Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(Если бы это было так, то с левой стороны уравнения (33.22а) мы бы получили скачок, а с правой — его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие: (33.27) После тех асс самых рассуждений уравнение (33.22в) дает Е, =Е„,. (33.28) Последний результат в точности совпадает с полученным с помощью контурного интеграла условием (33.20). Перейдем к уравнению (33.23). Единственное, что может дать пнк,— это дВ„~дх. Но справа опять нет ничего, способного противостоять ему; в результате мы заключаем, что Вхз = Вхд. (33.29) И, наконец, последнее из уравнений Максвелла! Уравнение (33.24а) ничего не дает, ибо там нет производных по х.
В уравнении (33.23б) — одна производная: — сз(дВ,/дх), но ей снова нечего противопоставить с другой стороны равенства, поэтому мы получаем (33.3О) Совершенно аналогично второе уравнение, которое дает В э=в,. (33.31) Итак, последние три условия говорят нам, что В,=В . Хочу здесь подчеркнуть, что такой результат получен только потому, что по обеим сторонам границы мы взялинемагнитный материал, вернее, потому, что магнитным эффектом этих материалов мы можем пренебречь.
Обычно это вполне допустимо для большинства материалов, за исключением ферромагнетиков. (Магнитные свойства материалов мы будем рассматривать в последующих главах.) 79 ТаблиЦа 88.1 ° ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ дизлектРикА (еоЕ)+ Ро), = (еоЕо+ Ро) (Е))у=(Е )у (Ео)х=(Ео), в,=в (Поеерхаость расположеаа е плоскости Рх.) Однако я хочу отметить, что идея, которую мы только что использовали, будет работать в любой физической ситуации, где у вас есть дифференциальные уравнения и требуется нанти решение в области, пересекаемой резкой границей, по обе стороны которой некоторые из физических свойств различны. Для наших теперешних целей было бы легче получить те же самые уравнения с помощью рассуждений о потоках и циркуляциях на границе.
(Проверьте, можно ли подобным путем получить те же самые результаты.) Однако теперь вы знаете метод, который будет хорош, даже когда вы попали в затруднительное положение и не видите простых физических сообрая<еяий от носительно того, что происходит на границе. Вы можете просто воспользоваться дифференциальными уравнениями. В А Оту)пжетеосая и о)ууеломленная волям Теперь мы готовы применить наши граничные условия к волнам, перечисленным в з 2, где мы получили: Е, Е ео (е)-а х-оуо) ) ) Ш) охх — А о) Ео, =еооа у ) )о") — о„х-а о) Е)=Еое " у (33.32) (Зз.зз) (33.34) ахе) в,= —— ) 1 и'ХЕ, с о)' )о'Х Е) В = —.— '.
)— (33.35) (33.36) (Зз.з» Нами получены еще кое-какие сведения: вектор Е перпендику- лярен для каждой волны вектору распространения от. Наша программа привола нас к шести соотношениям меяоду полями в областях 1 и 2. Все они выписаны в табл. 33 1. Их можно использовать для согласования волн в двух областях. Полученный результат будет зависеть от направления вектора Е (вполяризацииэ) в падающей волне. Анализ сильно упростится, если мы рассмотрим отдельно случай, когда вектор Е параллелен «плоскостн падения» (т.
е. плоскости гу), и случай, когда он перпендикулярен к ней. Волна слюбой другой поляриаацией будет просто линейной комбинацией этих волн. Другими словами, отраженные и преломленные интенсивности для различных поляризаций будут разными и легче всего отобрать два простейших случая и отдельно рассмотреть их. Я подробно проанализирую случай падающей волны, перпендикулярной к плоскости падения, а потом просто опишу вам, что получается в других случаях. Я немного жульничаю, рассматривая простейший пример, однако в обоих случаях принцип один и тот же. Итак, мы считаем, что вектор Е; имеет только г-компоненту, а поскольку все векторы Е смотрят в одном н том же направлении, векторный значок можно опустить. Оба материала изотропны, поэтому вынужденные колебания зарядов в материале будут происходиа ь в направлении оси г и у полей Е в преломленной и отраженной волнах тох<е будет только одна г-компонента.
Таким образом, для всех волн Е„ и Е, Р„и Р равны нулю. Наяравления векторов Е и В в этих волйах показаны на фиг. 33.6. (Здесь мы изменили нашему первоначальному намерению все получить из уравнений. Этот результат также можно было бы получить нз граничных условий, однако, используя физические аргументы, мы избежали больших алгебраических выкладок. Когда у вас будет свободное время, посмотрите, можно ли его действительно вывести из уравнений.
Он, разумеется, согласуется с уравнениями; просто мы не доказали, что отсутствуют другие возможности.) Теперь наши граничные условия (уравнения (33.26)— (33.31)) должны дать соотношения между компонентами Е и В в областях 1 и 2. В области 2 у пас есть только одна преломленная волна, а вот в области 1— их две. Какую же из них нам взять? Поля в области 1 будут, Ф и г. 03.6.
Полприваеии отраженной и преломленной волн, когда поле К в падающей волгю перпендикуллрно к плоекоети иадени . 81 разумеется, суперпозицией полей падающей и отраженной волн. (Поскольку каждое удовлетворяет уравнениям Максвелла, то им удовлетворяет и сумма.) Поэтому, когда мы используем граничные условия, нужно помнить, что Ет = Ес + Е„Ез = Ее и аналогично для В. Для поляризаций, которыми мы сейчас занимаемся, уравнения (33.26) и (33.28) не дают никакой новой информации, и только уравнение (33.27) поможет нам.
Оно говорит, что на ераниссе, т. е. при х=Ос Я, +Š— Е Таким образом, мы получаем уравнение Е 'с т~ Е ' и= Е,е т" (33.38 которое должно выполняться для любого г и любого у. Возьмем сначала у=О. Для этого значения уравнение (33.38) превращается в сис, а се с Е" си"с согласно которому два осциллирующих члена равны третьему. Это может произойти, только когда частоты всех осцилляцпй одинаковы, (Невозможно, сложив три или какое-то другое число подобных членов с различными частотами, получить для любого момента времени в результате нуль.) Итак, 0)" = 0)' = ю, (33.39) как это и было нам всегда известно, т. е.
частоты преломленной и отраженной волн те же самые, что и падающей. Если бы мы предположили это с самого начала, то несомненно избежали бы многих трудностей, но мне хотелось показать вам, что тот же самый результат можно получить и из уравнений. А вот когда перед вами будет стоять реальная задача, лучше всего пускать в оборот сразу все, что вы знаете. Это избавит вас от лишних хлопот. По определению абеолютнал величина й задается равенством йг=пгоР(ег поэтому ус"' у е ус~ (33.40) н~ н~ н~ е 1 1 А теперь обратимся к уравнению (33.38) для ~ О. Используя снова те же рассуждения, что и прежде, но на сей раз основываясь на том, что уравнения должны быть справедливы при всех значениях у, мы получаем й )г ° Ь~.
(33.41) 82 (33.44) ай пй й 1 Их можно решить и в результате получить й й,"й ййй ! "й !йй ьй У пй е' "! (33.43) Предположим на мгновение, что и и и, — вещественные числа (т. е. что мнимая часть показателей очень мала). Тогда все й тоже будут вещественными и из фиг. 33.3 мы видим, что е — Г = з1п О,. з'-= — =з(п0, й! (33.46) Но ввиду уравнения (33.44) мы получаем п,зйп0,= и, зйп0;, (33.47) т. е. уже известный нам закон Снелла для преломления.
Если же показатель преломления не вещественный, то волновые числа оказываются комплексными и нам следует воспользоваться (33.45). (Конечно, мы могли бы определить углы 0; и Ое из (33.46), и тогда закон Снелла (33.47) был бы верен и в общем случае. Однако при этом углы тойке стали бы комплексными числами и, следовательно, потеряли бы свою геометрическую интерпретацию как углы. Уж лучше описывать поведение волн соответствующими комплексными величинами й или й„.) Из формулы (33.40) й'й=йй, так что й '+ й ' = й„' + й'. Комбинируя это с (33.41), находим й,' =/с', или й„=~й„. Знак плюс не имеет никакого смысла; он не дает нам никакой отраженной волны, а лишь другую падающую волну, и с самого начала мы говорили, что будем решать задачу с единственной падающей волной, так что й„= — й„. (33.42) Два соотношения (33.41) и (33.42) говорят нам, что угол отражения равен углу падения, как это и ожидалось (см.
фиг. 33.3). Итак, в отраженной волне ! ейй-й,й+йтю (33.43) Г Для преломленной волны мы уже получали До сих пор мы не обнаружили ничего нового. Мы доставили себе только простенькое развлечение, выводя очевидные вещи из сложного математического механизма. А сейчас мы готовы найти амплитуды волн, которые нам еще не известны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
