В.Г. Блохин - Современный эксперимент (1062943), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Га!с, для иеиреобраловаииой матрицы в соответствии с табл. 4.4 длр! Ьо риамеиатепь (5.22) билет !а тч хю! !'3 НЙМ Обработка и анализ результатов для ЦКОП иропод!пся н том же порядке, как и .!ля ПФ.=), с аналогичными формулами для оденки дисперсий среднего арифметического (5.16) и адекватности (5.18). Исключение составляют формулы для расче!а коэффициентов полииома (5.17) и дисперсии их оиределеиия (5.14). В силу ортогоиальиосги матрицы 1(КОП все коэффициенты иыитациоииой модели в виде полииома 2-го порядка определяются, как и для ПФЭ, независимо друг от други. Нг! если при подсчете коэффициентов в соответствии с (5.17) и знаменателе используется одно и то же значение Ж (число иомеров опытов), то в ПКОП расчет коэффициентов иолииома ведется ио формуле дг ~М'.~ хгеУ! и ° чл хац е=! для группы коэффициентов при линейных членах к! полиномв !а Х'— ~ лэ =-8+ 2сР; и »=! для группы коэффициентов х;х, нлн х!х»хм учитывающих взаимодействие факторов, (5.25) (5.26) !6 ~)', (л!лт)» = 8' »=! для коэффициентов прн квадратичных членах х!з полннома !а Х- (х,)э = 8 + 2а'.
»=,! Соответственно формула для расчета дисперсяи найденных по (5.22) коэффициентов полинома, будет иметь вид п з» (Ь !) = э» ( 1')/и ~~ хт! . (5.23) $=! Расчет дисперсии воспроизводимости эксперимента з»(У) при оценке дисперсий коэффициентов в (5,23) прон!водится по фор- (5 15) Из сравнения (5.231 и (5.14) видно, что в ПКОП дисперсия коэффициентов полипома будет различной для нх различных групп, в то время, как для линейной модели она постоянна. Для непреобразованной матрицы оценку дисперсии для всех групп коэффициентов легко получить, учитывая приведенные выше зна- чения знаменателя в (5.22). Для приведенной матрицы ИКОП в соответствие с табл, 4.5 оценка дисперсии различных коэффици- ентов в общем виде может быть представлена, как з'(Ьа) =з'(У)/!»/»!.
(5.241 При /»<5, когда Е1КОП базируется на ПФЭ типа 2', ае(Ь!) =з'(У)/и(2!!+2о,'), з'(Ьц) =-з»(У)/п2» а!(У) з'( !)— (5.27) н 12!(! — х»!)'! 2(а! — х!14(х»1!1 ' М где !»! =- "э'; »=! Прн Ь=-5, .г»!,//т'. когда 1»КОП базируется на ДФЭ типа 2' ', з! (Ь ) =- зь(У)/!! (2»-!+ 2ьэ), з' (Ьп) == з' (У),'а2» '„ .!! ( У) эа(Ь!!) !7 (2 (! — х!]! !.2(~Ф вЂ” хг)!4 (х!)!1 (5.28) (5.2!8) (5,30) Ь0 — 2Х(( ~А+2(0у) — 2~с ч~((/!) л( ~ г=! (5.31) Ь, = — (с//!г) (гу); (5.32) Ьу =(сз/М)) Я); (5.33) «ч +((««-2)).— «(((() « '(( — «) Э ((() — г). (0«): СБ«4) ( 1 з'(Ь0) = 2А>.'(й + 2) зз(у)/('(и; зз(Ь,) =-сзз(п)/Чп; С учетом выражений (5.24) — (5.30) значение /-параметра, под«считанное по (5ДЗ), будет отличаться знаменателем для различных групп коэффициентов полинома.
А это означает, что в отличие от лнцеяного приближения, при ортогональном планировании на базе полинома второго порядка о ц е н к а з н а ч и м о с т и н а йленных коэффициентов полинама ЦКОП будет проводиться с различной точностью н изменяетсяся при повороте координат. Изменение дясперсии ошибок определения коэффициентов полинома прн повороте коорлинат приводит к тому, что в ЦКОП точность предсказания выходной величины (значения функции отклика) в различных направлениях факторного пространства раз.лична. Это означает, что точность опрелеления математической модели исследуемого процесса (ее конкретный внд зависит от точ«ности определения коэффициентов полипома) во всех направле«ниях факторного пространства не одинакова.
Различие в точности оценок коэффициентов палинома прн описании областей, близких к экстремуму, особенно нежелательно, так как исследователю при планировании экстремальных экспериментов необхолимо иметь высокук) точность описания процесса именно в этих областях. В этом случае более удачным является ЦКРП, который, как уже отмечалось в гл.
4, позволяет обеспечить практически одинаковую точность опрелеления функции отклика у во всех направлениях факторного пространсзва па одинаковом расстоянии /г о! центра планирования. Обработка и анализ результатов ЦКР(! будут отличаться от ранее рассмотренных только в подсчете коэффициентов полинома и их лисперсий. При реализации рототабельных планов, как уже отмечалось в гл.
4, с целшо уменьшения общего числа проводимых опытов обычно не проводят параллельных опытов для оценки воспроизводимости экспериментов. Дисперсию воспроизводимости в этом случае оценивают по экспериментам в центре плана, число которых значительно больше, чем в ЦКОП. Формулы лля расчета коэффициентов полнпома и их дисперсий при рототабельном планировании значительно сложнее, чем при ортогональном (6)) А = 1/2), ((л+ 2)), — /е) Таким образом, преобразование регрессионного уравнения вида (4.20) к каноническому виду (5,39) выполняется в два этапа. Па первом этапе осуществляют параллельный перенос начала координат в точку О, (рис.
5.1 и 5.2), освобождаясь при этом от лшсейпых членов. Координаты точки О, определяют из решения системы уравнений, гсредставлясосссих собою частные производные (4.20! соответственно по Хс н Хе, т. е, ду/дхс=-0; ду/дХЕ=О. После перссюса центра координат, исходные величины У,Х,, Хе связаны с новымн У', Х, Х соотеюшеннями; У= У„+У', Х,=-:Хь )-Л;; Х ==Хь+Х'. Б псшой системе координат уравнение (4.20) принимает вид у — у, = ь„(х,') + ь, (х')'-; ь„х;х'.
с (Ь„) =-А(,(/с+ !)?,— (/е — !))с ' (у)//ЕС:, (5.3? ) зе(Ьсс) ' — -созе(у)/сйсп. (5,33) Б фоссмулах (5.31) — (0.38): с == М/~~ х'.; и' Е-.- Е ' -М/с//'(/о+2) лд ае =Лг---гло, ос ст (Оу)=- У х,,у,; (ЕТ) =- '5" х',еу.,; с Е=Е и М ((У) = ~' хпу;.' (е/) =-. ЕР„хмх„у,. Еои о=с Так же, как и при получении линейной модели, обработка результатов прн реализации ПКП прелполагает статистические проверки гппслез воспроизводимости резу,оьтатов экспериментов, значимости коэффициентов и адекватности моделей.
В заключении рассмотрения ЦКРП следует отметить, что несмотря па то, что матрица ЦКРП является не ортогональной, она позволяет минимизировать ошибки в определении У, связанные с неадекватностью представления результатов исследования поли- номом 2по порядка. Полу сенная модель 2-го порялка ыо'кет быть использована для нахождения оптимальных технологических режимов. При этом ее тщательно анализируют и методами аналитической геометрии приводят к кшпсиической форме. При преобразсшапии прежде всего освобождаются от линейных членов переносом начала коор?спнас в точку Ос, затем — от эффектов взаимодействия поворотом осей координат. Для двух независимых переменных н результате получают уравнение в канонической форме У вЂ” УО, — — Вои (Х1)о+ Л,„(Х2) .
(5.30) Рис. ое, !. Эллиптическая пов! рх- ность отклика Рпс. 5.2. Поверхность отклика типа мипимакс На втором этапе, прн помощи поворота осей координат освобождаются от эффекта в!аихтодейстпия, Угол понорота у (рис. 5, ! ) осей координат определяется из уравнения с(р2у=-(Ь|,— Ьат)/Ь!л. После поворота осей около нового центра коордшшт Оь !!сто:гные значения факторов Х, и Х, будут связаны с новыми Х,' и Х' соо!'по!пениями! Х =(Х'+ Х!ь) соя ! — (Х'+ Хть) а)п(' Х, == (Х; + Хь ) а ! п ( -, '— (Х;+ Ха„) сов т. Ь ! ! + Ьтт = В! ! + Втт! гтпЬтт Ь~ !4 В!!Вам И!!и на основе теоремы Виета их можно определить, как корин квадратного уравнения В' = (Ь!! + Ьт.) В+(Ь!тЬтт — Ь~хг4) = — О. Поверхяость отклика в зависимости от вила канонического уравнения может быть трех типов.
Гели коэффициенты В!! и Вал имеют одинаковые знаки, то поверхность отклика--эл,инптяческий параболонд, псптр которого-- искомый экстремум (рис. 5.! ). В этом случае, дли нахождения оптнмаль!юб точки можно воспользоваться уравнением 2мю порядка (4.20), для чего приравниваются нул!о значения компонентов градиента (!)АО) г! У)дХ, = Ь, + 2Ь!!Х, + Ь пХ, =-. О и решастси систст!а уравнений, Прп разных зинках Вп к В;в поверхность отклика относится к типу !ппиь1аксз илп ессдла» (рпс. 5.2).
Дия ип.,ождсч!ии о:1!имяи! пь!х !Схполг!гпчсских )тежнмов нужно двп!ат!Ся по бла!опрн- 98 Тогд~ уравнение в кан!зннт!Соком инде в новой системе кггю!)м дяпят будет име!ь вид (5.39). Коэффициенты канонического уравнения В,! и Вы наход!ятся прн решении системы Рпс.
5.3, Поверхность отклика пша вотрнстающегг~ воз- пыплсгщя Пример !. В точке 4 (табл. 3.2) серии опытов, проведенных методом крутого восхождения, получен навболес благоприятный результат. Поэтому эта точка выбрана в качес~ве на низиной при постановке новой серии опытов. Интервалы варьирования персмсннык н уровни технологических факторов представггеиы в табл. 53. Однако после реализации ПФЭ 2л оказагккь, гыо полученная лшейнаи модель нсазлекватпо описывает результаты экспериментов. Поэтому решено было дополнить ПФЭ до 11КРП (табл. 5.4) для получения модели второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
