В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Математические модели в виде иптегро-диффс. ропцн альных уравнений. Во многих процессах, в которых з !аствуют большое число объектов„существенпуго роль играет СУММаРИЫЙ РЕЗУЛЬтат МНОГИХ НэанМОДСЙСтИПЙ. В атак СЛУг!а!зги ОС- попу математической модели составлнкзт обычно интегро-дифференциальные уравнения. Примером служит знаменитое уравнение 26 ,Больцмаиа, являющееся основой-кинетической теории жидкост и газов. Разумеется, перечислен!и ш разновидности математических мо-! делей ис исчерпывают весь математический аппарат, применяемый', н матсмзти иском моделировании. Особенно разнообразен матема-, тюиский аппарат теоретической физики и, в частности, сс нажнейии го раздела — физики элементарных частиц.
[",у[псству[от и други~ принципы классификации математических моделей. В ки [естве основного принципа классафа[гации матеэхатическах ,наделе!) чигго испо«[ьз[[аг области их прих[ененил. При таком под-') ходе выделяются следующие области применения: физические процессы; технические приложения, в том числе управляемые системы,:,' [юкусственный интеллект; жизненные процессы (биология, физиология, медицина); большие системы, связанные с взаимодействием людей (со- ' цпзльнь[е, экономические, экологические); гуманитарные науки (языкознание, искусство).
В этнх разнообразных применениях математических моделей выдсляк[тся определенные общие подходы. В тоже время существует и значительное своеобразие моделей в отдельных областях их применения. Обе)ждспис э[их проблем выходит далеко зз рамки нашей темы, Однако можно отме-, тить, что области применения указаны в порядке, соответствующем убываишо уровня адекватности молелен. Феноменологические математические модели и модели, отражавшие механизм процесса.
Между этими двумя разновидностями не существует четкой границы. Как правило, в определенной об- ' ласти науки супшствует система матсматич[скнх моделей, связанных друг с другом предельными переходами. Б частности, термодинамика является феноменологической нау-, кой, описывающей поведение сложных систем, например газов, >к[[дкостей и др. рермин «феноменологическая» применен для того, чтобы отразить отказ от рассмотрения молекулярно~о строения веществ, к описани[о которых применена термодинамика.
Примером модслен, отражающих механизм исследуемого процесса, являются математические модели молекулярной теории. На[ц[и;и[р, молск)[[кривя теория газов основ!!на па Л[авпснни Больцмала, пз которо~о следуют распределения Максвелла — Больцмаиа и его модификация в условиях неоднородных процессов (диффузия, тсплопроводность н др.). Таким образом, термодинамика является феноменологической моделью по отпошени[о к моделям, учитыва[ощпм молекулярные механизмы. Однако и кинетическая гсория, а также связаиныс с ией математические модели, не учитывак[т механизм взаимодействия между молекулами.
Этот фактор учитывается лишь фепоменологически — введением зависимости потенциальной энергии илп силы межмолекулярного взаимодействия от расстояния между молекулами. зя Гаким образом, кинетическая тсория газов является феномено: в )вской по отношснию к матсматичюской модели, в которой .!Нчодюйстиие между сталкива)ошимися атома>)и или молюку)и рассматривается и квантово-механическом приближении с : !ом нх электронной структуры. Физичсскис теории обычно ба;:,» ются на фюномспологнчсских и нефеномеиолоюшсских моде!!оследнис, в отличке от фсномеиологичсских, иногда назымоделями, описывающими механизмы процессов. Имитационные математическис модели. При их создании полн ть)о игнорируют все внутрюпнис особенности модслирусмого ~- !х КТН. !!Сл)Ю МОДЮЗ))СРОВЯННЯ Н Э)ОМ СЛУЧВЮ ЯВЛЯЮТСЯ ОПИСЗИИЮ !и,:сдсния ооъскта — «чсрного ашик໠— как единого целою, 11рсд!;, ! Ни в этом случас процссс в вндс «чсрно)О ящика» (см.
рис. 1.1), : „ходят связь между выходныч пара!>с)ром нли параметрами )ф)икциямн отклика процюссв) и множеством входных коптролвмых и управляемых параметров (факторов процесса), отвле,", !ь при этом гл су!Нностн механизма явлений, протска)оших и !Сдуюмом обьсктс. !1ри этом прсдполагают, что мсханизм явлс. „!и чо>кио описа)ь дифференциальными уравнениями, хотя ираки н ски их получить трудно или порой невозможно из-за сложности :!; >и!сса. Дтлюю предполагак>т, что систему диффсрюнциальных :!«! !Исний можно ршпит>в хотя практически нп рсшению, ни даже , из !птичсский иид той функции, которой опо задается, как пра:;:, Игп:еСС)НО. : ~и)о»! принятых предположюиий, занисичость между функ,ш й отклика л)обого процесса, представленного в виде «черного , пика», и факторами, действующими на его входе, может быть , исяна в общем виде иолиномом любого порядка: » » х Г = (>в+ ~(>)Х)+ '~~~ Ь>)Х>ХТ+ ~» (>ИХ,'+ ..„(1.32) )=! И»1 ! ! н!)фнцпюнты которого являются коэффициентами ряда Тейлора, ., шачеипями частных производных в точке, вокруг которой осу- «:., гилястся разложению нензвсстной функции, задакицюй реп)синю и !юстиых иам диффсрснциальных ураииспий; так 1>,:==!)>>)дхи !У'у/дх,дх;; (>„= д'у/дх', !'.
точки зрсиня познания механизма явлений, происходящих в сдусмом объюк)е, из)итациопная модель представляет собой ~ еачитсльпый интерес. Зная значсиия первых членов ряда Тсй- .! еи, невозможно восстановить исходные диффсрсипиальиыс урап;!Ня, которыми описывается механизм процесса. 11равда, воз- , »я,!а физикО.ыюханичсскзя )шт))рпрсгяция пол!чсипых рсзульта- ,!е. Но оиа нс даст Одиозна )пых прсдставлсний о прнродс явлгпий. !1О. ш!смотря на исс это, полииомиальныс модели очспь удобны ; !ч оптимизации зпачспий функции отклика исслсдуюмого про. .:,гся и при планировании экспсримгнта. !1ми)гацноннап модс.и, в индо полипома (!.321 яплястся мате- я;!!Нчсской моделшо с сосргдоточсннымн иарамстрами.
!) то жю 27 Г 1)«м„: 1:!, и, ю «.1:1ции эмпирических зависимостей коикрстны. пи.1лн1;ш 11 и иырлжсписм, как уже отмечалось ранее, исполы !1и! ! . иг1, !ЛЛ1,И14й прин!пи (метод Гаусса). Поэтому разра ба!иии;1и и итога м;псматичсская модель можст быть така!с отнс4 сипи к ми!! мггпшеским моделям, основанным па экстрами!и.ны!( ПРИИИИПИХ. ',~'1И!ТЫПаи, ЧТО КИЛ!ДЫМ ОПР!ДСЛСПНЫМ анас!апняп Х; и шп11и! гстипи с (1.32), будут соотпетстпоиать вполне опрсдглгн иыс знп'!с!и!я у. то эту мпдсль можно Отнссти к жестким матсыа( тич!'Скип ыОдспяы.
Это лишиий раз показь!наст сложиость Одно( зиа пнп) классификации математических моделей и объясняет мио4 гообразнс применяемых иа практике их классификаций. В отличие от имитационных моделей, целью мптсматнчсски моделей, прстсндуюьцих на роль описания теории явлсния илп про цссса, является адекватное представление обьсктз иа основе фун дам!.итальных законов природы и данных о внут(рцгппсй струкчхр моделируемого Объекта и взаимодействии с1о частей. При выявлении оснопных, дсйстигмогпих в исследуемом про-', цессе, механизмов очень важен опали! эксперимс!мали;!ых дан-,', ных и проведение необходимых оценок. Имск!тся в виду количс-( ствепныс оценки роля различных факторов, которые в итоге~ должны привести к принципиальной схеме исследуемого процесса.", В дальнейшем эта схема составит основу математической модели:.
процесса (см. гл. 7). КОНТРОЛЬНЫЕ ВОНРОСЬ! 1. Какие агиавиыс ~ руины параметров сложного ирацсссе, а.шяюжие ии ы.о ~ иовед! иис Вам ивисе!иы и и км их особенность? 2. В чем отличие физического и математического маделираиа!гиа? 3. В чем асобеивоста моделирования процессов, характеризую!Иихся функциаиальиыми и статистичесю!ми свивями исследуемых параметров? 4. Как классифицировать модели, используя область их приме!гсиюы 1 5, Чем характерны феиамеиологические моделиз б. В чем преимущества и исдостатки имитациоииой модели, иредставлеииой .
в виде иолииома ли!бого порядка? 7. Каковы целя ироиедсиия регрескоииого и каррсляциоииа!о ииализавз В. Как подсчитать козффициеиты корреляции и корреляциоииас а!пажем!с? ГЛ А В А 2. МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 2.1. КОННЕПЦИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО УСЛОЖНЕНИЯ РАЗРАБАТЫВАЕМОЙ МОДЕЛИ Одним нз важнейших перви шых этапов матсматичсского моделирования является выбор концепции модслирования. Обычно математическая модель включает нскоторые фундамситальпыс псрвичныс законы, а также частные закономерности специфических для рассматривасмого объскта процессов.
Ис следует стремиться с самого начала работы к созданию адекватной модели рассмат- 28 .1«а«мого процесса, хотя эта цель должна, разумеется, суп!Сство„')ь. Однако поп!»1тка сразу, с нсрВОГО подхода, дости1П» 11» высокой «!скип»п)ости имсст шансы нп 1М1а«и«Вцик) 1Ол1,1»О и!);1 наличии ОльшОГО Опыта матсмати'!сскОГО модслнроиани51 имспно в рас- )1птривасмОЙ области. При моделировании в новой области можно рекомендовать сле.ги)п)ий подход к решению задачи. 1!а первом этапе следует сов.; гь «грубук»», по тор)пшоло)-ип академика Л.
Д. Андропова, или «1жс «максимально грубую» модель. Речь пдст об учете т!)Мп ко «бо)ьшс)го»1«слс) самых суп!се)в!пныл факторов. Разул)естся, !Йст11щосать на высокую адеква)ность «грубой» модели пс при. »ди!С)1. Одпакс) работа с такой модслыо разов!.Ст иптуици!О нсслс- 1, ватсля и составит базу для соз.!аш)я следующей, более адек«)тио!! модели, в которук) целесообразно включить дополнитель«ый фактор по сравнению с тел!51, которые вошлп и первую — самую ,:»)!)у)о» модель.
Получив вторую модель, слелует проверить, даст пра)шльиый результат предельный подход к пер«оп мьдсли. )!От переход можно осуществи)ь, если, папрнмер, устремить к 1).)ю какой-либо параметр, значение которого связано с дополнисльным фактором, введенным во вторую модель. В результате !и дельного перехода будут получены уравнение «грубого» при- .1«жсппя и его решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
