Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е. и'=1+е. Прн этом условии мы можем написать, что л='г 1+вж1+е/2, и оба выражения окаэываются эквивалентными. Таким образом, наш новый метод дает для газа тот же самый, найденный нами ранее результат. Теперь можно надеяться, что выражение (32.27) должно давать показатель преломления и для плотных материалов. Но по некоторым причинам оно нуждается в модификации. Вопервых, при выводе этого уравнения предполагалось, что поляризованное поле, действующее на каждый из атомов,— это поле Е„, Однако такое предположение неверно, поскольку в плотном материале существуют и другие поля, создаваемые соседними атомами, которые могут быть сравнимы с Е„. Аналогичную аадачу мы уже рассматривали при изучении статических полей в диэлектрике (см. гл.
11, вып. 5). Вы, вероятно, 'помните, что мы нашли поле, действующее на отдельный атом; представив его сидящим в сферической полости в окружающем диэлектрике. Поле в такой полости (мы назвали его локальным) увеличивается по сравнению со средним полем Е на величину Р~Зем (Не забудьте, однако, что этот результат, строго говоря, справедлив только для нзотропного материала, а также в случае кубического кристалла.) Те же рассуждения верны и для электрического поля в волне, но до тех пор, пока данна ее много больше расстояния между атомами. При таком ограничении Е„„„.= Е+ —.
Р ззо (32.28) Именно зто локальное поле следует использовать вместо Е в (32.8), т. е. зто выражение долягно быть переписано следующим образом: Р—.-з УаГ„„„. (32.29) Подставляя теперь Е„,„из формулы (32.28), находим кли Ма (у„~з) зоЕ. (32.30) Иными словами, Р для плотного материала все еще пропорциональна Е (для синусондального поля). Однако константа пропорциональности будет уже е,Ха/ П вЂ” (ЛЪ(3)), а не езУк, как раньше. Таким образом, нам нужно поправить формулу (32.25): ~+3 — ' Л (32.31) Более удобно переписать это в виде (32.32) который алгебраически эквивалентен прежнему.
Это и есть известная формула Клаузиуса — Моссотти. В плотном материале возникает и другое усложнение. Поскольку атомы расположены слишком тесно, они сильно взаимодействуют друг с другом. Поэтому внутренние гармоники осцилляций изменяются. Собственные частоты атомных осцилляций раамазываются этими взаимодействиями и обычно весьма сильно подавляются ими, а коэффициент трения становится очень большим. Таким образом, все ы, и у твердого вещества будут другими, чем для свободных атомов. С этой оговоркой мы все-таки можем представлять сг, по крайней мере приближенно, уравне- нием (32.7), так что из — 1 Лд,* у 6 3 —,= — У. и'+2 тзо ~„" — мт-[-1у м-[- о~„ оь (32.33) (32.34) где каждая а будет определяться выражением типа (32.7).
Выражение (32.34) аавершает нашу теорию показателя преломления. Величина 3(пз — 1)/(из+2) задается комплексной функцией частоты, каковой является средняя атомная поляризуемость а(ю). Точное вычисление а(ю) (т. е. нахождение ~, у, и юы) для плотного вещества — одна из труднейших задач квантовой механики. Это было сделано только для нескольких особенно простых веществ. й 4. Комнлексньей показатель нттеломлоння Обсудим теперь следствия нашего результата (32.33). Прежде всего обратите внимание на то, что а — комплексное число, так что показатель преломления п тоже оказывается комплексным.
Что это означаетУ Давайте возьмем и запишем и в виде вещественной и мнимой частей: (32,35) и = п — 1ии Я где пл и и — вещественные функции <э. Мы написали [и с отрицательным знаком, так что и для обычных оптических материалов будет положительной величиной. (Для обычных оптически неактивных материалов, которые не служат сами источниками света, как зто происходит у лазеров,у — положительное число, а это делает мнимую часть п отрицательной.) Наша плоская волна запишется теперь через п следующим образом: я =Ь е ~ек — *~о о Если подставить и в виде выражения (32.35), то мы получим Ее =Е е — ™'г' еьн — я.к1 о (32.36) Наконец, последнее усложнение. Если плотный материал представляет собой смесь нескольких компонент, то каждая из них дает свой вклад в поляризацию. Полная а будет суммой вкладов различных компонент смеси [за исключением неточности приближения локального поля в упорядоченных кристаллах, т.
е. выражения (32.28) — эффекты, которые мы обсуждали при разборе сегнетоэлектриков), Обозначая через й'7 число атомов каждой компоненты в единице объема, мы должны заменить формулу (32.32) следующей: ер и г. 82.1. Гра4ин поля Рл в нелеп«орый момент Е при гц нн2/л. Множитель ено(е — нлг/е) представляет просто волну, бегущую со скоростью с/лл, т. е. нл будет как раз то, что мы обычно считаем показателем преломления. Но амплитуда этой волны равна / / / Я е — инте~» о н с увеличением з она экспоненциально убывает. График напряженности электрического поля как функции от з в некоторый момент времени и для п,ж пл/2я показан на фиг. 32Л.
Мнимая часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что Интенсивность е — ьвпте~». Часто это записывается как Интоноивность с где ()=2юп,/с — коэффициент поело«ценил. Таким образом, в уравнении (32.33) содержится не только теория показателя преломления вещества, но и теория поглощения им света.
В тех материалах, которые мы обычно считаем прозрачными, величина с/вин имеющая размерность длины, оказывается гораздо больше толщины материала. ф Б. 11оманатель преломлентвя смеем В нашей теории показателя преломления имеется еще одно предсказание, которое можно проверить экспериментально. Предположим, что мы рассматриваем смесь двух материалов. Показатель преломления смеси не будет средним двух показателей, а определяется через сумму двух поляризуемостей, как в уравнении (32.34). Если, скажем, мы интересуемся показателем преломления раствора сахара, то полная поляризуемость будет суммой поляризуемостей воды и сахара.
Но каждан ив них, разумеется, должна подсчитываться исходя из данных о числе молекул Лг данного сорта в единице объема. Другими словами, если в данном растворе содержится Л', молекул воды, поляризуемость которойсс„и Л', молекул сахаровы (С,гН,сОм), поляризуемость которой а„то мы должны получить (32.37) с'-сз~ Этой формулой можно воспользоваться для экспериментальной проверки нашей теории — лзмерения показателя для различных концентраций сахарозы в воде. Однако здесь мы должны сделать несколько допущений.
Наша формула предполагает, что при растворении сахаровы никакой химической реакции ве происходит н что возмущение индивидуальных осцилляторов при различных частотах отличается не слишком сильно. Поэтому наш результат, безусловно, будет только приближенным. Тем не менее давайте посмотрим, насколько он хорош. Раствор сахара мы выбрали потому, что мы располагаем хорошими данными измерений показателя преломления * и, кроме того, сахар представляет собой молекулярный кристалл и переходит в раствор без ионизация и других изменении химического состояния. В первых трех столбцах табл. 32.2 приведены данные из указанного справочника.
В столбце А дан процент сахаровы по весу, в столбце В приведена измеренная плотность в г/смг, а в столбце С даны измерения показателя преломления света с длиной волны 589,3 ммл. В качестве показателя чистого сахара мы ваяли результаты измерений для кристалла сахара. Эти кристаллы не изотропны, так что показатель преломления в разных направлениях различен. Справочник дает три величины: и, = 1,5376, л, =- 1,5651, лг — 1,5705. Мы взяли среднее. Попытаеися теперь подсчитать л для каждой концентрации, но мы не знаем, какие нужно ваять значения и, и ос.
Проверим теорию таким способом: будем предполагать, что поляризуемость воды (сс,) при всех концентрациях одна и та же, и подсчитаем поляризуемость сахаровы, используя экспериментальную величину и и разрешая (32.37) относительно иг. Если теория верна, то мы для любой концентрации доля~им получить одно и то же значение ссг. Прежде всего нам нужно знать числа Лт и Л',; выразим их через число Авогадро Лс. В качестве нашей единицы объема * Взяты из справочника гНаасЬооЬ о1 РЬуг1сг аао СЬешЬггу». йОй о -с х й х оо'О йоа„х~ о х со с О сх хо о х' Х сс с О с с о О О х Х О сс Ы Яхй охх ййй со х О о ос о ОО О СО с'4 с'с с со о о о о С- С- ОЪ 'Я со с со О о со о|о о о" о со о о о ОС Ъ ОО О Ф С СО ОС о о о о о с оъ ос Я -' о о со с сх О о о ос о о Я Я Я 8 о о о И 2 сс П О И х ф О х о х х Ф х ф с х о х х о х М давайте возьмем один литр (1000 см').
Тогда отношение Л/,/У» равно весу одного литра, поделенному на грамм-молекулу. А вес литра равен произведению плотности (умноженной на 1000, чтобы получить граммы) на весовую долю либо сахаровы, либо воды. Таким путем получаем У»/Л~ и Лг,/Лю записанные в столбцах В и Е нашей таблицы. В столбце г мы подсчитали 3(⻠— 1)/(в»+2), исходя из экспериментальных значений и (столбец С). Для чистой воды 3(п» вЂ” 1)/(из+2) равно 0,617, что кап раз будет Л',а,. Затем мы можем заполнить остальную часть колонки С, поскольку для каждой строки отношение О/Е должно быть одной и той же величиной, именно 0,617: 55,5. Вычитая столбец О из столбца Р, находим вклад Лг»а„вносимый сахаровой, который записан в столбце Н. А затем, поделив эти данные на величину Л',/Л', из столбца В, мы получаем величину Л"»с«„приведенную в столбце Б Из нашей теории мы ожидали, что все величины /у«а» должны получиться одинаковыми.
Они получились хотя и не точно равными, по довольно близкими друг к другу. Отсюда можно заключить, что наши идеи правильны. Более того, мы нашли, что поляризуемость молекул сахара, по-видимому, не зависит сильно от ее окружения: их поляризуемость приблизительно одна и та же как в разбавленном растворе, так и в кристалле.
5) В. Волны е з»е»и«ь«лаю Теорию, которая в этой главе развивалась для твердых материалов, после очень небольшой модификации вполне можно применить и к хорошим проводникам типа металлов. На некоторые из электронов в металлах не действует сила, привязывающая их к какому-то частному атому; это так называемые «свободные» электроны, ответственные за проводимость.
Там есть и другие электроны, которые связаны в атомах, и изложенная выше теория непосредственно приложима именно к ним. Однако их влияние обычно «забнвается» эффектами электронов проводимости. Поэтому сейчас мы рассмотрим только эффекты свободных электронов. Если па электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то уравнение двия«ения электрона отличается от (32 1) только отсутствием члена ю«х. Так что единственное,что нам нужно сделать,— это положить о»,'=0 во всей остальной частипаших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в иволяторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
