В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Величина находится из табл. 2 приложения 1 при ! — 1 степенях свободы и заданном коэффициенте риска (). Прн В>Х'„ признается значимость различия выборочных дисперсий з"'ь Критерий Фншера (Б-критерий). При анализе результатов зкс. псримента требуется не только уточнить вопрос о воспроизводимости эксперимента, оценивая однородность изменчивости и, в частности, дисперсии в различных опытах в ходе его проведения, но и оценить различие значений дисперсий для одной и той же случайной величины.
Если зти различия япляк>тся случайными, то гипотеза о фактическом равенстве этих дисперсий янляезся справедливой. Б этом случае изменчивость, например, экспериментально полученных значений функции отклика, является ожидаемой для рассматриваемой генеральной совокупности нх распределения. Прн гауссовском законе распределения случайной величины для проверки гипотезы о равенстве двух дисперсий одной и той же случайной величины, в качестве критерия значимости используется Е-параметр, который раасн огнен~спи о двух рассматривае- ва мых выборочных дисперсий э! и аз, имс!ощнх соответственно сто. пепи свободы ' т, и ъз, т. е.
Е = зз!/зхе. (5.8) з (х -х!)з 1=! =з.=т— ! з, ~~ ', (л! — лй 1=! Я и! — ! Далее подсчитывают величину стандартного отклонения выбороч- ных средгшх арифметических значений по формуле (л,— 1) з!+(из--1) зз Х э 2 Я- = (и,— !)+(и,— 1) (5,9) Для случая, когда среднее выборочное сравнивается с математическим ожиданием М(х) генеральной совокупности Л', из которой берется выборка, и при условии, что асЖ, дисперсия средних подсчитывается по формуле с!а=о!у'й (5.10) ' Число стспеиеа свободы — это разиость между числом экспервмеитов и числом зппчежю иезаписимых случааиых величии, получсииых в результате этих зксиеримеитоа, которые ие позволихзт оцениваемой в резучьтате зтах экспериментов величине (иапример, среднему зиачюиио) принимать какос-.чпбо другое зиачеиие, отличное от получеииого по окоичаипи их проиедеиип.
87 1)ри расчете и"-параметра по (5.8) должно выполняться услои!к з'!>з'з. В противном случае следует поменять местами рассмазрппасмые дисперсии. !)и!!псиное экспериментальное значение г"-параметра сравнивается с его критическим значением р„р, соответствующим максимальному зпачепик! отношением двух дисперсий, при котором еп1е можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой.
Критичное значение Р„р по числу степеней свободы и заданному коэффициенту риска находится из табл. 5 приложения 1. значение числа степеней свободы т, дисперсии, стоящей в числителе выражения (5.8), определяет значение Ркр по столбцу„а значение тз— по строке. Если )зк.Рез, то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается. В противном случае, рассматриваемые дисперсии относятся к различным генеральным совокупностям исследуемой случайной величины. Критерий Стьюдеита (1-критерий). Для пронсрки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей гауссовский закон распределения, используется критерий Стьюдента.
Для применения данного критерия подсчитывают выборочные средние арифметические значения случайной величины х! и хз, соответственно для выборок а! и лм и их выборочные стандартные отклонения Если генеральная характеристика о неизвестна (а это иаиболес часто встрсчаюпгийся случай), то в (5.!О) берется ес оценка э-„= лап. (5.11) После того, как определены стандартные отклонения выборочных средних арифметических, подсчитьпгают рвал!ах Стьнздигта: г= !хг — х!!!з, или !=!М(х) — х!(з„-. (5. ! й) Найденное экспериментальное значение ! сравнивают г критичным значением 1„р, которое определяют по таблице распределения Стьюдента для заданного коэффициента риска р (см.
табл. 1 прилогкения 1) и числа стспеиег! шпгбоды т. !!слн 1-<!г„то пшотеза о равенстве выборочных средних арифметических значений принимается, а это значит, что выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. 11ри малом объеме выборки (икс!О) ! — случайная величина и ее распределение нс является гауссовским. Однако по мере увеличения объема выборки Ораснрг деление приближается к гауссовскому. При и~30 его можно считать практически гауссовским, После вычисления коэффиписитов имитационной модели, пред.
ставленной в виде лип!нного полипома, как будет показано в ~ 5.2, оценивается их значимость для определения степени влияния различных факторов на выходной параметр (функцию отклика). Основой оценки значимости коэффициентов полнпома является сопоставление абсолготного значения, наирнмср, коэффициента (Ь!) н дисперсии ошибки сп! определения з'(Ь,).
В этом случае с помощью 1-критерия проверяется пшотгза о пезначимости рассматриваемого коэффициента, т, е, ьзпнгтеза о том, что Ь;=О (проверка нуль-гипотезы). Поэтому ири подсчете экспериментального значения (-параметра, в отличие от (5.12), в числитель ставится абсолютное значение рассматриваемого коэффициента, а в знаменатель — дисперсия ошибки его определения, т. с. для оценки коэффициентов, стоящих в лянейных членах полинома, имеем (;= 5/)!зг(Ь).
(5.13) При ортогональном планировании эксперимента дцсперсни ошибок определения каждого из коэффициентов равны между собой зг (Ь) зг ( У) !пй! (5.14) где гг' — число номеров опьыов, определяющих в соответствии с матрицей планирования, условия проведения эксперимента; и— число параллельных опытов для каждо!.о условия (номера опыта) проведения эксперимента. Для оценки дисперсии воспроизводимости з'(У) можно воспользоваться !.руппой вьгборочпых дисперсий, приведенных в Х1Ч столбце табл. 4.3.
Тогда зг ( У) = У зг ! Д!, ВВ Коэффициент 5 признается нсзначнмым, если 1 для числа степеней свободы т=)т'(а — 1) меньше 1,м найденному из табл. 4 при-. ложения 1 для заданного значения коэффициента риска р. 52. пОРядОк стАтистическОи ОБРАБОтКи И АНАЛИЗ РЕЗУЛЪТАТОБ ЭКСПЕРИМЕНТА Рассмотрим более подробно порядок статистической обработка и анализа результатов на примере ПФЭ.
Следует отметить, что тот жс самый порядок будет справедлив н при других методах планирования эксперимента, хотя расчетные формулы, разумеется, будут отличаться, Обработка и анализ результатов ПФЭ предусматривает следующий порядок их проведения. 1.
Оцениваются дисперсии среднего арифметического в каждой строке матрицы по формуле (5 157 2. Проверяются однородшютн дисперсий. Так как даже одна грубая ошибка может исказить результаты исследования, проведенного при небольшом числе экспериментов, то необходим контроль воспроизводимости результатов исследования, который осуществляется с помощью критерия Кохрена. Если проверка показала, что эксперименты воспроизводимы,, то их результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессии; если же зксперимепзы невоспроизводимы, то неконтролируемые и неуправляемые факторы создают на выходе слишком большой уровень «шума». При отрицательном результате (эксперименты невоспроизводимы) проверяется следующая точка (имеющая второе по величине значение з~) и т. д., т.
е. выявляются все точки, в которых эксперимент невоспроизводим. При этом можнсг рекомендовать увеличить число параллельных опытов. 3. Создается математическая модель объекта с проверкой статистической значимости коэффициентов полинома. После выполнения ПФЭ осуществляют независимую оценку коэффициентов полннома но следующей формуле: = ~л~~ ~'"ОА~ (5,17) Е 1 где хп принимает значения +1 или — 1 в соответствии с матрицей планирования. В числителе (5.!7) фактически стоит сумма средних зпачсппй выходного параметра па всем опытам с учетои уровня независимой переменной х; в $-и опыте. Следует отметить, что по формуле (5.17) мы можем найти также коэффициенты Ьп при произведениях факторов х;х; (1Ф1).
39 интервал варьирования ЛХ; переменной выбран слишком малым; данный фактор (взаимодействие факторов) пе оказывает влияния на значение выходного параметра. '1ак как применение ортоганальных планов дает возможность оценивать значения всех коэффициентов независимо друг от друга, то, если олин илн несколько коэффипиепгов окажутся незиачимыми, они могут быть отброшены без пересчета остальных. Отбросив незначимые коэффицнегпы, получим уточненную имитапионпую модель в виде полинома, предс1авляющую зависимость выходною параметра от технолопшеских факторон. 4. Проверяется алекваппють.
Математическая модель лолжна достаточно верно качественно и количественно описывать свойства исследуемого явления. т. е. она должна быть адекватна. Это значит, что в некоторой полобластиь ч которую входят и координаты выполненных опытон, предсказанное с помощью модели значение отклика не лолжпо отличаться ат фактического более чем на некоторую заранее залаину!а величину. Для проверки адекватности достаточно оценить отклонение предсказанного имитационной моделшо значения выходного параметра уп от результатов эксперимента уг в точке Хг факторного п(н страпствв. Оцениваем дисперсию адекватности Ф зг„=- — '',)' (у, -- у„)", г з (5,18) где с! — число членов аппроксимирующего полннома.
Если з,', не превышает дисперсии опыта хг(у), то полученная математическая модель алекват1пг представляет результаты эксперимента; если же з,'„>хг(у), то проверка гипотезы аб адекватности проводится с помощью Р-критерия при ч.х=/г' — г( и з =- == й1(п — 1) Значения этих коэффициентов показывают уровень влияния эффекта взаимодействия факторов Х; и Хь После вычисления коэффициентов оценивается их значимость лля определения степени влияния различных факторов на выхолнай парамезр. Основой оценки значнмосзп является /-критернй (5.13).
Коэффициент Ьг признается незначимым. если г для числа степеней свободы А'(л — !) меньше Г,я (см. табл. 1 приложения 1). Отатисзическая незначимасть коэффициента 0~ может быть вызвана следующими обстоятельствами: уровень базового режима па данной переменной Хгя (или по пронзвелешпо переменных) близок к точке частного экстремума: Ь;=ду(Хг)/дх;=0; /т зг /хг ~д г! если Г «Г,р, то модель признается адекватной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
