха) = (Ьа|, Ьаг...
Ьа,, Ь!|а); рр — параметр рабочего шага. Показателем выхода в область оптимума является малое значение модуля градиента ~йтас(У(Х) ~=0, т. е. все коэффициенты Ьг(|'=1, 2, 3, ..., Й) становятся незначимыми или равными нулю. Объем эксперимента в каждой точке равен 2Ь, где Ь вЂ” число факторов, оказывающих влияние на выходной параметр.
Одним из важных вопросов при оптимизации, как градиентным методом, так и другими методами, является выбор шага. Если шаг слишком мал, потребуется большое количество шагов и, следовательно, опы4о тов (движение к оптимуму будет очень медленным); если размеры шага слишком ~г«лики, можно проскочить экстремум.
Поэтому иногда при оптимизации изменяют величину шага в гангг«чгмостгг от расстояния ло экстр«мальвой точки. Примером такого движения явля«ч«я метод Кнфера-- Вольфовица. Метод Кифера — Вольфовица. Характерной чертой этого метода является зависимость размеров рабочего и проГнюго шагов гтг номсра шага /г или от расстоггггия ло оптимума ()гнс, 3Л). Так, размср рабочего шага рр=р/()гу), гле р — некоторая гюстоянная„ а у опр«лелястся прслполагаемым видом повсрхности открггггга 0<Т<0,5; обычно у==0,25. Ллгоритгч движсння к зкглрсмуму по методу Кифера - Вольфовица такой жв, как и в прслыдущсм мстодс Хрэг=.Хр г )гр Пга«1 У(Хь).
(3.8) В рассматривасмом зсгп>лв, как н прп оптимизации гралисиным методом, пслнчнпз шага умшгьшается прн приближении к экстремуму за счст уменьшения величины градиента пгаг) У, а и методе Кнфера — Вольфоянца сщс и в связи с уменьшением рр. Следует сказать, что на практике шюгда примсияется движение к оптимуму с постоянным шагом н соответствии с алгоритмом кгрл ~'(хь) р г х (гр ~ сгрг) )'(Ха) ) (3.9) где (г„=- сопз1.
Поскольку градиент опрсдсляет направлсннс быстрейшего изменения функции, то методы, базирующиеся на таком выборе направления движения, должны быстрее приближаться к экстремуму, олнако имеются некоторые трудности, ограннчивакнцие их применеяие. Так, эти методы предполагают существование частных производных исследуемой неизвестной функции во всех точках, что практически не всегда возможно. Далее определение градиента производится на каждом шаге, что очень трудоемко, Метод крутого восхождения или метод Бокса — Уилсона. Этот метод объединяет характерные элементы методов Гаусса — Эайделя и градиента.
Так, шаговое движение при оптимизации методом крутого восхождения осуществляется в направлении наибольшего измснения функции, т, е, в направлении градиента, но в отличие от градиентного метода корректировка направления движения производится нс после кажлого шага, а после достижения частного экстремума целевой функции (рис. 3.5), как это делается при поиске оптимума по методу Гаусса — Зайделя. Следует также отметить, что метод Бокса — Уилсона предпола. гает регулярное проведение статистического анализа промежуточных рсзультатов на пути к экстремуму.
Практически же поиск оптимума методом крутого восхождения выполняется по следуюшсму' плану. 1. Вблизи исходной точки хр проводится эксперимент для опрелеления йтаг( У(Хр). Результаты эксперимента подвергаются ста- 46 Рис. Зсь Поиск экстремума функции Рис. З.б, Поиск экстремума функиткээка метеком крутое)э оосксэккс шги отклика симиоекскмм э1сэмкмм иик (3 сф ~ь,ьх,! прн этом Ьэ берется со своим знаком. 4.
Производятся так называемые «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении предсказанных значений функции отклика в точках факторного пространства, лежащих на пути к экстремуму от исходной точки. Иными словами, осуществляется мысленное движение по градиенту к оптимуму в соответствии с (3.5). При этом ~'-я координата Ь-й точки на этом пути будет лс 1Ь=- 1,2,, „т. Ха,-Х,„+Ь о ах, )1 1,2, Отсюда прогнозируемое значение выходного параметра о 1 акр = Ьо+" ~~'„Ьэ— ахо (3.10р (3.11у тистичсскому анализу и определяются коэффициенты Ь, уравнения (3.5).
2. Вычисляются произведения Ь;ЛХь где ЛХ; — интервал варьирования фактора Х; при исследовании поверхности отклики н окрестности исходной точки, т. с. при определении коэффициентов Ь,. Фактор, для которого произведение Ь;ЛХ; будет максималь. ным, принимается за базовый (ЬоЛХа). 3. Для базового фактора выбирается пгаг нарьировання при движении по направлению к экстремуму Лс. После этого вычисляются размеры шагов при крутом восхождении по остальным переменным (Х,) процесса. Так как при движении к экстремуму по градиенту все исследуемые факторы должны изменяться пропорционально коэффициентам наклона поверхности отклика Ьь то б.
Некоторые нз «мысленных опытов» (обычно чг рсэ 2 ... 6) реаатизуются для того, чтобы проверить соответствие аппроксимации птроцесса найденной зависимостью. г)абл!одаемые значспнн сравниваются с предсказанными; точка, где в реальном ошзтс получено з!аиболее благоприятное (в нашем случае — минимальное) значе~нне выходного параметра принимается за новую начальную точжу (Х„) следующей серии опытов, поставленных аналогичным образом. 6. Поскольку каждый цикл крутого восхождения приближает мас к экстремуму, где крутизна поверхности отклика больше, рекомендуется выбирать шаг для каждой следующей серии опытов !равнйм или меньшим, чем в предыдущей. 7.
Эксперимент прекращается, когда все или почти все коэффициенты ог уравнения получаются нсзначимыми или равными нулю. Это говорит о выходе в оптимальну!о область целевой функции (область главного экстремума). При исследовании сложных объектов метод Бокса — Уилсона является одним из иаиболсс эффективных. Он позволяет, с одной :стороны, достаточно быстро достичь экстремума, а с другой,— определить характер и силу влияния тех или иных факторов, т.
с. этот метод позволяет не только оптимизировать процесс, но и исследовать его. Рассмотрим пример, иллюстриру!ощий применение этого метода прн оптимизации технологического процесса изготшглснпн тонкопленочных резисторов. Примср 1. Оцгггмизаггия процесса проводилась в соответствии с априорной информзцисй по тром фаяторам: и мпгратура испарения (Л), температура под,ложки прп осаждении (В) и тгрмообработхп (С) рсацстинных цлсиоя рения. Значения псрсмсгшых прп псслгдонанни саойстз рсзистпаных планок привсдсны и табл.
3.!. В результате ясслсдоаания было получсяо матсмамгчсспос описание исаладусмой области яг 2,15 — 0,1хы — 0,1хм — 0,2хта, (3.12) где Ю вЂ” тсорстпчссяос аначснис функции отклика у (парамстр оптимизация), в яачсствс яоторого выбран температурный хоэффицнснт сопротивления (ТКС) рс. аистивпых пленок (ТКС 10г("С); хм — принсдсниыс переменные (бсзразмерные эначспия факто оп) р хга= (х,— хог) IЛХь (3.13) Таблица 3.1 Значаиия псремсииых при исслсдоавнии рсзистивных плеион Фахтор .Кодовые обозначения Основной уровень хм---0 400'С 400"С 50'С 50'С 50'С Интервал варьирования ЛЛ~ .48 Таблица 3.2 План проведении и результаты эксперимента, проведенного методом крутого восхождения 2570' 2590 2610" 2630' 2650" 490" 530' 570' 610' г»50» Первый рслизоваиный опыт Второй реализованный опыт Третий реализованный опыт Четвертый реализованный опыт Пятый реализованный опыт 470" 490' 510' 530' 550' 1ДО 1,25 1,00 0,80 0,55 1,70 1,40 1,30 1,0 1,1 где индекс «б» обозначает безразмерность данной величины; хм — значение фактора в исходной точке эксперимента: дх~- — интервал варьирования переменной прн ясследованин процесса; х~ — текущее значение переменной в эксперименте.
Г!о программе «крутого восхождения» (табл. 3.2) намечены так называемые «мысленные опыты» и пскоторыс из них (через трн) реализованы для проверки соответствие тсоРетического значении Уь пРедсказанного ДлЯ 1-го опыта (Ны) уравнением 13,12), и соответствующего экспериментального значения дх (для упрощения в таблица прннедсны лиц1ь результаты реализованным опытов и соответствующие нм теоретические значения функции отклика). Как видно нз табл. 3.2, пятый опыт нс показал умеиьщения ТКС по сравнению с четвертым реализованным опытом, к экспериментальное значение ТКС р»=- 1,1 сущестаещю отличается от его теоретического значения ум=0,55, полу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
