Фейнман - 07. Физика сплошных сред (1055671), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если при атом г — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость т задается выражением в х г. Поэтому полная кинетическая энергия равна к. э. =~ч~ —. т(а х г)'. (31.18) Единственное, что нунсио теперь сделать,— это переписать в Х г через компоненты в„, а, в, и координаты х, у, г, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем Х,в Проделывая всю эту алгебру, мы пишем: (в х г)' =- (в х г),'+ (а х г) '+(в х г)', = = (а г — а,у)'+ (а,х — а„г)'+ (в„у — в х)' =- = в'г' — 2а,в,ту+ а'у'+ +а'хг — 2в,а„хг+ в„'гз+ +а'у' — 2в в ух+ а'х', к к у Умножая это уравнение на т/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что 1„„, например, равно 1 = '>, т (у'+ г'). Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл.
19, вып. 2). 21 Ну а поскольку г'=х'+у'+г', то эту же формулу можно написать в виде 1 „= — ~чз т (г' — х') Выписав остальные члены тензора инерции, получим ~~~ т (㻠— х') — ~', тху —,'ч тхг 1;; =- — "„тух ~ч; т (г' — у») — ~~ туг, (31.19) — ~Э~ тгх — ~ч~ жгу ~з т (г' — г») Если хотите, его можно записать в «тензорвых обозначениях»: уы — — ~ т (г»б — г.г.) (31.20) где через г, ооозначены компоненты (х, у, г) вектора положения частицы, а ~' означает суммвровааие по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения 1 с угловой скоростью ек (31.21) Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси.
Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения н угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.
ф,%. Венмгоу»нее нронзееден««е Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (выл. 2). В самом деле, мы определили там «момент силы, действующий в плоскости», например тюе следующим образом: т =хе — уР, гг т г' Обобщая это определение на три измерения, можно написать т; . =- г;Рт — г, Р',. (31.22) Как видите, величина т;,.— это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть т, с каким-то вектором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить Если эта величина окажется вектором, то т;; должен преобразовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для т!..
получаем ~~~~ ~г>,е = ~чР г;Руе — ~,г е г ! = г! (Г е) — (г е) е'!. ! ! ! Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что т; — действительно тензор. Однако ты принадлежит к особому сорту тензоров, он антиеимметричен, т. е. >/ = /!. Поэтому у такого тенаора есть только три разные н неравные нулю компоненты: т„, т, и т,х. В гл. 20 (вып. 2) кам удалось показать, что зти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор (тх' ту~ тг) (туг' тгх' тху)' Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве.
Например, для четырех измерений актисимметричный тензор второго ранга имеет и>есть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменитьвектором, у которого компонент только четыре. Точно так же как аксиальный вектор т==г х Р является тензором, по тем же соображениям тензором будет и любое векторное произведение двух полярных векторов. К счастью, они тоже представимы в виде вектора (точнее, псевдовектора), что немного облегчает нам всю математику.
Вообще говоря, для любых двух векторов а и Ь девять величин а>(> образуют тензор (хотя для физических целей он не всегда может быть полезен). Таким образом, для вектора положения г величины г>гу являются тензором, а поскольку 6, тоже тензор, то мы видим, что правая часть (31.20) действительно является тензором. Подобным же образом тензором будет и (31.22), так как оба члена в правой части — тензоры. ф 6. Те>«аор»»ппй>яже»е«ей Встречаввтиеся до сих пор симметричные тензоры возникали как коэффициенты, связывающие один вектор с другим. Сейчас я познакомлю вас с тензором, имеющим совершенно другой физический смысл,— это тензор напра»кений. Предположим, что на твердое тело действуют различные внешние силы.
Мы говорим, что внутри тела возникают различные «напряжения», имея при этом в виду внутренние силы мея«ду смежными час- Ф и г. 81.й, Ятагпериал, находящийся слева от плосности и на площади Ьуйг, дейспгвувт на материал, находящийся справа, с силой ЬГ'г, тями материала. Ыы уже гово- рили немного о подобных пай пряжениях в двумерном случае, когда рассматривали поверхностное натяжение напряженной диафрагмы (см. гл. 12, з 3, вып. 5). А теперь вы увидите, что внутренние силы вматериале трехмерного тела записываются в виде тензора. Рассмотрим тело из какого-то упругого материала, например брусок ич желе.
Если мы разрежем этот брусок, то материал на каждой стороне разреза будет, вообще говоря, претерпевать перемещение под действием внутренних сил. До того как был сделан разрез, меокду двумя этими частями должны были действовать силы, которые удерживали обе части в едином куске; мы можем выразить напряжение через эти силы. Представьтс себе, что мы смотрим на воображаемую плоскость, перпендикулярную оси х, подобную плоскости о на фиг. 31.5, и интересуемся силами, действующими на маленькой площадке ЛуЛз, расположеннон в этой плоскости. Материал, находящийся слева от площадки, действует на материал с правой стороны с силой ЛГ, (фнг.
31.5, б). Есть, конечно, и обратная реакция, т.с. на материал слева от поверхности действует сила — ЛГ,. Если площадка достаточно мала, то мы ожидаем, что сила ЛГ„пропорциональна площади ЛГЛз. Вы уже знакомы с однкм видом напряжений — статическим давлением кидкости. Та»в сила была равна давлению, умноженному на площадь, и направлена под прямым углом к элементу поверхности. Для твердого тела, а также движущейся вязкой жидкости сила ке обязательно перпендикулярна поверхности: помимо давления (положительного или отрицательного), появляется еще и сдвиспющпя сила. (Под «сдвигающей» силой мы подразумеваем пгангенсуиалькые компоненты сил, действующих на поверхности.) Для этого нужно учитывать все три компоненты силы. Заметьте еще, что если разрез мы сделаем по плоскости с какой-то другой ориентацией, то действующие на ней силы тоже будут другими, Полное описание внутренних напряжений требует применения тензоров.
Ф и г. 81.6. Сила Лег, дейстеующая ни глементе площади Луае, перпендикулярной оси х, разлагается на три компоненты; Луко ЛРуг и Лдгю иргг Определим тензор напряжений следующим образом. Вообразите сначала разрез, перпендикулярнып оси х, и разложите силу ЛГ„, действующую на разрезе, на ее компоненты: ЛР „ЛР „ЛР„(фиг.
31.6). Отношение этих сил к площади ЛуЛз мы назовем Я„, Я „и Я,„. Например, Я Ук Луаг ' Первый индекс у относится к направлению компоненты силы, а второй х — к направлению нормали к плоскости. Если угодно, площадь ЛуЛг можно записать иак Ла„, имея в виду злемент площади, перпендикулярный оси х, т. е. уг А теперь представьте себе разрез, перпендикулярный оси у.
Пусть на маленькую площадку ЛхЛз действует сила ЛГг Разлагая снова зту силу на три компоненты, как показано на фиг. 31.7, мы определяем три компоненты напряжения 8„, Я~, Я, как силы, действующйе на единичную площадь в зтих Ф и г. И.у. Сила, действующая на глемент площади, перпендикулярной оси у, разлагается на гири ееаимно перпендикулярные иомпонеиты.
зарез Ф и г. дл.д. Разложение на аомпозеенепи силн Ун, делстеуюиеей на зрани Р? (с единичной нормалью в). трех направлениях. Наконец, проведем воображаемый разрез, перпендикулярный оси х, н определим трн компоненты Я„, Я „и о„. Таким образом, получается девять чисел: 'Слл *Уху б лз (31.23) ~зл ~еу Я хочу теперь показать, что этих девяти величин достаточно, чтобы полностью описать внутреннее напряженное состояние, и что Я;,— действительно теязор.
Предполоуким, что мы хотим знать сйлу, действующую на поверхность, наклоненную под некоторым произвольным углом. Можно ли найти ее, исходя из Я;у? Можно, и это делается следующим образой. Вообразите маленькую призму, одна грань Ае которой наклонна, а другие — параллельны осям координат. Если окажется, что грань Л параллельна оси з, то получается картина, изображенная на фиг. 31.8, (Это, конечно, частный случай, но он достаточно хорошо иллюстрирует общий метод.) Дальше, напряжения, действующие на зту призмочку, должны быть такими, чтобы она находилась в равновесии (по крайней мере в пределе бесконечно малого размера), так что действующая на нее полная сила должна быть равна нулю.
Силы, действующие на грани, параллельные осям координат, известны нам непосредственно из тензора Я, А их векторная сумма должна равняться силе, действующей на грань Х, так что эту силу можно выразить через Я,,. Наше допущение, что поверхностные силы, действузощие на малый объем, находятся в равновесии, предполагает отсутствие объемных сил, подобных силе тяжести или псевдосилам, которые тоже могут присутствовать, если наша система координат не инерциальна.
Замотьте, однако, что такие объемные силы будут пропорциональны обьелеу призмочки и поэтому пропорциональны Ах,Лд,Лз, тогда как поверхностные силы нропорциональны ЛхЛу, ЛуЛз и т. и. Итак, если размер призмочки взять достаточно малым, то объемные силы будут пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными. А теперь сложим силы, действующие на нашу призмочку. Возьмемся сначала за х-компоненту, которая состоит из пяти частей, по одной от кав>дой грани. Но если Лз достаточно мало, >о силы от треугольных граней (перпендикулярные оси а) будут равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому о них можно забыть.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
