Г.К. Гудвин - Проектирование систем управления (1054010), страница 98
Текст из файла (страница 98)
(Это имеет точка такую же интерпретацию в дискретном случае.) Кроме того, этна «будущая» реакция, в общем, нелинейная функция состояния и управляющих воздействий. Следовательно, в нелинейном случае (19.11.3) фактически соответствует причинной нелинейной обратпной связи. Кокечно, в специальном линейном случае «будущая» реакция можетп быть оценена как линейнал функция состояний и управллющих воздействий. Таким образом, в этом конхретпном случае (19.11.3) соответстпвует причинной линейной стратпегии обратной связи.
Последний случай далее будет обсужден подробнее. ППП Замечание 19.5. Ясно, что закон управления, неявно определенный с помощью (19.11.3), — более общий, чем основная линеаризованная схема обратной связи. Действительно, легко заметить, что это ведетп к внутренне устойчивому контуру управленил в следующих специальных случаях: 1) все инверсно-устойчивые системы (являются ли они устойчивыми или неш) — взятпь Л = О, 2) все устпойчивые системы (являютпся ли они инверсно-устойчивтями или нет) — взять Л = 1 и 3) произвольные линейные систпемы. Чтобы проверить последнее требование, заметим, что если разомкнутпый обвектп имеет линейную передаточную функцию ф~, тпо уравнение (19.11.3) эквивалентно (1 — Л)( и(1) — м(1))+ (Л)(с(р)и(М) — и,) = О (19.11.4) р(р)В(р) А(р) Это показываетп, что характперистическое уравнение замкнутпого тсокт ура (1 — Л)р(з)В(з) + (Л)б(з)А(з) = О (19.11.5) Тогда, используя принцип назначения полюсов, можно видеть, чтпо сущестпвуютп значения Л, р и б, хотпорые стпабилиэируют любую конхретпную линейную систему — см.
гл. 7. (Надо вэятпь степень (р) равной степени (А), а степень (с) — равной степени (В).) 602 Глава 19. Введение в нелинейное управление Данное обсуждение говорит, что закон управления (19.11.3) имеет возможность стабилизировать широкий класс нелинейных систем, который включает класс инверсно-устойчивых систем, к которым применима основная схема линеаризации обратной связи. ППП Чтобы разработать закон управления, неявно определенный в (19.11.3), мы добавим фиктивный вход й(г), определенный следующим образом: с(р)и(г) = й(г) (19.11.6) Пусть с(р) имеет степень 6 и нелинейная система имеет относительную степень т.
Тогда нелинейная система между й($) и у(1) будет иметь относительную степень т+Ь. Следовательно, если мы используем оператор р(р) степени (т+6), тогда р(р) у($) будет явно зависеть от й(г). После операций, которые дают (19.11.3), мы можем записать: р(р)у = Ь(х) + а(х)й (19. 11. 7) Подстановка в (19.11.3) дает следующий закон управления с нелинейной обратной связью: (1 — Л)(о — 6)+Ли, й— (19.11.8) (1 — Л)а+ Л Замечание 19.6. Конечно, эффективность такого закона управления зависит от разумного выбора 1(р) и р(р).
Уравнение (19.11.5) предлагает один из подходов, состоящий в том, чтобы выбрать г(р),р(р) с помощью назначения полюсов, используя линеаризованную модель системы. ППП Этот закон управления не компенсирует динамику, обусловленную нулями, за исключением случая Л = О. Ясно, что для Л -> О уравнение (19.11.3) сводится к закону управления с помощью линеаризованной обратной связи (19.6.12), а для Л -+ 1, и($) становится стратегией управления с разомкнутым контуром с(р)и($) = и,. Поскольку, когда Л -+ 1, закон управления становится управлением с разомкнутым контуром, то из этого следует, что один класс систем, для которых эта схема, конечно, подходит, — все устойчивые разомкнутые нелинейные системы независимо от того, являются ли они инверсно-устойчивыми или нет.
Чтобы проиллюстрировать, как система могла бы использоваться на практике, мы ограничимся в дальнейшем устойчивыми системаМи в разомкнутом состоянии, чтобы можно было использовать наблюдатель разомкнутого контура для оценки состояний. Будем следовать общей философии, представленной на рис. 19.14, чтобы оценить выходные возмущения (и эталонный вход). Это проиллюстрировано на рис.
19.23. 19.11. Обобщенная лннаарнзацня обратной связн 603 Нелняейный закон управления с обратной связью Рис. 19.23. Обобщенная лявеарнзацвя обратной связи для устойчивого разо- мкнутого объекта Интересное свойство вышеупомянутой схемы заключается в том, что она включает интегрирующие свойства, т. е. выход объекта у(1)— см. рис. 19.23 — совпадает с эталонным сигналом г(1) в установившемся состоянии, если устойчивое установившееся состояние существует. Это можно видеть следующим образом. Если устойчивое установившееся состояние существует, тогда и(1) будет сходиться к постоянной величине (скажем, ие).
Мы организовали закон управления так, чтобы ив был выбран как вход, который вынуждает выход модели быть равным ие. Если мы обозначим установившееся нелинейное усиление модели через д( ), то рв = д(ие). Тогда в установившемся состоянии закон управления (19.11.3) будет иметь вид (1 — Л)(д(и) — ие) + (Л)(и — нв) = О (19.11.9) и ясно, что тз = пв является решением этого уравнения. Это подразумевает, что в установившемся состоянии у($) на рис. 19.23 равно ив. Отсюда сразу же следует, что е(с) = О, т. е. у(1) = г(8), независимо от отношений между моделью и нелинейным объектом.
(Если, конечно, установившееся состояние достигнуто.) Мы иллюстрируем эту схему следующим примером. 604 Глава 19. Введение в нелинейное управление Пример 19.8. Рассмотприм нелинейную систпему (19.11.10) (19.11.11) (19.11.12) хт = 10хт — 10хг хг = 16.925хт — 16хг — О.Ци — $6 тхг) у=ха+4, где Ыо представляет постпоянное выходное возмущение. Решение 1) Динамика за счет нулей может быть оценена, если задатпь у = 0 с до = О. Это приводит к (19.11.13) хт = 10хт Ясно, что динамика за счет нулей — неустпойчивая; это указывает на то, что объекта не имеет устойчивой инверсии.
2) Система изучалась в равд. 19.10.2, где было показано, что разомкнутый контур устпойчив. 3) Выполним процедуру равд. 19.6. Система имеет относитпааьную степень, равную 1. Также (19. 11. 14) (19.11.15) у = хг у = 16.925хт — 1бхг+ 0.116 тхг — 0.1и Следовательно, в тперминах обозначений равд. 19.6, мьт имеем Ь = 0.2222(16.925хт — 1бхг + 0.1 $6 1 хг) + хг (19.11.16) а = -0.02222 (19.11.17) 1) Оценить динамику, обусловленную нулями, и, следовательно, показать, чтпо система инверсно-неустпойчива.
2) Показать, что система в разомкнутом состпоякии устойчива. 3) Проверишь основной закон управления с линеаризованкой обратной связью при р(р) = 0.2222р+1. 4) Спроектпировать обобщенный закон управления с линеаризованной обратной связью, чтпобы скомпенсировать неизмеряемое выходное возмущение Ио и сформировать выходной сигнал у, который должен отслеживатпь постоянный зталонный сигнал и. 5) Оценитпь проект с помощью моделирования.
6) Проверить робастпность проекта, умножив на 2 усиление реального объектпа на нулевой частоте, не изменяя модель. 7) Растаирить алгоритм, включив схему противонакопления, чтобы учесть ограничение скорости нарастпания входного сигнала. 19.11. Обобщенная яинеаризация обратной связи 605 Тогда систпема может быть смоделирована, как на рис. 19.23 с Л = 0 и 4(р) = 1. Было приложено ступенчатое этпалонное воздейстпвие.
Результпаты показаны на рис. 19.24. Заметпим, чтпо реакция на выходе следует по желаемой тпраектпории, однако входной сигнал растет неограниченно. Последнее — результпат неустпойчивой инверсии систиемы. 4) Мы следуем предположениям, сделанным в замечании 19.6 и учитпываем линеаризованную систпему. Это предполагает выбор р(р), данный в частпи (3) задачи, вместе с В(р) = 1, что, в свою очередь, приводитп к закону управления, определяемому уравнением (19.11.8), с й = и и параметрами а и 5, как в уравнениях (19.11.16) и (19.11.17). 5) Система модаяировалась, как показано на рис. 19.23, при различных значениях Л и при единичном стпупенчатом этпалонном сигнале в момента 1 = 1 и стпупенчатпом возмущении величиной 0.5 в моментп 4.
Результпатпы показаны на рис. 19.25. Заметим, что при уменьшении Л реакция стпановится быстарее, но увеличивается недо- регулирование. Конечно, имеетпся нижний предел Л, определяемый другими ограничениями. 6) Реакция, показанная на рис. 19.26, соотпветствует Л = 0.2. Заметим, что нет никакой ошибки в установившемся состоянии, даже если имеется несоотпветствие 2: 1 меэтсду усилениями на нулевой частоте обоектпа и модели. 7) Заметим, чтпо все состояния регулятпора содержатся в параллавьной модели, используемой в регуляторе.
Следовательно, в свете обсуждения стратегии противонакопления в гл. 11 кажется, что все, что мы должнтя сделатпь, — ограничить входной сигнал, подаваемый и на обвект, и на параллельную модель. Эффективность этого предложения показана на рис. 19.27, где учтено ограничение скорости нарастпания ~и~ ( 20. Мы видим, что нелинейное управление с противонакоплением приводит к достпаточно хорошему решению без нежелательных переходных процессов. ППП Замечание 19.7. Чтобы не создать ложного представленил, единстпвенной причиной, по которой мы требовали в предыдущем примере устойчивости разомкнутого контура, было то, чтпо использовался наблюдатпель разомкнутого контура для оценки состояний системы. Если бы состояния можно было непосредстпвенно измерить или оценить некоторыми средствами, то метод был бы также применим и к некотпорым неустойчивым системам в разомкнутпом состоянии.
ППП Предыдущий пример показывает, что обобщенный закон управления с линеаризованной обратной связью применим для более широкого класса нелинейных систем,чем основная схема линеаризованной обрат- 606 Глава 19. Введение в нелинейное управление 1 хх оя 8 а.е р 0.4 х О.з и 1 !.5 2 25 з Время [с) 0.5 -000 х со -ею -1ЕЮ о ол 1 1.5 2 25 з Время [с) Рис. 19.24. Моделирование основной схемы с линеаризованной обратной связью Рис.
19.2$ 1.5 е 3 оМ 0.5 х 3 02 о х !5 'Я !а хе вз о 1 2 з 4 5 в Время [с) 1 2 э 4 5 е Время [с) Моделирование обобщенной схемы С линеаризованной обратной связью 19.11. Обобщенная линеаризация обратной связи Б07 1.5 и 1 '8 о О.в 3 !о о о 1 г в 4 5 в Время ]с] Рис. 19.26. Оценка робастностн обобщенной схемы с лннеаризованной обратной связью: (толстая линия) номинальная характеристика н (тонкая линия) реакция при несоответствии усилений модели н объекта 1.5 3 1 '3 н о Оя И сг о о 1 г з 4 5 в Время ]с] Рис. 19.27.
Моделирование стратегии протнвонакоплення: (1) — моделирование обобщенной стратегии с линеарнзованной обратной связью при Л = 0,2, когда нет ограничений скорости нарастания, (2) — с ограничением скорости нарастания, но без компенсации, (3) — с использованием противонакопления прн ограничении скорости нарастания ной связи.
Однако остаются системы, не поддающиеся исследованию в пределах этой обобщенной структуры. Существенная трудность состоит в том, что проект имеет ограниченную структуру. Более трудные задачи и альтернативные схемы будут описаны в гл. 23. Там мы исследуем алгоритм, который включает оценки будущей реакции. Эта так называемая нелинейная схема модельного прогнозирующего управления может применяться по существу ко всем нелинейным системам за счет существенного увеличения сложности. Чтобы избежать эту сложность, мы советуем по крайней мере начинать, пробуя более простые схемы типа основной стратегии линеаризации обратной связи или обобщенной схемы линеаризации обратной связи, которые мы только что описали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
