В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Такая проверка с помощьк) предельного рсхода может быть проведена, как при численном решении за«)»п), так и прн аналитическом. Метод последовательного услогкнспия модели введением допол- ~ «тсльных факторов илн процессов может продолжаться до дости":сния необходимой адекватности модели. Именно так поступают «з практике, постепенно переходя от простого к более сложному. !са»!Сствс имитационной модели Исследуемого процесса сначала ! «ссматрпвается модель в виде линейного полннома (1-го по! «Лка), как наиболсс простой н грубой модели, составлснной на »сновании (1.32), и осуществляется псрвоначальное планирование проведение эксперимента. Только после анализа н оденки рс,ультатов экспсрпмснта переходят к более сложной прсдполагае; ой имитационной модели (2-го порядка), на основании которой ; новь осущсгтил)пот планирование и проведение эксперимента.
После чего шшвь проводятся анализ и оценка результатов экспе!!)мспта. Этот процесс усложнения имитационной модели продол;шстся до достижения необходимой адекватности математической одели исследуемому процессу. !с, преимуществам сис)смы разрабо)кп математических моде- !«51, основанной на прюзцппе постепенного перехода от простого . Попсе сложному, следует отнести: развитие иптуппии в ходе моделирования; дополнительный способ проис рки пра«ильности результатов; иы51«лспи« роли доп0,1питсльиых факторов и их пза11модсЙс1пиЙ, 1горыс последовательно пводятси в модель. :-)га система разработки матгматичсскнх моделей напоминает ~)стел!у пло)кш)ных друГ В друГВ матрсшск, В качсстВс п)тостОГО 29 и)гпм~ ря ~ иго'иы «Олижсппыхэ друг в друга моделей рассмотр к«эл«г)ягмги ыгцплл>пыра (см.
Рмс, ).В). Г)зим«1« 1, В ка ис1ое первоначальной «грубойэ математической модели к Пгыщй огпк,««якоря может стать модель, учнтываюгцая только два фактора гик«~рая;пи П гнстсмы; инерцию груза массой т и упругую силу (силу упруг 1« и э«г«ппы 1 ив рис. 1.5), действующую на него, 1 ггом случае простейшее уравнение свободных котебапий имеет вид ггг (г)гх/г)/э) — Ух, (21 ~де х отклонение ат положения равновесия; /--коэффициент уиругосюг и .кипы. 1)ли, с учетом уравнения (1.22), имеем дэх/«(Гэ --.го«эх (2: где ыэ =1,)йг — угловая частота собственных аедеипфироващгых колебаний стемы. Решением уривисння (2.2) буде« (2.
Урэвнсищг (2.2) и (2.3) дают| самую «грубуюэ математическую модель ~ г ний системы (см. рпс. 1.5). В ией учтены только два основных фаитора: инс ция груза, прсдстзвлеиного в данной модели в виде материальной точки ма сой гп и упругая гила г,„„=-г'(х). действующая на нее. Кроме того, предполагая ся линейная аависямость снлы, эгей«~жующей иа материальную точку, от отклон иия этой точки от положения се равновесия. т. е.. Р(Х) =-Ух.
За «бортомэ модели остается при лом больииггс количество дгйстэующ факзоров: сила трения, нелинейность силы, действующей на материя.щиую топ 1)ели гпвистские эфг)мч гы, иг))яюгцис бщч~ шую роль пря скоростях, Гхгпзкпх и ск рости света и др. Перейдем теперь ко ягоров, более сложной, матемапщеской модщш, у пп по" иа ваюппй тагыьт силу трения (силу вязкого дгмпфпровапия т)л системы, пр в й рис.
1.5). В этом случае урзвиспис свободных колебаний примет вид и сдс т-: ) эгп (гэчг — Ч«) гп(Г!к/г(/«1 — / --цк, (г. где э) — коэффициент, учитывающий трение. !э 1 наделив правую и левую части уравнения (2,4) на щ, после преобразован получим г) эх/г((з- — ыэх — ( П/щ) (г(х/бГ) . (2. Реищииеы уравнения (2,5) будет х М-«г з(п (эм — фа), (2.
где ы=)м«' — ).г, и к ыэ«1/"1«'ьчг. Легко проверим, что при ц- 9, т. е. прн отсутствии сил трения, уравнен (2.5) и его регпенне (2.6) переходят соответственно в уравнение (2.2) и его р щенке (2.3). В (2,5) принято, что сила трении пропорциональна скорости х=-г)х/б(. В р случаев это предположение ие оправдываетсн, что вызывает необходимость в сти соответствующую допг>лнительиую модель. Линейная зависимость силы, де стнующей на материальную тюку при ее отклонении от равновесного положени от величины этого отклонения х, как это показано на рис. 1,5, не всггда выполв ется.
Вели разложить функцию /к(Х), выражающую эту зависимость (см. (1.)9)г в степ«явой ряд, то (2.2) примет вид г)«х/дм+ ыэ'х — ух" — ))х«, (2,7 гдг у н В-- коэффипискты, определяемые путем ра,щожснии фуикпип Г(Х)в ст 3О 2.1, Схема последовательного «ложнения мзтемапшсглой чохглн ш зной ряд. Решению уравнения (2,7» соответствуют ангармонические колебания.
! ~чгнно звену виду колебаний мы обязаны тем, что твердые тела имеют неравную" , ь, ~ю решеточную теплопроводность. Еще одно усложнение математической модели колебакий получим, если уч- ( и н, помимо ангармоничесннх членов, еще н действие силы трения, Инымн ело. ~ я, ми, необходимо включить нелинейные члены в уравнение (2.8) г!зх)Н!т+ (Ч(т) (Нхщ!) + зтззх = — тхз — ()х'. (2.8) Уравнение (2.8), как к уравнение (2.7), описывает нелинейные кгьтебанпя, , которым свойственны существеинью особенности, Например, собственная частота ) ~ олебаннй будет зависеть не только от параметров системы, но и от амплитуды !;,олеГ1аинй, На рнг.
2.1 представлена схема системы усложнающихся уравнений ( солсбаний. Каждан нз моделей, начиная с модели № 2, переходит в результате * ,«сдельного перехода в модель № 1. Кроме того, онв переходят я друг в друга. Схему, представленную иа рнс. 2,1, можно существенно дополнять. Мы етого зать не будем, тзк как наша задача — продемонстрировать иа простом примере , пипия постепенного усложненна математических моделей путем последовагсль , >го введения дополннтсгьных факторов. 2.2. ПЕРЕХОД К БЕЗРАЗМЕРНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ Другим важным методологическим приемом, облегчающим ре- нсние задач математического моделирования, является введение безразмерных п временных, которое чрезвычайно полезно практике математического моделирования. Приведем сначала пример, а затем обсудим преимущества этого метода, Пример 2.
Рассмотрим впадение безразмерных переменных в систему двух 1быкновеиных дифференциальных уравнений первого порядка г(х Кзу =аК~.я ~ — — Кьх) Кз+ Кгу 2 ну К,ху —:--Кзх+ — -Кьу, г(! Кз+Кзу д~ х и р — динамические переменные. Система (2.9) ивляется нелинейной.
Она содержит девнть параметров Кь Наедем следующие безразмерные переменные взамен размерных переменных; !ь Г/т, хе=-х(хо, !гз=-у!рз, (2.10) ле т, хо, уо — некоторые константы, имеющие ту же размерность, что и исходные «ерсмениыс; ! — независимая переменная; х и р — динамические переменные, Пользуясь выражениями (2.10), можво представить походные размерные нем менные в ниде .г=-хгхз; в=Муж (=тйь (2.11) 31 Подставив (2.11) в систему (29), получим лс '/хб, К»»'о»'г г(/б Кз+К»уота уо»»хб Атхоуоуб — — — ==.Кзхох+,; — Аь» о Уб г(16 Кз ! АзуоУ6 'На первый взгляд система (2.12) стала сложнее, чем сшгн»ш (291, г!шшко мы декоре увидим, что эта ие так.
Разделим уравнения сиоп мы 12,!2) по к»хтффндиенты при первых производных. В результате полу»шм с/хб аА,» Кттуоуб — — — — — Кьтхг (2.13) г(/б хо хо(Кз ! К»уоМ вЂ” — --К туо »/Уа К» охб К х»»тоуб (2. 14) (/6 уо Кз '. Кауоуо тК» -.. 1, т ° !/А'». (2,13) (2,18) Л(нож»»тель при уб в уравнении (2.13) принимает и»ш Кт х Кзк» (Кэ/К У "1 Уб! М»4 можем выпотшнть н другое условие Кт/хоК»К» 1, (2. 17) Из выражения (2.17) находим х,» Кз/(К»А' ).
(2.18) второго Осталось определить»ш»чси»»с ус Оно»»»тгск»»»»т»».» следу»ошф а1п»сн члена в правой части уранипипя (2 !4): Кттлсхг,тб Кзуо (К»!Кгбто !»т) (2.19) Хстестненио потребовать, чтобы А'гтхр/К»ус — — 1. и уравнение (2.20) выражения (2.18) и (2 К»К»/Кз К»К»!гз" !2 ои) Иодстап.шя 19), ппй:»» и (2.2!) О»шола /!о = К»А»//»»" К»К». (2 22) при ншием выборе величин хь ус, т, уравнения (2.13) и (2.!4» и!»пь»у~ ш|л 32 Заь»ст»»м, что васдсииые вып»с:»начепиа хь уь т п»»ка псилвсшпы /ды чо»ком опрслелпхп их так, ~т»»б»з уравпшшя (2,1:1) и !2,!11 уп)»»»ст»лись»'.:и;»уш шм»- тять, что выбор к,, уб и т псодяозилчси! при ттпм выборе моаыш и!н»л»лов»»ть фазличиые цели, Одной из вих может являжси макгимальяоо ун!чипгипг трявпсияй В нашем случае можно, например, потребовать, попы»»»»»»»»т»рм«к»»»фф»»»»»»- енты в уравнениях (2.13) и (2.!4) обр»жились в 1 !!»»»пи»»»»зм» л»н»»» г»~ и этом направлении ограничены, так как»»м»»»тс»» только три свободных ниро»итра хс, Ко и т, значениями которых можно рзспориж»пъсв ио ся»»»му усм»»т!»еаа», постйанм зйдйчс ос»»опалит»шя от яо»»фф»»»»и»»г»то»», и!»й уг о»!»;»»и~»нпп (2 !и); прн хс; уз в уравнении (2.14); при .»о и уг, о урнвиеияах (2!3) и (2,14).
Иа послслпего ус.топни д.кб уб — = Ч~ .~- — — хб, «тб ' у+уб (2.23) дуб дтб Хбуб =зхб+ — — уб, р+уб КнК», б- К„ (2.24) аКгКн где т, КнКнКн К,к„ . К,К(Кн КтКн Пример 3. рассмотрим двухмерную диффуажо молекул в жидкости оод дсйстанем алектростатиясских и пеитробежиых сил. Потоки жидкости оаределяются выражеииями )х= — ту(дада) + о*с; )х — (У(дс/дв) + вес, (2.! 5) Теперь подведем итоги эффективности введения безразмерных переменных. В уравнениях (2.23) н (2.24) имеется всего четыре коэффициента, т. е.
на пять коэффициентов меньше, чем в уравнениях первоначального вида (2.9). Таким образом, мы выиграли в результате преобразований пять коэффициентов, хотя имели право при введении безразмерных переменных выиграть только три. Остальные два выиграли за счет преобразования знаменателей во вторых членах правых частей рассматриваемых уравнений. Большая простота уравнений (2.23) и (2.24) по сравнению с системой уравнений (2.9) очевидна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
